正射影和三垂线定理
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课件23张PPT。正射影与三垂线定理(1)你有雄心壮志，我有清华北大复习提问1、直线和平面垂直的定义是什么？
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面互相垂直。交点叫做垂足。 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。2、如何判定直线与平面垂直？一)、点在平面上的射影 垂足P1叫做点P在平面α内的正射影(简称射影)P1Pα正射影 斜线 —— 与平面相交且不垂直的直线
斜足 —— 斜线与平面交点斜线段—— 斜线上一点与斜足之间线段?斜线斜足BAO射影二)、斜线在平面内的射影正射影 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形 ,则 叫做图形F在这个平面上的射影.三)、图形在平面内的射影正射影 思考1：
1)、一条直线在平面内的射影会是怎样的图形？
2)、两条平行直线在平面内的射影是怎样的图形及有怎样的位置关系？
3)、异面直线在平面内的射影是怎样的图形及有怎样的位置关系？
思考2： 如图9－57所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的号都填上)．PAO?a平面的斜线和它在平面内的射影的性质一) 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。证明：a⊥PAPO⊥?
a ? ?a ⊥ OAa⊥平面PAOPA?平面PAOPO ⊥aPO?OA=O 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。a
已知 :PO、PA分别是平面?的垂线、斜线，OA是PA在平面?内的射影。 ? ?， 。
a ⊥OA求证：a ⊥PAPO?PA=P三垂线定理线射垂直线斜垂直三垂线定理：
的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影 ，则它就和这条斜线 。三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直。
PAOaα平面内垂直垂直PAOaα三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线回顾思考直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。注意：如果将定理中
“在平面内”的条件
去掉，结论仍然成立
吗？回顾思考
×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）⑶若a是平面α的斜线，直线b? α且
b垂直于a在另一平面β内的射影
则a⊥b （ ）⑵若 a是平面α的斜线，平面β内 的
直线b垂直于a在平面α内的射 影，
则 a⊥b （ ）判断下列命题是否正确：××定理辨析练习：⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直
于a在平面α内的射影，则 a⊥b ( ) 问题再现： 1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC12.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。 求证:BC⊥PM.ABCPM3. PA⊥平面ABC，PB=PC,
M是BC的中点。 求证:AM⊥BC.2.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。 求证:BC⊥PM.3. PA⊥平面ABC，PB=PC,
M是BC的中点。 求证:AM⊥BC.ABCPM例1：正方形ABCD 的边长为12，PA⊥平面ABCD，PA=12，O为对角线BD的中点，
求：点P到对角线BD的距离POABCD能力提升：例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上． 变式1、若ΔABC所在平面α外一点P，且P到三边的距离都相等，则P在α内的射影是三角形的_______。变式2、若ΔABC所在平面α外一点P，且P到三顶点的距离都相等，则P在α内的射影是三角形的_______。问题探索：若ΔABC所在平面α外一点P，且P满足__________，则P在α内的射影是三角形的三角形的垂心。内心外心课堂小结:
1、三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理，承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域。2、三垂线定理主要应用于：解决垂直问题与空间图形度量（如角和距离）问题.3、三垂线定理的基本模式导析（1）、一面四线基础平面“一面四线”的不同情况
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面互相垂直。交点叫做垂足。 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。2、如何判定直线与平面垂直？一)、点在平面上的射影 垂足P1叫做点P在平面α内的正射影(简称射影)P1Pα正射影 斜线 —— 与平面相交且不垂直的直线
斜足 —— 斜线与平面交点斜线段—— 斜线上一点与斜足之间线段?斜线斜足BAO射影二)、斜线在平面内的射影正射影 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形 ,则 叫做图形F在这个平面上的射影.三)、图形在平面内的射影正射影 思考1：
1)、一条直线在平面内的射影会是怎样的图形？
2)、两条平行直线在平面内的射影是怎样的图形及有怎样的位置关系？
3)、异面直线在平面内的射影是怎样的图形及有怎样的位置关系？
思考2： 如图9－57所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的号都填上)．PAO?a平面的斜线和它在平面内的射影的性质一) 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。证明：a⊥PAPO⊥?
a ? ?a ⊥ OAa⊥平面PAOPA?平面PAOPO ⊥aPO?OA=O 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。a
已知 :PO、PA分别是平面?的垂线、斜线，OA是PA在平面?内的射影。 ? ?， 。
a ⊥OA求证：a ⊥PAPO?PA=P三垂线定理线射垂直线斜垂直三垂线定理：
的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影 ，则它就和这条斜线 。三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直。
PAOaα平面内垂直垂直PAOaα三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线回顾思考直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。注意：如果将定理中
“在平面内”的条件
去掉，结论仍然成立
吗？回顾思考
×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）⑶若a是平面α的斜线，直线b? α且
b垂直于a在另一平面β内的射影
则a⊥b （ ）⑵若 a是平面α的斜线，平面β内 的
直线b垂直于a在平面α内的射 影，
则 a⊥b （ ）判断下列命题是否正确：××定理辨析练习：⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直
于a在平面α内的射影，则 a⊥b ( ) 问题再现： 1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC12.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。 求证:BC⊥PM.ABCPM3. PA⊥平面ABC，PB=PC,
M是BC的中点。 求证:AM⊥BC.2.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。 求证:BC⊥PM.3. PA⊥平面ABC，PB=PC,
M是BC的中点。 求证:AM⊥BC.ABCPM例1：正方形ABCD 的边长为12，PA⊥平面ABCD，PA=12，O为对角线BD的中点，
求：点P到对角线BD的距离POABCD能力提升：例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上． 变式1、若ΔABC所在平面α外一点P，且P到三边的距离都相等，则P在α内的射影是三角形的_______。变式2、若ΔABC所在平面α外一点P，且P到三顶点的距离都相等，则P在α内的射影是三角形的_______。问题探索：若ΔABC所在平面α外一点P，且P满足__________，则P在α内的射影是三角形的三角形的垂心。内心外心课堂小结:
1、三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理，承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域。2、三垂线定理主要应用于：解决垂直问题与空间图形度量（如角和距离）问题.3、三垂线定理的基本模式导析（1）、一面四线基础平面“一面四线”的不同情况