弧长及扇形的面积
1.如图，是半圆的直径，以为圆心，为半径的半圆交于，两点，弦是小半圆的切线，为切点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
2. 扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积是（ ）
Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．
3. 如图，扇形的圆心角为，且半径为，分别以，为直径在扇形内作半圆，和分别表示两个阴影部分的面积，那么和的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．无法确定
4. 如图，矩形中，，，以的中点为圆心的与相切，则图中的阴影部分的面积为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5. 如图所示，正方形是以金属丝围成的，其边长，把此正方形的金属丝重新围成扇形的，使，不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．
6. 如图，的半径为1，为上一点，以为圆心，以1为半径作弧与相交于，两点，则图中阴影部分的面积为 ．
7． 如图，△中，，，，，为垂足，以为圆心，以为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8. 如图，半径为的与半径为的外切于点，是两圆的外公切线，切点分别为，，求和，所围成的阴影部分的面积．
9. 扇形的圆心角为，弧长是，求扇形的面积．
10. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．
11. 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得，．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在的边上，且扇形的弧与的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．
12. 若扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积为 ．
13. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为 ．（单位：，精确到）
参考答案
1. 2.Ａ 3.Ａ 4.Ｄ 5.，，面积没有变化．6.
7.Ｂ 8.连结，，过作，垂足为，则得矩形，
，．
在Rt△中，，
，，
，，．
，
，
，
．
9.
10.
11.
12.
13.
弧长及扇形的面积
班级 姓名
学习目标：1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。
教学重点、难点：
重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用
难点：弧长与扇形的计算公式的应用
教学过程：
一、情境创设
1、小学里我们已经学习过圆的周长计算公式为__________、圆面积计算公式为_________。
2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积怎样计算呢？
二、探索活动
活动一、探索弧长计算公式
因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=_________，
所以1°的圆心角所对的弧长是_________，即_________。
这样，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计
算公式为：l =_________。
注：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，它揭示了l、n、R这3个量之间的一种相等关系。如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量。
活动二、探索扇形面积计算公式
1、类比弧长的计算公式可知：圆心角为n°的扇形面积与整个圆面积的比和n°与
360°的比一致，因此，扇形的面积应等于圆的面积乘以扇形的圆心角占360的几分之几，即圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是_______。这样，在半径为R的圆中，圆心角为的扇形面积的计算公式为：
S=________。
注：类似于弧长的计算公式，扇形面积的计算公式也是表示三个量之间的相等关系，在S、n、R中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量的值。
2、扇形面积的另一个计算公式
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：
S=πR2化为S=_______·R=_______·R，从面可得扇形面积的另一计算公式：
S扇=_______。
三、小试牛刀
（1）圆的周长为12π，这个圆的直径为_______。
（2）圆弧的半径为24，所对的圆周角为60°，则圆心角所对的弧长为_______。
（3）扇形的面积为6π，半径为4，扇形的弧长l =_________。
（4）圆心角为120°的扇形的弧长为，它的面积为________。
（5）已知一个扇形的半径是一个圆的半径的2倍，并且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为________。
四、例题教学
例1、已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之间有怎样的数量关系？
例2、 正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形面积S（图中阴影部分）。
例3、如图，半圆的直径AB=40，C，D是这个半圆的三等分点。求弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分的面积。
例4、如图正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆。求围成图形（阴影部分）的面积。
课后作业
班级__________姓名___________学号_________得分_________
1、圆心角为40°、半径为6的弧长为________；面积为________。
2、半径为3、弧长为4的扇形面积为________。
3、扇形的圆心角为120°，弧长为，则扇形的面积为_________。
4、弧长为、面积为的扇形的半径为________，圆心角为_______。
5、正三角形的边长为6的内切圆的周长为_______，外接圆面积为________。
6、如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，
AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连
接AC，则图中阴影部分的面积为________。
7、△ABC的外接圆半径为2，∠BAC=50°，求∠BAC所对的弧BC的长。
8、如图，⊙O的半径为2，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，AB=。求图中阴影部分的面积。
9、如图，点C、D在线段AB上，⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3的直径分别为AB、AC、CD、DB。
（1）求⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3的周长C、C1、C2、C3；
（2）C与C1、C2、C3有怎样的数量关系。
10、如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为多少？
11、如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是？
12、如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2． （1）求线段EC的长； （2）求图中阴影部分的面积．
13、如图，在⊙O中，弧AD等于弧AC，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC． （1）求证：AC2=AB?AF； （2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
弧长及扇形的面积
教学目标：1、 经历探索弧长计算公式的过程
2、掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题。
教学重点：圆的弧长计算公式
教学难点：例1图形较为复杂，牵涉的知识点较多，并需添加辅助线，思路不易形成。
教学设计：
一、复习（圆周长）
已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？C=2πR
这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？
提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
二、探究新问题、归纳结论
教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．
研究步骤：
归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则
? （弧长公式）
（三）理解公式、区分概念
教师引导学生理解：
（1）在应用弧长公式 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
（四）初步应用
例1、填空：
（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；
（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；
（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．
例2、例1 一段圆弧的公路弯道,圆弧的半径是2km,一辆汽车以每小时60km的速度通过弯道,需20秒.求弯道所对的圆心角的度数。(精确到0.1度)
分析：（1）对照弧长公式，那些量是直接已知的，哪个量是要求的？
（2）要求弯道所对圆心角的度数，应先求出什么？
解（略）
例3、 如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC＝15，⊙O的半径为Ｒ＝30，求的长。
分析：（1）要求的长，关键是求出所对的圆心角∠BOD的大小。
（2）如何求∠BOD的大小呢？
（3）利用已知条件并通过添加辅助线，构造出△DOB来帮助解决。
课件17张PPT。课题:探究扇形面积公式一 教学设计说明整堂课以问题引导当堂训练为主线，利用导学案,直观教具与计算机辅助教学，巧妙地把学生的学习状态引进了数学课堂，实现学生为主体地位，使任何一个层次的学生在获得知识的同时提高学习数学的兴趣，认识自我，学会自主学习,学会小组合作的团队协作精神,增强信心，提高能力。注重一个“效”字
灵活运用一个“变”字
贯穿一个“做”字
凸显一个“合”字
体现一个“乐”字
总之学习这一节课要让学生1、地位和作用：
课题说明:本课题是新人教版数学九年上册课本第二十四章 圆 第112页 扇形面积部分
生活中常会遇到求扇形面积,探究扇形面积公式可以帮我们解决一些实际问题，也是
今后求圆锥侧面积公式的推导打下基础的重要依据，同时也是为进行面积的计算提
供了方法.
本节知识在中招考试中所占的分值:一、教材分析二、教材分析在学习这节课知识之前,学生已经学习了与圆相关的概念,垂径定理,圆心角,圆周角定理及扇形的弧长公式等内容,是有一定的学科基础,同时学生也想继续探究新的知识.2.学情分析 3.学习目标：
(一) 知识目标
1). 了解扇形的概念
2) 理解n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式
3) 会运用公式求扇形面积.
(二) 能力目标
1)．经历探索扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2)．了解扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
(三)情感与价值观目标
1)．经历探索扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2)．通过用扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．二 学习重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的
扇形面积S扇= 及其它们的应用．
2．难点：公式的应用．
3．关键：由圆的面积迁移到扇形面积公式的过程．或三 学习方式
以问题引导当堂训练为主导,展开学生自主学习 小组合作 分层学习 当堂训练 当堂检测2.学生自主学习,
学生自主阅读数学九年上册课本第二十四章 圆 第112页 扇形面积部分
在小学我们已经学习过有关圆的面积公式，扇形与圆有怎样的关系，那么扇形面积应怎样计算？它与圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索.四 课堂程序S=πR2 C=2πR6π4π设计意图
巩固旧知,为后面学习作铺垫设计意图
通过学生自主学习从提问方式进行小结，让学生养成学习—总结—培养自主学习的良好学习习惯，确定本节课的学习目标。3.探究一. 扇形面积公式答：由组成圆心角的两条 和圆心角所对
的 围成的图形叫做扇形1)、怎样的图形叫做扇形？半径弧设计意图
巩固新知,检验学生是否能对新概念的理解
则1800 的圆心角所对的扇形面积表示为
则900 的圆心角所对的扇形面积表示为
合作探究:2) 、扇形与圆的面积之间有怎样的关系？若把圆的面积看作3600的圆心角所对的扇形面积，则设计意图
学生通过合作交流、探索发现：如何把圆的面积转化为扇形面积过渡,最后获得求扇形面积的公式体会合作之乐，发展思维能力，富有成就感。
则450 的圆心角所对的扇形面积表示为
则 10的圆心角所对的扇形面积表示为
则n0圆心角是所对的扇形面积表示为
合作探究:注意:
1.扇形面积的大小由圆的大小（半径）、圆心角的度数决定.即:n0圆心角的扇形面积公式表示为
2.公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
4.探究二问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 即:(注意：l为弧长,R为圆的半径)5.例题 如图 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高为0.3m，求截面上有水部分的面积.(结果保留准确值)
?
设计意图
通过让学生先动手尝试做例题,然后学生通过合作交流、探索发现自己那些地方自己没有想到,通过合作相互的取长补短,使自己能够运用新知,结合旧知解决一个较难的题,从而培养了学生自主学习能力,又培养他们合作的能力.再就老师通过这题的展示,点评,指导学生在今后的学习中应如何的学习：体会创造之乐，发展思维能力，富有成就感。五.学生巩固练习 ,组内互助 展示交流,点拨提升(A层学生完成第3题. B层学生完成1,2题)
1.一扇形半径为60cm, 圆心角为150°，则扇形的面积是 .
2.英才学校的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米2，
弧AB的长为9米，那么半径OA=______米.3.如图 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高为0.9m，求截面上有水部分的面积.(结果保留准确值)练习设计意图
1,2题让后进生学会运用新知解决简单的问题.优秀的学生做第3题是例题的变式练习,主要考察学生学以致用对多种知识的综合是否真正内化，进一步挖掘他们的学习潜力,同时这也是教学的难点。 五 课堂小结:1、 弧长的计算公式2、 扇形面积的计算公式或3.注意：弧长与扇形面积的大小由圆的大小（半径）、圆心角的度数决定.公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
课堂检测分AB两个层次设计,使各层次的学生学以致用，进一步检测学生对新知的掌握情况。六 板书设计例1 ‥‥‥
课堂练习‥‥‥
小结‥‥‥
课堂检测‥‥‥课题:探究扇形面积公式1、 弧长的计算公式2、 扇形面积的计算公式或3.注意：弧长与扇形面积的大小由圆的大小（半径）、圆心角的度数决定.公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
谢谢指导！七 课后 反思
