(共16张PPT)
思考：怎样作出线段的垂直平分线？
作法一：通过折纸可以作出线段的垂直平分线。在半透明纸上画一条线段 AA′，折纸，使 A 与 A′ 重合，得到的折痕 l 是线段 AA′ 的垂直平分线。
作法二：用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线。
作法三：用尺规作图，作出线段 AB 的垂直平分线。
作法：
2、过点 E、F 作直线。
则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线。
为什么这样作出的直线 EF，就是线段 AB 的垂直平分线呢？
设所作直线 EF 交 AB 于点 O，你能给出证明吗？
要证得直线 EF 是 线段 AB 的垂直平分线，应证得∠AOE＝90 ，OA＝OB。故应先证得△AEF≌△BEF，再证得△AOE≌△BOE。
证明：
连接 AE、AF，BE、BF。
在△AEF 和△BEF 中：
∴ △AOE≌△BOE
（作图）
（公共边）
（作图）
（SAS）
∴ ∠AEF＝∠BEF
（全等三角形的对应角相等）
∴ △AEF≌△BEF
（SSS）
在△AOE 和△BOE 中：
（作图）
（公共边）
（已证）
AE＝BE
OE＝OE
∠AEF＝∠BEF
∴ ∠AOE＝∠BOE，OA＝OB
（全等三角形的对应角、对应边相等）
∵ ∠AOE＋∠BOE＝180
（邻补角定义）
AE＝BE
AF＝BF
EF＝EF
∴ ∠AOE＝∠BOE＝90
∴ EF 是 线段 AB 的垂直平分线
例 1 ：
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
本题为命题证明，故应先明确“条件”和“结论”。条件：线段的垂直平分线；结论：它上面的点到线段两端的距离相等。结合题意画出图形，再由“条件”写出“已知”，由“结论”写出“求证”。
已知：（如图）直线 MN 经过线段 AB 的中点 O，且 MN⊥AB，P 是 MN 上任意一点。
求证：PA＝PB。
证明：
∵ MN⊥AB
（已知）
∴ ∠AOP＝∠BOP＝90
（垂直定义）
在△AOP 和△BOP 中：
AO＝BO
OP＝OP
∠AOP＝∠BOP
∴ △AOP≌△BOP
∴ PA＝PB
即：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
（已知）
（已证）
（公共边）
（SAS）
（全等三角形的对应边相等）
线段垂直平分线上的点到
线段两端的距离相等
【注意】
1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例 2 ：
如图，在△ABC 中，∠C＝90 ，AC＝8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD，若 DC:DB＝3:5，则 DC ＝＿＿。
本题主要考察线段垂直平分线定理，由此定理可得 DA＝DB，再由 AC＝8cm，可得 DC 的长度。
3cm
1、如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上的一点，已知线段 PA＝5，则线段 PB ＝＿＿＿。
5
2、如图， DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是【 】
A、ED＝CD B、∠DAC＝∠B
C、∠C＞2∠B D、∠B＋∠ADE＝90
D
3、如图，△ABC 中， AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 上于点 D。
⑴ 若 AB＝AC＝14，BC＝10，则△BCD 的周长＝＿＿＿；
⑵ 若△BCD 的周长为 26，BC＝9，则 AB＝＿＿＿。
24
17
4、如图，△ABC 中， EF，MN，分别为 AB，AC 的垂直平分线，若 BC＝12cm，则△FAN 的周长为＿＿＿cm。
12
5、如图，在△ABC 中，∠B＝115 ，AC 边的中垂线 DE 与边 AB 交于点 D，∠ACD:∠BCD＝5:3，则∠ACB＝＿＿＿。
6、如图所示，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，AC＝8cm，△ABE 的周长是 14cm，则 AB 的长为＿＿＿＿＿。
40
6cm
7、已知，如图，△ABC 的∠A＞∠ABC， 边 BC 的垂直平分线 DE 分别交 AC、BC 于点 D、E，则 AD＋BD 与 BC 的关系是【 】
A、大于
B、小于
C、等于
D、不能确定
B
8、如图，在△ABC 中，∠BAC＝100 ，DF 、EG 分别为 AB 和 AC 的垂直平分线，则∠DAE＝＿＿＿。
20
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点
线段两端的距离相等.
逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂
直平分线上 .
线段垂直平分线的定义：过线段中点并且垂直于这
条线段的直线，也叫中垂线.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.2《线段的垂直平分线》导学案(2)
【学习目标﹒导思】
1、掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理。
2、掌握三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。
【学习重难点】
重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理。
难点：线段垂直平分线性质定理逆定理的应用。
【学法指导】
通过对定理的理解加强定理的应用，提高自己应用定理的能力，我与同伴合作交流，多注重解题技巧。
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1、线段的垂直平分线定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、三角形三边的垂直平分线相交于＿＿＿，这点到三角形三个顶点的距离＿＿＿＿＿。
3、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20 ，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE＝＿＿＿＿ 。21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
4、定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、课内探究
探究1：你能说出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？若是真命题请写出证明过程。
求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
探究2：三角形的三边的垂直平分线相交于一点吗？请画出图形，若相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等吗？www.21-cn-jy.com
合作探究：
1、已知：（如图）△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P。
求证：点P在BC的垂直平分线上。
( http: / / www.21cnjy.com )
2、如图，A、B、C三点表示三个镇的 ( http: / / www.21cnjy.com )地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等。请你作出变电站的位置（用P点表示，并说明理由）。2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
五、课堂基础达标
1、下列说法：① 若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB，PA＝PB；② 若
EA＝EB，PA＝PB；则直线PE垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线段 AB；③ 若PA＝PB，则点P 必是线段 AB的垂直平分线上的点 ；④ 若EA＝EB，则过点E的直线垂直平分线段AB。其中正确的有【 】【来源：21·世纪·教育·网】
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
2、给出以下两个定理：
① 线段垂直平分线上的点和这条线段两端距离相等。
② 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
应用上述定理进行如下推理：
直线l是线段MN的垂直平分线。
∵ 点A在直线上 ∴ AM＝AN （ ）
∵ BM＝BN ∴ 点B在直线l上 （ ）
∵ CM≠CN ∴ 点C不在直线l上
这是因为如果点C在直线l上
那么CM＝CN （ ）
这与条件CM≠CN矛盾。
以上推理中在括号内应注明的理由依次是【 】
A、②①① B、②①② C、①②② D、①②①
3、如图所示， AC＝AD，BC＝BD ，则有【 】
A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB
C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB
4、如图所示，在△ABC中AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线交AB、BC于点D、E，则△ACD的周长为＿＿＿cm。21世纪教育网版权所有
5、如图所示，有A，B，C三个 ( http: / / www.21cnjy.com )居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在【 】
A、AC，BC两边高线的交点处 B、AC，BC两边中线的交点处
C、AC，BC两边垂直平分线的交点处 D、∠A，∠B两内角平分线的交点处
6、如图所示， 某村有一块三角形的空地 ( http: / / www.21cnjy.com )（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它按要求分给甲、乙两农户。（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法，不要证明）
7、如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，∠CAD＝20 ，∠ACB的外角等于110 。21教育网
求证：BE＝AC 。
8、如图所示，已知△ABC中，∠BAC＝58 ，O是AB，BC的垂直平分线的交点，求∠OBC 的度数。21cnjy.com
【学习反思】
你在本节课中有哪些收获？
第3题
第4题
第5题
第6题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 4 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.2《线段的垂直平分线》导学案(1)
【学习目标﹒导思】
1、能用尺规作出线段的垂直平分线。
2、掌握线段垂直平分线的定义。
3、掌握线段垂直平分线的性质定理。
【学习重难点】
重点：理解掌握线段垂直平分线的性质定理。
难点：线段垂直平分线性质定理的应用。
【学法指导】
动手操作画出线段的垂直平分线，感 ( http: / / www.21cnjy.com )悟线段的垂直平分线的概念。对照图形理解线段的垂直平分的性质定理，从学习过程中学会与别人合作交流，探究问题的实质。
【课前预习﹒导学】
1、线段垂直平分线的作法：
作法一：通过折纸可以作出线段的垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线。在半透明纸上画一条线段AA′，折纸，使A 与A′重合，得到的折痕 l 是线段＿＿＿＿＿的垂直平分线。21教育网
作法二：用刻度尺量出＿＿＿＿＿的中点，再用三角尺过中点画＿＿＿＿的方法作出线段的垂直平分线。21·cn·jy·com
作法三：用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线。
已知：（如图）线段AB。
求作：线段AB的垂直平分线。
步骤：
（1）分别以点＿＿＿和点＿＿＿为圆心，以＿＿＿＿＿＿＿长为半径画弧，两弧相交于点E和点F。
（2）作直线EF，则＿＿＿＿＿＿＿就是线段AB的垂直平分线。
( http: / / www.21cnjy.com )
2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离＿＿＿＿。
如上图所示，直线CD是线段MN的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PM＝5，则线段PN的长度为＿＿＿＿。2·1·c·n·j·y
3、到线段两端距离相等的点在_____________________________.
【课内探讨】
1、探究1：什么叫做线段的垂直平分线（线段的中垂线）？
2、探究2：请同学说说作线段垂直平分线的一般步骤.
3、探究3：线段垂直平分线的性质定理？
___________________________________________________________________________
理解线段垂直平分线需注意哪些问题：
（1）这里的距离指的是＿＿＿＿＿之间的距离，也就是＿＿＿＿＿＿＿的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是＿＿＿＿线段，二是＿＿＿这条线段。
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
四、对应练习：
如图，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠C＝90 ，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若 DC:DB＝3:5，则DC的长度是多少？21世纪教育网版权所有
五、课堂基础达标
1、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB＝＿＿＿。21cnjy.com
2、如图， DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是【 】
A、ED＝CD B、∠DAC＝∠B C、∠C＞2∠B D、∠B＋∠ADE＝90
3、如图，△ABC中， AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC上于点D。
⑴ 若AB＝AC＝14，BC＝10，则△BCD的周长＝＿＿＿；
⑵ 若△BCD的周长为 26，BC＝9，则AB＝＿＿＿。
4、如图，△ABC中，EF，MN，分别为AB，AC的垂直平分线，若BC＝12cm，则△FAN的周长为＿＿＿cm。www.21-cn-jy.com
5、如图，在△ABC中，∠B＝115 ，AC边的中垂线 DE与边 AB交于点D，∠ACD:∠BCD＝5:3，求∠ACB的度数。【来源：21·世纪·教育·网】
6、如图所示，在△ABC中，BC的垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABE的周长是14cm，则AB的长为＿＿＿＿＿。21·世纪*教育网
7、已知，如图，△ABC的∠A＞∠ABC， 边BC
的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，
则AD＋BD与BC的关系是【 】
A、大于 B、小于
C、等于 D、不能确定
8、如图，在△ABC中，∠BAC＝100 ，DF、EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数。www-2-1-cnjy-com
【学习反思】
你在本节课中有哪些收获？
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网(共16张PPT)
1、线段的垂直平分线定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、三角形三边的垂直平分线相交于＿＿，这点到三角形三个顶点的距离＿＿＿＿。
3、如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠A＝20 ，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE＝＿＿ 。
线段垂直
平分线上的点到线段两端的距离相等
一点
相等
60
线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
上面定理的逆命题是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。它是＿＿命题。
条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
到线段两端
距离相等的点在线段的垂直平分线上
真
点到线段两端的距离相等
它在线段的垂直平分线上
求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
已知：（如图） PA＝PB。
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
证明：（如图）过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 。
∵ PC ⊥AB （已知）
∴ ∠PCA＝∠PCB＝90 （垂直定义）
在 Rt△PAC 和 Rt△PBC中：
PA＝PB
PC＝PC
∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBC （ HL）
∴ AC＝BC (全等三角形的对应边相等）
∴ PC 是线段 AB 的垂直平分线
即：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
线段垂直平分线性质定理逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
例 1 ：已知：（如图）△ABC 的边 AB、AC 的垂直平分线相交于点 P。
求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上
证明 ：（如图）连接 PA、PB、PC 。
∵ 点 P 在 AB、AC 的垂直平分线上 （已知）
∴ PA＝PB、PA＝PC （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴ PB＝PC （等量代换）
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
例 2 ：
如图，A、B、C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等。请你作出变电站的位置（用 P 点表示，并说明理由）。
本题主要考察线段垂直平分线定理及其逆定理，由此例可得三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
1、下列说法：① 若直线 PE 是线段 AB 的垂直平分线，则 EA＝EB ，PA＝PB；② 若 EA＝EB ，PA＝PB；则直线 PE 垂直平分线段 AB ；③ 若PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点 ；④ 若EA＝EB，则过点 E 的直线垂直平分线段 AB 。其中正确的有【 】
A、1 个 B、2 个
C、3 个 D、4 个
C
2、给出以下两个定理：
① 线段垂直平分线上的点和这条线段两端距离相等。
② 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
应用上述定理进行如下推理：
直线 l 是线段 MN 的垂直平分线。
∵ 点 A 在直线上 ∴ AM＝AN （ ）
∵ BM＝BN ∴ 点 B 在直线 l 上 （ ）
∵ CM≠CN ∴ 点 C 不在直线 l 上
这是因为如果点 C 在直线 l 上
那么 CM＝CN （ ）
这与条件 CM≠CN 矛盾。
以上推理中在括号内应注明的理由依次是【 】
A、②①① B、②①②
C、①②② D、①②①
D
3、如图所示， AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有【 】
A、AB 垂直平分 CD
B、CD 垂直平分 AB
C、AB 与 CD 互相垂直平分
D、CD 平分 ∠ACB
A
4、如图所示，在△ABC 中AB＝5cm，AC＝3cm，BC 的垂直平分线交 AB、BC于点 D、E ，则△ACD 的周长为＿＿cm。
8
5、如图所示，有 A，B，C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在【 】
A、AC，BC 两边高线的交点处
B、AC，BC 两边中线的交点处
C、AC，BC 两边垂直平分线的交点处
D、∠A，∠B 两内角平分线的交点处
C
6、如图所示， 某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中 A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即 A 点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，请你把它按要求分给甲、乙两农户。（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法，不要证明）
将 BC 平分成四份，有两种连接方式。
7、如图所示，在△ABC 中，AB的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E ，交 AB 于点 F ，点 D 为线段 CE 的中点，∠CAD＝20 ，∠ACB 的外角等于 110 。
求证：BE＝AC 。
连接 AE，利用线段的垂直平分线定理及其逆定理。
8、如图所示，已知△ABC 中，∠BAC ＝58 ，O 是 AB ，BC的垂直平分线的交点，求∠OBC 的度数。
32
线段垂直平分线性质定理逆定理：
到线段两端距离相等的点在
线段的垂直平分线上。
