试题解析
1．D
解一元二次方程求集合A，由具体函数的定义域求集合B，再利用集合的并运算求即可.
依题意，得，，
∴.
故选：D．
2．D
由正弦定理、三角形边角关系及充分条件、必要条件的定义即可得解.
由正弦定理得，且，
若，则，所以，所以，故充分性成立；
若，则由余弦函数的单调性可得，所以，，
故必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：D.
3．B
按照相邻捆绑，不相邻插空的方法求解．
A，B相邻，捆绑作为一个节目与、进行全排列，然后把、插入其中的四个空档中，排法总数为．
故选：B．
4．C
根据圆柱和球的体积公式和表面积公式即可求解.
设圆柱部分的高是，
所以，
所以
所以，
内壁表面积为，
故选：C.
5．A
利用指数与对数的互换表示出，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．
由题可得，即．
原式．
故选：．
6．A
根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求解三角形面积即可.
依题意，周长，解得，
而椭圆的离心率，则其半焦距，因此，
椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，
由消去x得：，设，
则有，
，
令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4，
即，的面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为12.
故选：A
7．A
根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化即可得到答案.
故选:A
8．B
由函数的解析式结合对数的运算性质即可得解.
∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4，
∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4，
∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）
＝loga（x1x2…x2018）2
＝2loga（x1x2…x2018）
＝2×4＝8．
故选B．
本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．BD
复数,可知其实部为1与虚部为，其模长为，，将复数代入验证即可说明复数为方程的一个根.
因为复数
所以复数的实部是1，虚部是，A错误，
，B正确，
，C错误，
因为，即复数是方程的一个根，D正确.
故选：BD.
10．BCD
A.由判断；B.由 ，求解判断；C.由平面ABCD，得到是与平面ABCD所成的角求解判断；D.以D为原点，分别以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设球心为 ， ，由化简得到t的范围，再由外接球的表面积为判断.
直四棱柱中，点P到底面ABCD的距离为，设点Q到BC的距离为h，则 ，因为不是定值，故四面体PBCQ的体积不是定值，故A错误；
在中， ，，
因为 ，所以，则 ，故B正确；
因为平面ABCD， 所以是与平面ABCD所成的角，则，
因为 ，所以，故C正确；
以D为原点，分别以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：
则，线段BC的中点为 ，线段的中点为 ，
设球心为 ， ，则 ，
由得 ，
化简得，
即，易知 ，则 ， ，
所以 外接球的表面积为，故D正确，
故选：BCD
11．AD
根据新定义进行证明判断A，假设二次函数是“k距周期函数”，然后由新定义推理判断B，用反例判断C，根据周期函数的定义求解判断D．
A．设一次函数为，则，其中，A正确；
B．设二次函数为（），
，
若是“k距周期函数”，则，则，不满足新定义，B错误；
C．设，则是“1距周期函数”，且类周期为1，，C错；
D．设，则，即，
则，D正确．
故选：AD．
关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，然后根据新定义解决问题．新定义的实质是恒成立（），因此可转化恒等式进行分析．
12．BCD
利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
故选：BCD.
13．26
根据题意得到，得到，解之得解.
由题得
回归方程是经过样本中心点是，且，
所以，解得．
故答案为：26
本题主要考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．，
根据已知，利用等差数列的性质以及通项公式求解.
因为等差数列满足，
所以，所以，
又因为，
所以，即，所以，
所以，.
故答案为：，.
15．
方程3sinx=1+cos2x,即3sinx=1+1 2，解关于的方程即可
方程3sinx=1+cos2x,即3sinx=1+1 2,即2+3sinx 2=0，
求得sinx= 2(舍去),或sinx=，
∴，
故答案为
16．；
分析：根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，利用两角和正弦公式化简得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在两边约去sinA得，结合三角形内角取值范围即可得到角B的大小.
详解：∵在△ABC中，b2=a2+c2﹣2accosB，
∴b2﹣a2﹣c2=﹣2accosB，同理可得c2﹣a2﹣b2=﹣2abcosC
∵
∴，
∵sinC≠0，可得sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴等式两边约去sinA，可得，
∵0＜B＜π，∴角B的大小．
点睛：点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．
（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．
17．(1)，极大值1，无极小值；(2)存在，．
(1)结合已知条件，首先求出，然后利用两直线垂直关系即可求出，然后利用导函数求出的单调区间，进而求得极值；(2)结合(1)中结论，求出零点存在的大致区间，再结合已知条件即可求解.
(1)由，得，
因为的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
所以，令，得，
因为当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故在处取得极大值1，无极小值．
(2)由(1)，知在上单调递减，且，
又在上单调递增，且，，
所以由零点存在定理，得在区间内存在唯一零点．
若函数在区间上存在极值和零点，
则，解得．
所以存在符合条件的区间，此时实数的取值范围为．
18．(1)；
(2)5
（1）利用可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，然后由，得，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值.
（1）当时，，得，
当时，由，得，
所以，
，
所以，
所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）得，
因为数列中落入区间内，
所以，
所以，
，
所以，
所以数列中落入区间内的项的个数
，
所以，
由，得，
即，
当时，，
当时，，
因为随的增大而增大，
所以的最小整数为5.
19．(1)证明见解析；
(2)存在；.
（1）若选①，取中点，中点，中点，可证得四边形为平行四边形，从而利用勾股定理和平行关系证得，由线面垂直和面面垂直判定得到平面平面，利用面面垂直性质可证得平面；
若选②，取中点，中点，由线面垂直和面面垂直的判定可证得平面平面，利用面面垂直性质可证得平面；
若选③，取中点，中点，根据长度和平行关系可证得四边形为平行四边形，由此确定，得到，结合可得，从而利用勾股定理和平行关系证得，由线面垂直和面面垂直判定得到平面平面，利用面面垂直性质可证得平面；
三个条件均可说明两两互相垂直，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面垂直的向量证明方法可证得结论；
（2）假设存在满足题意的点，利用二面角的向量求法可构造方程求得，由此可确定点位置，得到的值.
（1）若选①，取中点，中点，中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，又，，，，
又，，又，，平面，
平面，平面，平面平面，
，，又平面，平面平面，
平面，又，，；
若选②，，，，平面，
平面，平面，平面平面，
取中点，中点，连接，
，，又平面，平面平面，
平面，又，，；
若选③，取中点，中点，连接，
，，又，；
分别为中点，，又，，
四边形为平行四边形，；
，，，，，
，，，
，又，，
又，，平面，
平面，平面，平面平面，
又，平面，平面平面，
平面，又，，；
综上所述：两两互相垂直，
则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
平面，平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，即，平面与平面.
（2）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，
由（1）得：，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
；
，
化简可得：，解得：或（舍），
，，；
综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于.
20．(1)答案见解析
(2)乙排1号，理由见解析
（1）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列；
（2）在（1）的基础上，求出男甲排1号时的期望值，再求出男甲排1号时的期望值，比较后得到结论.
（1）的可能取值为，
，，
，
故分布列为：
0 1 2
（2）由（1）知，甲排1号时，期望值为，
设表示男乙排1号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，
则的可能取值为，
则，，
，
故期望值为，
因为，故乙排1号时期望值更大.
21．（1）；（2）存在，方程为.
（1）根据条件，列出关于的方程组，求椭圆的标准方程；（2）当斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合直线与圆相切，得到，并代入的坐标表示，利用定值与无关，求得圆的方程，当斜率不存在时，可直接求得点的坐标，得到的值，求得圆的的方程.
（1）由题意知，，由，得.
设直线与椭圆C交于点，，则.
把代入椭圆方程，得，
故，即.
由①②，解得或(舍去)，所以椭圆C的标准方程为.
（2）假设存在这样的圆O，设.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为.
由，得.
设，，则，.
故
.
由，得.
由③④，得，当与k无关时，，，
即圆O的半径为.
当直线AB的斜率不存在时，若直线AB的方程为，
将其代入椭圆C的方程，得，，
此时.
若直线AB的方程为，同理可得.
综上，存在满足题意的圆O，其方程为.
解决存在性问题的注意事项：
（1）存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在；
（2）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
（3）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径。
22．（1）极大值为，无极小值；（2）①；②见解析.
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求，然后结合单调性可求极值；
（2）①由已知可得对任意的恒成立，分离参数后通过构造函数，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求；
②结合①可得对任意的恒成立，赋值，可得，然后结合对数的运算性质可求．
（1），，
由已知可得，解得.
则，，其中.
令，得.
当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
所以，函数的极大值为，无极小值；
（2）①由条件知，只需，即对任意的恒成立，
即，其中，
令，则，即，
构造函数，则，令，得，列表如下：
极大值
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，，，因此，实数的取值范围是；
②由①可知，当时，对任意的恒成立，
令，则，
所以，
所以.
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数及利用分离法求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于难题.
答案第16页，共17页扬州市2024届高三上学期期初考试模拟试题
数学学科
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．充要条件
3．重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节日，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
4．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯的容积，则其内壁表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（ ）
A．12 B．2 C．4 D．8
7．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
8．设函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（x1x2…x2018）=4，则f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）的值等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的实部是1，虚部是2 B．复数的模为
C．复数 D．复数是方程的一个根
10．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体PBCQ的体积是定值
B．的取值范围是
C．若与平面ABCD所成的角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为S，则
11．定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（ ）
A．一次函数均为“k距周期函数”
B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
12．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某产品的年广告费用与年销售额的统计数据如下表
年广告费用（万元） 4 2 3 5
年销售额（万元） 49 39 54
经测算，年广告费用与年销售额满足线性回归方程，则的值为 ．
14．若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是 ．
15．方程的解集为
16．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．则角的度数为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数，且的图象在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值及的极值；
(2)是否存在区间，使得函数在此区间上存在极值和零点 若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
18．设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．
19．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答
如图，在五面体中，已知___________，，，且，.
(1)求证：平面与平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20．政府举办“全民健身乒乓球比赛”，比赛规则为：每队4人，2男（男1号，男2号），2女（女1号，女2号），比赛时第一局两队男1号进行单打比赛，第二局两队女1号进行单打比赛，第三局两队各派一名男女运动员参加混双比赛，第四局两队男2号进行单打比赛，第五局两队女2号进行单打比赛，五局三胜，先胜3局的队获胜，比赛结束.某队中的男甲和男乙两名男队员，在比赛时，甲单打获胜的概率为，乙单打获胜的概率为，若甲排1号，男女混双获胜的概率为；若乙排1号，男女混双获胜的概率为（每局比赛相互之间不受影响）
(1)记表示男甲排1号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，求的分布列；
(2)若要该队第一局和男女混双这两局比赛获胜局数的数学期望大，甲、乙两人谁排1号？加以说明.
21．已知椭圆的上顶点为M 右顶点为N. (点O为坐标原点)的面积为1，直线被椭圆C所截得的线段长度为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）试判断椭圆C内是否存在圆，使得圆O的任意一条切线与椭圆C交于A，B两点时，满足为定值？若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.
22．已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数的极值；
（2）若函数的图象恒在直线的下方.
①求的取值范围；
②求证：对任意正整数，都有.
