2022-2023学年度第二学期期末考试高二数学试卷答案
二、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 D D B C A B C C BC ABD ABD AB
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13:-160 14:3 15: 16: ①. 0.19 ②.
四、解答题(共6小题，共70分)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）1728；（2）72.
【分析】（1）用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列；
（2）先排两端的节目，再安排中间三个节目．由分步计数原理计算．
【详解】解：（1）用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列，有种不同的排法，
再将同类书进行排列，有种不同的排法，
所以一共有6×288＝1728种不同的排法．
（2）先排两端的节目有种顺序，
再排其余3个位置的节目，有种顺序，
所以一共有12×6＝72种不同的安排方法．
18. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.7，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
【答案】（1）0.5 （2）0.85
【分析】（1）先把事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”分成两个互斥事件，
然后根据互斥事件概率加法求解即可；
（2）先求事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”对立事件概率，
再根据对立事件概率公式求解即可.
【小问1详解】
解：设事件A为“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，
事件B为“进入商场的1位顾客购买乙种商品”
（1）设事件C为“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，
则，
所以．
【小问2详解】
设事件D为“进入商场1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”，
则，
所以，
所以．
19. 某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表．
广告费用支出 3 5 6 7 9
销售额 20 40 60 50 80
（1）在给出的坐标系中画出散点图；
（2）建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
（3）利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少．
（参考公式：线性回归方程中的系数，）
【答案】（1）见解析 （2）
（3）107万元
【解析】
【分析】（1）根据表中数据直接描点即可；
（2）根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案；
（2）根据回归方程，将代入即可得解.
小问1详解】
解：如图所示，
小问2详解】
解：，，
则，
，
所以，
则，
所以销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；
【小问3详解】
解：由（2）得，当时，，
所以当广告费用支出为12万元时，销售额为万元.
20. 为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过55kg的关联性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．
单位：人
性别 体重 合计
超过55kg 不超过55kg
男 180 120 300
女 90 110 200
合计 270 230 500
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？
（2）按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过55kg的学生中抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记选中的女生数为X，求X的分布列与期望．
参考公式和数据：，n＝a＋b＋c＋d．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）可以认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联；
（2）分布列见解析，1.
【解析】
【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.
（2）求出抽取的9人中男女生人数，再求出X的可能值及对应的概率，列出分布列、计算期望作答.
【小问1详解】
零假设为：该中学高三年级学生的性别与体重无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
【小问2详解】
依题意，抽取的9人中，男生有人，女生有人，
从中任意选取3人，X的取值可能为0，1，2，3，
且，，，．
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故．
21．已知．
(1)求展开式中含的项的系数；
(2)设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值．
(1)
(2)或
【分析】（1）求出展开式的通项公式，令的指数为，可求出值，从而得解；
（2）求出的展开式中前三项的二项式系数和，再令，求出的展开式中各项系数的和，然后建立方程即可求解.
【详解】（1）的展开式的通项为（，1，2，3，4，5）．
令，则，
∴展开式中含的项为，
∴展开式中含的项的系数为．
（2）由题意可知，，
∵，
∴，解得或．
22. 某地区为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B，C的自然成活率均为．
（1）若，任取树苗A，B，C各一棵，求只有一棵树苗自然成活的概率；
（2）任取树苗A，B，C各一棵，记自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望，若，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，，的最大值为.
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件及独立事件概率公式即得；
（2）由题可知X的可取0，1，2，3，分别计算概率的分布列，然后利用期望公式即得.
【小问1详解】
依题意，记只有一棵树苗自然成活为事件M，
则．
【小问2详解】
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
，
因为，
当时，取得最大值．2022-2023学年度第二学期期末考试
高二 数学试卷
考试时间:120分钟 分值：150分
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ）
A. 16 B. 15 C. 12 D. 8
2．袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3．已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A. 25 B. 20 C. 30 D. 36
6．某学校高一、高二、高三的学生人数之比为，这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为（ ）
A. B. C. D.
7．若，则（ ）
A．366 B．365 C．364 D．363
8．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有
A．种 B．种 C．种 D．种
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若，，，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．这组数据的分位数为
10．下列说法正确的有（ ）
A．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8
B．线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好
D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为与独立
11. 已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ ）
A. n＝5
B.
C.
D.
12. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有125种
B. 若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C. 若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 二项式的展开式中的常数项为______.
14. 若，则n＝______．
15. 已知随机变量，若，则______．
16. 某城市的电力供应由1号和2号两个负荷相同的核电机组并联提供．当一个机组发生故障时，另一机组能在这段时间内满足城市全部供电需求的概率为．已知每个机组发生故障的概率均为，且相互独立，则机组发生故障的概率是______．如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？
18. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.7，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
19. 某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表．
广告费用支出 3 5 6 7 9
销售额 20 40 60 50 80
（1）在给出的坐标系中画出散点图；
（2）建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
（3）利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少．
（参考公式：线性回归方程中的系数，）
20. 为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过55kg的关联性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．
单位：人
性别 体重 合计
超过55kg 不超过55kg
男 180 120 300
女 90 110 200
合计 270 230 500
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？
（2）按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过55kg的学生中抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记选中的女生数为X，求X的分布列与期望．
参考公式和数据：，n＝a＋b＋c＋d．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．已知．
(1)求展开式中含的项的系数；
(2)设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值．
22. 某地区为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B，C的自然成活率均为．
（1）若，任取树苗A，B，C各一棵，求只有一棵树苗自然成活的概率；
（2）任取树苗A，B，C各一棵，记自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望，若，求的最大值．
