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上海市黄浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1． 直线与直线的夹角为 ；
【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】 解：因为直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
所以这两条直线的夹角为．
故答案为：．
【分析】 首先求出两条直线的倾斜角，再根据两直线的夹角的定义，可得出答案．
2． 两直线与平行，则的值是 ；
【答案】-2
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】 解：①当a=0时，直线与不平行，不符合题意， 故；
②当时，根据两直线平行可得，
，解得，
但是，当a=2时，这两条直线为同一条直线，不符合题意；
故答案为：-2.
【分析】 根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
3． 双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 因为双曲线离心率为2，
所以，即，
因为，
所以，
所以双曲线方程为：，
因为双曲线经过点，
所以可得，
解得，，
所以该双曲线的标准方程为 ：.
故答案为：.
【分析】 首先根据离心率为2可得出a，b的关系，其次将代入方程求解即可．
4．（2023·浦东模拟）双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ．
【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.
故答案为：2
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出a，b的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出右焦点F的坐标，再结合双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式得出右焦点F到其一条渐近线的距离。
5． 设直线与圆相交所得弦长为，则 ；
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为圆的方程为：，
所以圆心为，半径为2，
因为直线与该圆相交所得弦长为，
所以圆心到该直线的距离为：，
同时，根据点到直线距离的公式可得，圆心到该直线的距离为：，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】 根据直线与圆相交的弦长，可求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求出答案．
6．（2021高二上·长安月考）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为 ．
【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由题意得a2=9，b2=4，则a=3，b=2，则|MF1|+|MF2|=2a=6，
所以（当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立），
故答案为：9
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
7． 已知无穷数列满足，且，则 .
【答案】4
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为无穷数列 满足 ，且，
所以数列是以为公比的等比数列，
因为，
所以，
所以.
故答案为：4.
【分析】首先可知数列是以为公比的等比数列，再求出，再结合无穷等比数列求和公式求解即可．
8． 在正项等比数列中，有，则 ；
【答案】10
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】 解：在正项等比数列中，有，
所以，解得，
因为该数列为正向等比数列，因此.
故答案为：10.
【分析】 根据等比数列的性质可知a6a8=a5a9，代入方程即可解得答案．
9． 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺；
【答案】6.5
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】 解：设该等差数列为，公差为d，
由题意可知，，，
故，解得，
，
所以立夏的日影子为6.5尺．
故答案为：6.5．
【分析】 根据已知条件，求出d，结合等差数列的性质，即可得出答案．
10． 已知数列满足，，则 .
【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
所以是首项为3，公比为2的等比数列，
从而，故．
故答案为：．
【分析】 首先根据已知条件可求出是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出答案．
11．已知在区间上，如图所示的图像中， 有可能表示函数的图像.
【答案】①
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】 解：因为在区间上，，
所以，在在区间上，切线的斜率始终大于1，故图①满足.
故答案为：①．
【分析】 根据在区间上，，可知切线的斜率始终大于1，即可得出答案．
12． 设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】9x﹣y﹣16=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 解：∵，
∴，
∵是偶函数，
∴，
∴解得a=0，
∴，，
∴，，
∴切线方程为：，即．
故答案为：．
【分析】 首先可根据导数公式及偶函数的性质求出a的值，然后求出切线的斜率，即可得出切线方程．
二、单选题
13． 圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内含 D．内切
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程，得： ，
将圆化为标准方程，得： ，
∴圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为3，
∴两圆心之间的距离，为两个圆的半径之差，
∴两圆内切．
故选：D.
【分析】首先将两个圆的一般方程化为标准方程，之后求出两个圆心之间的距离，根据该距离和两个圆半径之间的关系可判断出两个圆的位置关系．
14． 已若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】A.当时，，数列不是等差数列，故A错误；
B.当时，，数列不是等差数列，故B错误；
C.设 ，则，故数列也一定是等差数列，故C正确；
D.当时，，数列不是等差数列，故D错误；
故选：C.
【分析】 令，可判断选项A、B、D错误，利用等差数列的定义可判断C选项的正确性．
15． 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的斜率是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，
，
∴解得，，
，
，
故过点和的直线的斜率是．
故选：B．
【分析】 首先根据，求出、和，再结合直线斜率公式，即可求出斜率．
16．（2018高二下·黑龙江月考）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】本题 利用导数与函数单调性的关系，用导数判断函数的单调性，再转化为二次函数恒成立问题求出参数a的取值范围。
三、解答题
17．（2020高二上·汉中期中）已知数列 的前 项和为 .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的最大值及取得最大值时 的值.
【答案】（1）证明：当 时， ，
又当 时， ，满足 ，
故 的通项公式为 ，
∴ .
故数列 是以32为首项， 为公差的等差数列；
（2）解：令 ，即 ，解得 ，
故数列 的前16项或前17项和最大，
此时 .
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质，即可求出最大值。
18． 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：因为，所以，.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即y=-x+1.
（2）解：设，则.
当时，，所以在区间上单调递减.
所以对任意有，
即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 （1）首先根据求出导函数，再将x=0代入和求出切线的斜率，切点坐标，即可求出切线方程．
（2）设，先求出，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最值．
19． 在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
【答案】（1）解：由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）解：根据题意可设直线的方程为，
联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据点P到F的距离为5 ，可列出关于p的等式，求出p的值即可求出抛物线方程；
（2）首先设直线的方程为，联立抛物线方程，得到方程，将数量积用m表示，即可求出m的值，即可求出直线的方程．
20． 椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若为直角三角形，求的面积；
（3）线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由椭圆的方程为，得标准方程为，
则，故，
所以离心率；
（2）解：设，，
当时，，
此时，
由对称性，不妨设，且在第一象限，
令，得，则，
此时，
综上，的面积为或；
（3）解：设，则直线，
由已知，
同理：，
因而，是方程的两根，
所以，得，
又点为椭圆上的动点，
所以，则，
由在第一象限得，所以，
所以存在，.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆C的方程可求出a、b、c的值，根据可求出椭圆的离心率；
（2）分和两种情况，求出；
（3）首先设，则直线，可得，同理，证得，即证明了，是方程的两根，其次可求出的值，得到，再根据点为椭圆上的动点，可求P的坐标．
21． 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间，
（1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，；
（2）若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：对于，有，在区间，上是增函数，
则不是，上的单峰函数，
对于，有，
在区间，上，，是增函数，在区间，上，，是减函数，
故是，上的单峰函数，其峰点为
（2）解：根据题意，若函数是区间，上的单峰函数，
则在在区间，上先增后减，
其导数，则的值在区间，上先正后负，
若，，在区间，上为减函数，不符合题意；
若，设，则在区间，上恒成立，所以为区间，上的增函数，且，，
若，则，则的值在区间，上先负后正，不符合题意，
若，则，则的值在区间，上恒小于或等于0，不符合题意，
若，则，则的值在区间，上恒大于或等于0，不符合题意，
故在区间，上不存在，满足的值在区间，上先正后负，
综合可得：不存在实数，使函数是区间，上的单峰函数，即实数的集合为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】 （1）根据“单峰函数”的定义即可分析两个函数是否是“单峰函数”；
（2）根据题意，可得的值在区间上先正后负，分与两种情况讨论，即可得出答案．
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上海市黄浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1． 直线与直线的夹角为 ；
2． 两直线与平行，则的值是 ；
3． 双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为 .
4．（2023·浦东模拟）双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ．
5． 设直线与圆相交所得弦长为，则 ；
6．（2021高二上·长安月考）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为 ．
7． 已知无穷数列满足，且，则 .
8． 在正项等比数列中，有，则 ；
9． 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺；
10． 已知数列满足，，则 .
11．已知在区间上，如图所示的图像中， 有可能表示函数的图像.
12． 设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为 .
二、单选题
13． 圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内含 D．内切
14． 已若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
15． 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的斜率是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2018高二下·黑龙江月考）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．（2020高二上·汉中期中）已知数列 的前 项和为 .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的最大值及取得最大值时 的值.
18． 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19． 在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
20． 椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若为直角三角形，求的面积；
（3）线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
21． 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间，
（1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，；
（2）若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】 解：因为直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
所以这两条直线的夹角为．
故答案为：．
【分析】 首先求出两条直线的倾斜角，再根据两直线的夹角的定义，可得出答案．
2．【答案】-2
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】 解：①当a=0时，直线与不平行，不符合题意， 故；
②当时，根据两直线平行可得，
，解得，
但是，当a=2时，这两条直线为同一条直线，不符合题意；
故答案为：-2.
【分析】 根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
3．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 因为双曲线离心率为2，
所以，即，
因为，
所以，
所以双曲线方程为：，
因为双曲线经过点，
所以可得，
解得，，
所以该双曲线的标准方程为 ：.
故答案为：.
【分析】 首先根据离心率为2可得出a，b的关系，其次将代入方程求解即可．
4．【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.
故答案为：2
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出a，b的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出右焦点F的坐标，再结合双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式得出右焦点F到其一条渐近线的距离。
5．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为圆的方程为：，
所以圆心为，半径为2，
因为直线与该圆相交所得弦长为，
所以圆心到该直线的距离为：，
同时，根据点到直线距离的公式可得，圆心到该直线的距离为：，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】 根据直线与圆相交的弦长，可求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求出答案．
6．【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由题意得a2=9，b2=4，则a=3，b=2，则|MF1|+|MF2|=2a=6，
所以（当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立），
故答案为：9
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
7．【答案】4
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为无穷数列 满足 ，且，
所以数列是以为公比的等比数列，
因为，
所以，
所以.
故答案为：4.
【分析】首先可知数列是以为公比的等比数列，再求出，再结合无穷等比数列求和公式求解即可．
8．【答案】10
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】 解：在正项等比数列中，有，
所以，解得，
因为该数列为正向等比数列，因此.
故答案为：10.
【分析】 根据等比数列的性质可知a6a8=a5a9，代入方程即可解得答案．
9．【答案】6.5
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】 解：设该等差数列为，公差为d，
由题意可知，，，
故，解得，
，
所以立夏的日影子为6.5尺．
故答案为：6.5．
【分析】 根据已知条件，求出d，结合等差数列的性质，即可得出答案．
10．【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
所以是首项为3，公比为2的等比数列，
从而，故．
故答案为：．
【分析】 首先根据已知条件可求出是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出答案．
11．【答案】①
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】 解：因为在区间上，，
所以，在在区间上，切线的斜率始终大于1，故图①满足.
故答案为：①．
【分析】 根据在区间上，，可知切线的斜率始终大于1，即可得出答案．
12．【答案】9x﹣y﹣16=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 解：∵，
∴，
∵是偶函数，
∴，
∴解得a=0，
∴，，
∴，，
∴切线方程为：，即．
故答案为：．
【分析】 首先可根据导数公式及偶函数的性质求出a的值，然后求出切线的斜率，即可得出切线方程．
13．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程，得： ，
将圆化为标准方程，得： ，
∴圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为3，
∴两圆心之间的距离，为两个圆的半径之差，
∴两圆内切．
故选：D.
【分析】首先将两个圆的一般方程化为标准方程，之后求出两个圆心之间的距离，根据该距离和两个圆半径之间的关系可判断出两个圆的位置关系．
14．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】A.当时，，数列不是等差数列，故A错误；
B.当时，，数列不是等差数列，故B错误；
C.设 ，则，故数列也一定是等差数列，故C正确；
D.当时，，数列不是等差数列，故D错误；
故选：C.
【分析】 令，可判断选项A、B、D错误，利用等差数列的定义可判断C选项的正确性．
15．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，
，
∴解得，，
，
，
故过点和的直线的斜率是．
故选：B．
【分析】 首先根据，求出、和，再结合直线斜率公式，即可求出斜率．
16．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】本题 利用导数与函数单调性的关系，用导数判断函数的单调性，再转化为二次函数恒成立问题求出参数a的取值范围。
17．【答案】（1）证明：当 时， ，
又当 时， ，满足 ，
故 的通项公式为 ，
∴ .
故数列 是以32为首项， 为公差的等差数列；
（2）解：令 ，即 ，解得 ，
故数列 的前16项或前17项和最大，
此时 .
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质，即可求出最大值。
18．【答案】（1）解：因为，所以，.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即y=-x+1.
（2）解：设，则.
当时，，所以在区间上单调递减.
所以对任意有，
即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 （1）首先根据求出导函数，再将x=0代入和求出切线的斜率，切点坐标，即可求出切线方程．
（2）设，先求出，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最值．
19．【答案】（1）解：由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）解：根据题意可设直线的方程为，
联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据点P到F的距离为5 ，可列出关于p的等式，求出p的值即可求出抛物线方程；
（2）首先设直线的方程为，联立抛物线方程，得到方程，将数量积用m表示，即可求出m的值，即可求出直线的方程．
20．【答案】（1）解：由椭圆的方程为，得标准方程为，
则，故，
所以离心率；
（2）解：设，，
当时，，
此时，
由对称性，不妨设，且在第一象限，
令，得，则，
此时，
综上，的面积为或；
（3）解：设，则直线，
由已知，
同理：，
因而，是方程的两根，
所以，得，
又点为椭圆上的动点，
所以，则，
由在第一象限得，所以，
所以存在，.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆C的方程可求出a、b、c的值，根据可求出椭圆的离心率；
（2）分和两种情况，求出；
（3）首先设，则直线，可得，同理，证得，即证明了，是方程的两根，其次可求出的值，得到，再根据点为椭圆上的动点，可求P的坐标．
21．【答案】（1）解：对于，有，在区间，上是增函数，
则不是，上的单峰函数，
对于，有，
在区间，上，，是增函数，在区间，上，，是减函数，
故是，上的单峰函数，其峰点为
（2）解：根据题意，若函数是区间，上的单峰函数，
则在在区间，上先增后减，
其导数，则的值在区间，上先正后负，
若，，在区间，上为减函数，不符合题意；
若，设，则在区间，上恒成立，所以为区间，上的增函数，且，，
若，则，则的值在区间，上先负后正，不符合题意，
若，则，则的值在区间，上恒小于或等于0，不符合题意，
若，则，则的值在区间，上恒大于或等于0，不符合题意，
故在区间，上不存在，满足的值在区间，上先正后负，
综合可得：不存在实数，使函数是区间，上的单峰函数，即实数的集合为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】 （1）根据“单峰函数”的定义即可分析两个函数是否是“单峰函数”；
（2）根据题意，可得的值在区间上先正后负，分与两种情况讨论，即可得出答案．
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