24.3 正多边形和圆
知识点
1.________________相等，______________也相等的多边形叫做正多边形.
2．把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是________________，它的中心角等于______________________________________________.
3.一个正多边形的外接圆的____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的__________叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距.
4.正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，
（1）中心角的度数为：______________.
（2）每个内角的度数为：_______________________.
（3）每个外角的度数为：____________.
（4）周长为：_________，面积为：_________.
5.正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有_______条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是_______________.（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）
一、选择题
1.下列说法正确的是 （ ）
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
2.（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为 （ ）
A．
：3
B．
：2
C．
1：2
D．
：2
3.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( )
A．6， B．，3
C．6，3 D．，
4. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
则∠ADB的度数是（ ）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为 （ ）
A. B.
C.3:2:1 D.1:2:3
6. 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，
则∠APB的度数是（ ）．
A．36° B．60° C．72° D．108°
7.（2013?自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果
用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），
把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的
个数是（ ）
A.4 B.5
C.6 D. 7
8.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O
的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ的度数是 （ ）
A.60° B.65°
C.72° D.75°
二、填空题
9.一个正n边形的边长为a，面积为S，则它的边心距为__________.
10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度.
11.若正六边形的面积是cm2，则这个正六边形
的边长是__________.
12.已知正六边形的边心距为，则它的周长是_______.
13.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM
=BN，点O是正八边形的中心，则∠MON=_____________.
14.边长为a的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________.
15.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要__________cm.
16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2，则这个正多边形的边数是__________.
17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.
18.(2013?徐州)如图，在正八边形ABCDEFGH中，四
边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为
________cm2.
三、解答题
19.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.
正五边形 正六边形
例如 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.
相同点：（1）____________________________________________________________________;
（2）___________________________________________________________________.
不同点：（1）____________________________________________________________________;
（2）__________________________________________________________________.
20.已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6.
21.如图，⊙O的半径为，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积.
22.已知⊙O和⊙O上的一点A.
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.
23.如图1、图2、图3、…、图n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
24.3 正多边形和圆
知识点
1.各边 各角
2.正多边形 正多边形每一边所对的圆心角
3.圆心 半径 圆心角 距离
4.
5.n 轴对称图形
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C
7.B
解：根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．
360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
因此n的所有可能的值共五种情况，
故选B．
8.D
二、填空题
9. 10.144 11.4cm 12.12 13.45° 14.1:2:3 15. 16.四 17.2:3
18.40
三、解答题
19.相同点：（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；
（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）.
不同点：（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；
（2）正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条.
20.
21.
解：连结OB
∵在Rt△AOC中，AC==1
∴AC=OC ∴∠AOC=∠OAC=45°
∵OA=OB OC⊥AB
∴AB=2AC=2 ∠AOB=2∠OAC=2×45°=90°
∴这个内接正多边形是正方形.
∴面积为22=4
∴中心角为90°，边长为2，面积为4.
22. (1)作法：
①作直径AC;
②作直径BD⊥AC;
③依次连结A、B、C、D四点,
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形;
④分别以A、C为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G;
⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点.
六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形.
(2)证明：连结OE、DE.
∵∠AOD＝＝90°，∠AOE＝＝60°，
∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝90°-60°=30°.
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.
23.(1)方法一：连结OB、OC.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴∠OBM=∠OCN＝30°，
∠BOC=120°.
又∵BM=CN，OB=OC，
∴△OBM≌△OCN（SAS）.
∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
方法二：连结OA、OB.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,
∠AOB=120°.
又∵BM＝CN，
∴AM=BN.
又∵OA=OB,
∴△AOM≌△BON（SAS）.
∴∠AOM=∠BON.
∴∠MON=∠AOB=120°.
(2)90° 72°
(3)∠MON=.
24.3 正多边形和圆
学习目标：1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．
自主学习：
一．温故知新 请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？答：
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？答：
二、自主学习：正多边形和圆知识要点：
1．中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
2．半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径
3．中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
4．边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距
※画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
※正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。
三．例题1：如图正多边形的半径为，完成下表中的计算：
正多边形边 数
内角
中心角
边长
边心距
周长
面积
3
4
5
6
例2：有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
练习：1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的＿＿＿圆与＿＿＿圆的圆心。
2、OB叫正△ABC的＿＿＿，它是正△ABC的＿＿圆的半径。
3、OD叫作正△ABC的＿＿＿＿＿＿，它是正△ABC的 ＿＿＿＿＿＿圆的半径。
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的＿＿＿＿＿＿
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的＿＿＿＿＿＿
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的＿＿＿＿，它是正五边形ABCDE的＿＿＿＿圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的＿＿＿＿角，它的度数是＿＿＿＿
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是＿＿＿＿。它的度数是＿＿＿＿
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？
三．合作学习：
1．要用圆形铁片截出边长为的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？
2．如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要多少？
3．如图1、2、3、…、，是⊙内接正三角形、正方形、正五边形、……
正边形的边的中点，连结、.
⑴求图1中的度数.
⑵分别求出图2、3中的度数（直接写出结果）.
⑶试探究的度数与正边形边数之间的关系（直接写出结果）.
24.3 正多边形和圆
教学时间
课题
24．3 正多边形和圆
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．
2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．
过 程
和
方 法
学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．
情 感
态 度
价值观
学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的．
教学重点
探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．
教学难点
探索正多边形与圆的关系．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
观看下列美丽的图案．
问题1
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
问题2
你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？
教师演示课件或展示图片，提出问题1．
学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．
教师关注：
学生能否从这些图案中找到正多边形；
学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系．
教师提出问题2，引导学生观察、思考．
学生讨论、交流，发表各自见解．
教师关注:
学生能否联想到等分圆周作出正多边形来．
通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美．
问题2的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上．
[活动2]
问题1
将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．
问题2
如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？
问题3
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．
教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形．
教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．
教师关注：
（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；
（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；
（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；
（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．
教师带领学生完成证明过程．
教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题．
教师关注：学生是否会仿造证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．
教师根据学生的回答给以总结：
将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．
教师提出问题3，学生讨论，思考回答．教师关注：
（1）学生能否利用正多边形定义进行判断；
（2）学生能否由圆内接多边形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等；
（3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．
教师讲评．
在活动1中学生们发现了正多边形与圆有着密切的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形．
活动2的设计就是要学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证所发现的结论的正确性，从而培养学生科学严谨的治学态度，和运用所学知识解决问题的能力．
问题2的设计是将结论由特殊推广到一般．这符合学生的认知规律．并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般．
问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，且各内角都相等，这两个条件缺一不可．同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性．
[活动3]
学生观看课件，理解概念．
例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．
完成教材第105页例题
教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念．
教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．
教师关注：
（1）学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；
（2）学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究．
（3）学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积．
教师引导学生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法．
教师让学生独立完成例题2，教师巡视，个别辅导．给出正确答案．
例题1、2是有关正多边形计算的具体应用，目的是让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识．
学生在教师的引导下，将正多边形的中心，半径，中心角，边心距等集中在一个三角形中来研究，即将正多边形的中心与顶点连接起来，将正多边形分割成n个全等的等腰三角形，让学生们发现每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可以利用勾股定理进行计算．进而能够求得正多边形的周长和面积．教师引导学生将实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决．
体现了化归思想在解题中的应用．
[活动4]
小节
学完这节课你有哪些收获？
思考题
问题1：
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
问题2
正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？
学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．
教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．
学生独立完成，教师批改、总结，重点关注：
（1）对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析；
（2）学生面对探究性问题的解决方法．
了解教学效果，及时调整教学．
通过对实际问题的探究，完成具体→抽象→具体的思维螺旋上升过程，形成应用数学的意识，加深对本节知识的理解．
作业
设计
必做
教科书P107：1-4
选做
教科书P108：5-8
教
学
反
思
课件20张PPT。24.3 正多边形和圆学习目标：1：了解正多边形的定义及中心、半径、 边心距、中心角等相关概念
2：理解正多边形的性质及与圆的关系
3：掌握正多边形的有关计算
观察下列图形他们有什么特点？各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.三条边相等，三个角相等（60度）。四条边相等，四个角相等（900）。正三角形正方形一 .正多边形定义如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?菱形, 矩形都不是正多边形3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。二、正多边形的性质及对称性4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
它的中心就是对称中心。1、正多边形的各边相等2、正多边形的各角相等正n边形与圆的关系1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.2.怎样由圆得到正多边形呢？ABCD思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗??弧相等弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）—多边形是正多边形.O中心角半径R边心距r正多边形的中心:
一个正多边形的
外接圆的圆心.正多边形的半径:
外接圆的半径正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.三. 正多边形有关的概念AB.O中心角半径R边心距r正多边形的内角:正多边形的半径:
外接圆的半径正多边形的中心角:正多边形的边心距：四. 正多边形有关的计算AB正多边形的面积：1,O是正△ABC的中心，它是△ABC
的_______圆与________圆的圆心。2,OB叫正△ABC的_______，它
是正△ABC的 _______ 圆的半径. 3,OD叫作正△ABC的________，
它是正△ABC的_______ 圆的
径. D外接内切半径外接边心距内切出手小试4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的____________.5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的____________ABCD.OE中心边心距6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的_______,它是正五边形ABCDE的_______圆的半径。7,∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角
它的度数是______边心距内切中心72度8,图中正六边形ABCDEF的中心角是______
它的度数是______9,你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？ BA∠AOB60度例 1有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米)..OBCrRP∴亭子的周长 L=6×4=24(m).OBCrR=4P例2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系....ABCMNMNMNOOO回忆一下你学到了什么？1：正多边形的定义及相关概念
2：正多边形的有关计算完成下表中正多边形的计算
(把计算结果填入表中)：比比高低1、正八边形的中心角是 度;它的外角是 度.
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．正多边形的边心距与边长之比为 :2,则此多边形的边数是 .
4．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；边心距为________． 当堂检测 ６.在正三角形、正五边形、正十边形和正十五边形中，既是轴对称又是中心对称的个数是（ ）
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个７.(2004·天津)若一个正多边形的每一个内角都等于120°, 则它是
A.正方形 B.正五边形
C.正六边形 D.正八边形 ８.一个正多边形的内角和为720°，这个正多边形是( )
A.正方形 B.正五边形
C.正六边形 D.正八边形9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36° B、 18°
C．72° D．54°
10．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
