23.2.1中心对称
知识点
1．中心对称的概念
把一个图形绕着某一个点旋转 度，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称 。这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做关于中心的 。
2．成中心对称的两个图形的特征
（1）关于中心对称的两个图形是 。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，且被 平分。
（3）成中心对称的两个图形，其对应线段位置关系是 或 ，数量关系是 。
3.画已知图形关于某点成中心对称的图形
(1) 画一个点关于某点(对称中心)的对称点的画法是：
①先连接 与 。
②延长取 。
(2) 画一个图形关于某点的对称图形的画法是：
①先找出图形中的几个特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心
等）。
②画出各点关于某点 的点。
③顺次连接各 。
一．选择
1．下列两个电子数字成中心对称的是（ ）
2.下列命题中正确的命题的个数有 （ ）
①在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分；
②关于某一点成中心对称的两个三角形能重合；
③两个能重合的图形一定关于某点中心对称；
④如果两个三角形的对应点连线都经过同一点，那么这两个三角形成中心对称；
⑤成中心对称的两个图形中，对应线段互相平行或共线。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列说法中，正确的的是 （ ）
A.形状和大小完全相同的两个图形成中心对称；
B.成中心对称的两个图形一定重合；
C.成中心对称的两个图形的形状和大小完全重合；
D.旋转后能重合的两个图形成中心对称 。
4.下列描述中心对称的特征语句中正确的是 （ ）
A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心。
B、成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段。
C、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段经过对称中心，但不一定被对称中心平分。
D、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，且被对称中心平分。
5.如图（1），将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是图（2）中的哪一个 （ ）?
（1）
.
（2）
6.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）
A. 15°或30° B. 30°或45° C. 45° 或60°D. 30°或60°
7.如图，将△ABC绕点C（0，(1）旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为，则点A的坐标为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二 填空
8.下列图形中符合中心对称的意义的是＿＿
①矩形 ②菱形 ③平行四边形 ④等腰梯形 ⑤等边三角形
9.上图中的△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转180°后得到的图形，
根据旋转的性质回答下列问题：
PA与PA′的数量关系是＿＿。
∠A PA′的度数为＿＿。
线段A A′经过点P ，且被其＿＿。
（4）△A′B′C′与△ABC ＿＿。
10.在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么点B′与点B的位置相距＿＿。
三、作图
11..作出图中△ABC关于点P成中心对称的图形△A′B′C′.
12.如图（1），已知四边形ABCD和一点O，求作四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD关于点O对称；如果把O点移至如图（2）所示位置,又该怎么作图呢?
（1） （2）
13.如图，已知四边形ABCD和一点O，O与C重合,求作四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD关于点O对称.
.
14.如图，△ABC与△A′B′C′关于某一点成中心对称，画出对称中心.
四．解答
15.如图，已知四边形ABCD关于O点成中心对称,求证：四边形ABCD是平行四边形.
16、如图已知A（3，-3），B（-2，-1），C（-1，-2）是直角坐标平面上三点，?
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△ABC
（2）请写出点B关于y轴对称的点B的坐标，若将点B向上平移h个单位，使其落在△ABC的内部，指出h的取值范围。 ?
23.2.1
一、1、A 2、D 3、C 4、D 5、D 6、D 7、D
二．8、①②③
9、（1）相等、(2)180°、（3）平分、（4）全等
10、 2
11、
12、
（1） （2）
13、
14、
15、由中心对称的性质可得OB=OD,OA=OC.所以四边形ABCD是平行四边形.
16、解、⑴如下图所示
（2）点B的坐标为（2，-1）。h的取值范围是2＜h＜3.5
中心对称
学习目标：
1、掌握中心对称的定义以及相关概念。理解中心对称的性质，能够利用性质解决相关问题。
2、能够依据中心对称的性质解决相关作图问题。
重点：作图以及利用性质解决问题。
难点：利用性质解决问题。
学习过程：
一、自学教材P62回答下列问题。
1、自学教材P62思考，谈谈你有何发现_______________________________________________.
2、把一个图形____________________________________________________________，那么就说这两个图形关于这个点中心对称。这个点叫______________。
3、结合中心对称的定义回答：①中心对称的图形有____个；②中心对称是把一个图形绕某一点旋转___°③中心对称揭示了_____个图形中的一种_______关系。
3、依据第2题的作图，回答：对称中心是_____，相等的线段有________________，△ABC与△DEF是______形，点A、B、C的对称点分别为___________________.
4、关于中心对称的两个图形的对称线段________________________________________。
四、随堂检测：
1、下列说法错误的是?(? ?)
A．中心对称图形一定是旋转对称图形 B．轴对称图形不一定是中心对称图形?? C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．旋转对称图形一定是中心对称图形。 2、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是(???? )． ?(A) 平行?? (B) 相等?? (C) 平行且相等?? (D) 相等且平行或在同一直线上
3、关于中心对称的两个图形，对称点的连线____________
4、如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，则这两个图形一定关于这一点成____________对称．
?5、ΔABC和ΔA’B’C’关于点O中心对称，若ΔABC的周长为12cm，ΔA’B’C’的面积为6cm2,则ΔA’B’C’的周长为___________，ΔABC的面积为_________。
6、如图所示，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，则在一直线上的三点有??? ，并且AO＝??? ，BO＝??? .
7、已知A、B、O三点不共线，A、A’关于O对称，B、B’关于O对称，那么线段AB与A’B’的关系________．
8、已知点O是平行四边形?ABCD对角线的交点,则图中关于点O对称的三角形有_____对,它们分别是_____________________________。????
9、右图中②③④⑤分别由①图顺时针旋转180°变换而成的是____________。
10、在右面四个图形中，图形①与___________成轴对称，图形①与图形___________成中心对称．
11、如右图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有__________组.
12、如图: 请你在右图的正方形格纸中，画出线段AB关于点O成中心对称的图形。
?
?
13、如图1，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，AC交BD于点O，点E、F分别为AO、BO的中点，则下列关于点O成中心对称的一组三角形是（? ??）．
A．? B． ??C．?? D．
五、回顾本节课，谈谈收获与不足。
23.2 中心对称
第一课时
教学内容
两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题．
教学目标
了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．
复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．
2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称．
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
请同学们独立完成下题．
如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．
老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．
作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；
（2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD；
（3）分别截取OE=OB，OF=OC；
（4）依次连结DE、EF、FD；
即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示．
二、探索新知
问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：
1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？
老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．
分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．
（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．
解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD
（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D
（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．
答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．
（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．
例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．
分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．
解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B点关于中心D的对称点为C（B′）
（2）连结A′B′、A′C′．
则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．
三、巩固练习
教材 练习2．
四、应用拓展
例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．
（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．
（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．
分析：（1）∵BC=4，AC=4
∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1
（2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x
解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC
∴BC′=C′D=1
∴S△BDC`=×1×1=
（2）∵CC′=x，∴BC′=4-x
∵AC=BC=4
∴DC′=4-x
∴S△BDC`=（4-x）（4-x）=x2-4x+8
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．中心对称及对称中心的概念；
2．关于中心的对称点的概念及其运用．
六、布置作业
1．教材 练习1．
2．选作课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（ ）
A．55° B．125° C．70° D．110°
二、填空题
1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．
2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．
3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）
（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（ 5）等腰三角形；（6）梯形．
三、综合提高题
1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
对称
形式
轴对称
旋转
对称
中心
对称
只有一条对称轴
有两条对称轴
2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．
3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．
答案:
一、1．B 2．D 3．D
二、1．这一点（对称中心） 2．中心对称 3．（1）（4）（5）
三、1．略
2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；
（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；
（3）连结A′D′、D′C′、C′B
则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．
3.略.
第二课时
教学内容
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
2．关于中心对称的两个图形是全等图形．
教学目标
理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．
复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．
重难点、关键
1．重点：中心对称的两条基本性质及其运用．
2．难点与关键：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）
1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？
2．什么叫关于中心的对称点？
3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．
（每组推荐一人上台陈述，老师点评）
（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形
（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；
（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．
第一步，画出△ABC．
第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示．
(1) (2)
从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；
分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．
下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．
证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，
OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点．
同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．
因此，我们就得到
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
2．关于中心对称的两个图形是全等图形．
例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．
分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．
（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．
（3）顺次连结DE、EF、FD．
则△DEF即为所求的三角形．
例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．
二、巩固练习
教材 练习．
三、应用拓展
例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．
分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．
解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B的位置，则△AOC≌△AO′B．
∴AO=AO′，OC=O′B
又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形．
∴AO=OO′
在△BOO′中，OO′+OB>BO′
即OA+OB>OC
四、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课应掌握：
中心对称的两条基本性质：
1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．
五、布置作业
1．教材 复习巩固1 综合运用6、7．
2．选作课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题
1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线
2．下列命题中真命题是（ ）
A．两个等腰三角形一定全等
B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少
C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．两直线平行，同旁内角相等
3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（ ）
A．60° B．50° C．75° D．55°
二、填空题
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．
2．关于中心对称的两个图形是_________图形．
3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．
三、综合提高题
1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．
2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．
3．如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M，现计划修建居民小区D，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D的位置．
答案:
一、1．D 2．C 3．A
二、1．对称中心 平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．
三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．
3．连结AB、AC，分别作AB、AC的中垂线PQ、GH相交于M，学校M所在位置，就是△ABC外接圆的圆心，小区D是在劣弧BC的中点即满足题意．
教学内容
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点为P′（-x，-y）及其运用．
教学目标
理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．
复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
重难点、关键
1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．
2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下面三题．
1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．
2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略）
二、探索新知
（学生活动）如图，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO
（2）在射线AO上截取OA′=OA
（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．
∵△AD′O与△A′D″O全等
∴AD′=A′D″，OA=OA′
∴A′（3，-1）
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．
（学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．
例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．
分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．
解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），
因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）．
连结A′B′．
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．
（学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．
三、巩固练习
教材 练习．
四、应用拓展
例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1．
（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．
（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．
分析：（1）只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1．
（2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=代入求k．
（3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线．
解：（1）分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1（1，0），B1（2，0），连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的．
（2）∵A1B1的中点坐标是（1，）
设所求的反比例函数为y=
则=，k=
∴所求的反比例函数解析式为y=
（3）存在．
∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1（0，1），B1（2，0）
∴ ∴
∴y=-x+1
把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线．
根据点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）得：
A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为A2（0，-1），B2（-2，0）
∵A2B2：y=kx+b
∴ ∴
∴A2B2：y=-x-1
下面证明y=-x-1与双曲线y=相切
-x-1=x+2=-
x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0
∴直线y=-x-1与y=相切
∵A1B1与A2B2的斜率k相等
∴A2B2与A1B1平行
∴A2B2：y=-x-1为所求．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课应掌握：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点P′（-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题．
六、布置作业
1．教材 复习巩固3、4．
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ）
A．y= B．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能
2．如图，已知矩形ABCD周长为56cm，O是对称线交点，点O到矩形两条邻边的距离之差等于8cm，则矩形边长中较长的一边等于（ ）
A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm
二、填空题
1．如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′_______．
2．写出函数y=-与y=具有的一个共同性质________（用对称的观点写）．
三、综合提高题
1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC有什么关系，请说明理由．
2．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且A（0，3），B（3，0），现将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1；
（2）求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式；
（3）是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．
答案:
一、1．A 2．B
二、1．（3，-1） 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形．
三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC的关系是关于原点对称．
2．（1）如右图所示，连结A1B1；
（2）A1B1中点P（1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y=，则y=-．
（3）A1B1：设y=k1x+b1
∴y=x+3
∵与A1B1直线平行且与y=相切的直线是A1B1旋转而得到的．
∴所求的直线是y=x+3，
下面证明y=x+3与y=-相切，
x2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-4×1×2.25=0，
∴y=x+3与y=-相切．
课件27张PPT。23.2.1 中心对称 一、复习提问:1.什么是轴对称呢？2.关于轴对称的两个图形有哪些性质？ 把一个图形沿着某一条直线折叠能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称或轴对称.1.两个图形是全等形.
2.对称轴是对称点连线的垂直平分线.3.图形的旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形变换称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
4.图形的旋转的性质：
①、旋转前后的图形全等.
②、对应点到旋转中心的距离相等.
③、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
5.图形的旋转的作图：
先连结，再作角，最后截取.ACB二.新课探究 如果将一个图形绕一点旋转180度得到一个新的图形，这样的两个图形是什么关系呢？
你知道吗？可以告诉我吗？
(1)把其中一个图案绕点O旋转180°.你有什么发现?
重 合重 合研究观察(2)线段AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.把 △OCD绕点O旋转180°.你有什么发现? OAＯDBC 像这样把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能够和另一个图形重合,那么,我们就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点就叫对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于中心的对称点.观察:C、A、E三点的位置关系怎样?线段AC、AE的大小关系呢?ACB C、A、E三点在一条直线上或∠CAE= 180°. AC=AE1.中心对称的定义:ABCB`A`OC`思考:1.把△ABC绕着O点旋转60 °
得到的△A`B`C`,这两个三
角形成中心对称吗?
2.把△ABC绕着O点旋转120 °
得到的△A`B`C`,这两个三
角形成中心对称吗?
3.把△ABC绕着O点旋转180 °,得到的△A`B`C`,这两个三角形成中心对称吗?
不是,因为旋转了60 °不是,因为旋转了120 °是,因为旋转了180 °问题1.2.与问题3有什么区别和联系呢?旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：第一步，画出△ABC；第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋 转180°，画出△A′B′C′；O第三步，移开三角板.合作探究:合作探究:旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：分别连接AA’ ,BB’,CC’。
点O在线段AA′上吗？
如果在，在什么位置？ △ABC与△A′B′C′有什么关系？
(1)点O是线段AA ′的中点
(为什?) （2）△ABC≌△A′B′C′
(为什么?)第一步，画出△ABC；第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋 转180°，画出△A′B′C′；很显然画出的△ABC与△A’B’C’关于点O对称.第三步，移开三角板.(1). 点A′是绕点A旋转180°后得到的,即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′,所以点O在线段AA′上,且OA= OA′,即点O是线段AA′的中点. 同样地,点O是线段BB′ CC′的中点. (2).在△AOB与△ A′ O B′中
OA=OA ′,OB=OB ′ ∠AOB= ∠AOB ′
∴ △AOB≌△ A′ O B′（SAS）
∴AB=A ′ B ′
同理 : BC=B ′ C ′,AC=A ′ C ′
∴ △ABC≌△ A′ B′C ′（SSS）证明:下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称的,你能从图中找到哪些等量关系?（1）OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′（2）△ABC≌△A′B′C′找一找:（1）关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心所平分.（2）关于中心对称的两个图形是全等形。
2.归纳：中心对称的性质想一想 3.中心对称与轴对称有什么区别?又有什么联系?类比你能得到什么结论？4.中心对称的作图AOA'连结OA，并延长到A'，使OA'=OA，例1、(1)已知A点和O点，画出点A关于点O的对称点A'则A'是所求的点例1.(2)、已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的对称线段A' B' OA'B'AB连结AO并延长到A'，使OA'＝OA，
则得A的对称点A'
连结BO并延长到B' ，使O B' ＝OB，
则得B的对称点B'连结 A' B' ，则线段A' B'是所画线段例1 (3).如图.选择点O为对称中心,画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.A′C′B′△A′B′C′即为所求的三角形。
怎么办？可以帮帮我吗？
例1（4） 已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于这一点对称。ABA′C′B′D′DOC四边形A１B１C１D１即为所求的图形。画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。
（1）以顶点A为对称中心；
（2）以BC边的中点为对称中心。提高练习EFGMN你知道怎么办吗？ 如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O。应用
怎么办？可以帮帮我吗？
解法一：根据观察，B、B’应是对应点，连结BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点O即为所求（如图）OO解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两组对应点，连结BB’、CC’，BB’、CC’相交于点O，则点O即为所求（如图）。
练习P70. 1. 2你学会了吗?谢谢！下课了!再见23.2.2 中心对称图形
知识点
在平面内，一个图形绕某个点旋转 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，这个点叫做 。
一．选择
1.下.图中，是中心对称图形的是( )
2.图中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3、下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B C D
4.如图(1)，把4张扑克牌放在桌上，然后把其中三张扑克牌绕自身中心旋转180°后，得到如图(2).你知道哪一张扑克牌没被旋转过吗？（ ）
(1)
（2）
A B C D
5、单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ）
A．N B．A Ｃ．M D．E
6.下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
7、如图，点A，B，C的坐标分别为．从下面四个点，，，中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
二、填空
8..中心对称是＿＿个图形的特殊位置关系，中心对称图形是＿＿个具有特殊性质的图形；把中心对称的＿＿个图形看成＿＿，就是一个＿＿，把中心对称图形被过对称中心的任意直线分成的两部分看成＿＿，这两个图形就＿＿。
9.对于正n边形，当边数n为奇数时，它是＿＿图形，但不是＿＿图形；当边数n为偶数时，它既是＿＿图形，又是＿＿图形。正n边形有＿＿条对称轴。
10.下图中哪些图形绕其上的一点旋转180°，旋转前后的图形能完全重合？
图____________是.
11. 在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有______________是中心对称图形的有_______________，既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
12.写出符合下列要求的汉字。
⑴成轴对称图形的汉字10个_______________________________________________________；
⑵成中心对称图形的汉字5个______________________________________________________；
⑶既成轴对称图形，又成中心对称图形汉字5个_______________________________________；
三、作图及解答
13、如图所示，请在网格中作出△ABC关于点O对称的△A1B1C1，再作出△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°后的△A2B1C2.
14.在图15-3-7 的两个圆中，按要求分别画出与图15-3-6 中不重复的图案（用尺规画、徒手画均可，但要尽可能准确、美观） a ．是轴对称图形但不是中心对称图形； b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．
15、.已知:如图AD是△ABC中∠A的平分线,DE//AC交AB于E.DF//AB交AC于E.
求证：点E，F关于直线AD对称.
23.2.2
一、 1.A 2. C 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C
二、8、两、一、两、一个整体、中心对称图形、两个图形、中心对称
9、轴对称、中心对称图形、轴对称、中心对称图形、n
10、②⑤
11、_①②③④⑥⑦⑧⑨ _①⑤⑥⑦⑧⑨_ __①⑥⑦⑧⑨
12、略
13、略
14、略
15、证明：∵DE//AC DF//AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DF//AB ∴∠1=∠3
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2
∵∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AF=DF
∴ AEDF是菱形
∴AD垂直平分EF
则：E, F关于AD对称
中心对称图形
学习目标：
正确认识什么是中心对称图形，能够判别一个图形是不是中心对称图形。
理解中心对称图形与中心对称的区别与联系。
重点：能够判别一个图形是不是中心对称图形。
难点：理解中心对称图形与中心对称的区别与联系。
学习过程：
一、1、参看教材P65“思考”回答问题。
你有什么发现___________________________________________.
2、自学教材P65，回答下列问题：
①把一个图形_______________________________如果旋转后_____________________________那么这个图形就叫做中心对称图形。这个点叫___________。
②有上述定义可知，线段、平行四边形______（填是或者不是）中心对称图形。
二、学习检测
1、等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的有（???? ）.
????? A．1个??????B．2个??????????????????? C．3个???????????????? D．4个
2、?下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(???? )
?A．正方形?????? B．矩形????? C．菱形???? D．平行四边形
3、下列图由正三角形和正方形拼成的图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是(???? )
4、下列图中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形，是轴对称图形，但不是中心对称图形有(???? )
?
A．1个????B．2个???C．3个?? D．4个
?
5、在下列图形中，是中心对称图形的是(???? )
?
?
?
8、欣赏右上图的图案，它们中间中心对称图形的个数有???? ?????个．
9、如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，过点O的直线交AD与BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积是________________.
?
10、已知点O是四边形ABCD的对称中心，求证：四边形ABCD是平行四边形。
总结反思
23.2.2 中心对称图形
教
学
目
标
知识技能
掌握中心对称图形的定义，准确判断某图形是否为中心对称图形．
数学思考
1.通过学习中心对称图形，进一步认识几何图形的本质特征.
2.通过学习中心对称图形与中心对称的区别联系，中心对称图形与轴对称图形的区别，进一步发展学生抽象概括的能力.
解决问题
发展学生的观察、发现、比较、分析能力，让学生关注生活，积累一定的审美体验．
情感态度
让学生体验到数学与生活的紧密联系，激发学习愿望，主动参与数学学习活动．
重点
中心对称图形的定义及了解一些简单的几何图形的对称性.
难点
中心对称图形与中心对称的关系，准确判断图形的对称性.
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 创设情境，感知对称
活动2 认识中心对称图形和中心对称
活动3认识几何图形的对称性
活动4图案欣赏，巩固练习
活动5课堂小结、布置作业
观察图形旋转的过程，发现一些图形的共同特点，引入新课程．
明确中心对称图形与中心对称的区别与联系．
通过对一些几何图形的观察、讨论和比较，教师引导，进一步认识图形的对称性．
欣赏图案，让学生感受生活中一些中心对称图形的简洁美.通过练习，加深对图形对称性的认识.
回顾本节内容，梳理知识要点.布置课外作业，巩固所学知识．
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1
将下列图形绕O点旋转180o，你有什么发现？
教师演示课件，学生观察、思考．
师生合作，归纳出中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
在本次活动中，教师应重点关注：
(1) 学生观察是否认真，能否把握它们的共同特征；
(2) 在学生发现这些图形的共同特征后，要求学生试着用语言描述．
通过学生的观察活动，让学生主动思考，发现中心对称图形的特征，并鼓励学生用语言描述，由此归纳出中心对称图形的概念，以培养学生的探究精神和归纳表达能力．
活动2
思考：中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系.
由学生回答，不足之处教师补充说明.
区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系：如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形， 则它们成中心对称.
通过比较、相互讨论，进一步认识中心对称图形与中心对称的本质特征．
通过思考、讨论等活动，进行辩证唯物主义教育，让学生运用辩证的观点认识事物，进一步发展学生抽象思维的能力.
活动3
我们平时见过的几何图形中，有哪些是中心对称图形？并指出对称中心．
活动4
1.说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形吗？
2.想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？
3.巩固练习
学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．
在本次活动中，教师应重点关注：
(1)学生列举的实例是否有代表性；
(2)学生参与数学活动是否积极；
(3)学生几何图形对称性的认识是否准确．
联系生活，提高学生学习数学的兴趣，让学生体会到数学源于生活，服务于生活．
通过思考、辩别，让学生对图形的对称性有更清楚的认识．
通过让学生解决蕴含所学知识的实际问题和数学问题，将新知识内化入学生已有的认知结构中．
活动5
小结
本节课你有什么收获．
布置作业．
1．必做题：
(1) 教科书74页2、5题．
(2) 本节课我们发现中心对称图形的图案对称、简洁、美丽，容易让人牢记在心，请为你喜爱的产品或公司，或2008年的北京奥运会设计一个中心对称图形的徽标．
2．选做题：教科书75页8、9题．
学生回忆归纳，教师指导.
在本次活动中，教师应重点关注：
(1)学生在小结本节课时，是否将知识系统化、条理化，是否把握中心对称图形与中心对称的本质特征，是否掌握一些几何图形的对称性；
(2)按要求独立完成作业．
让学生及时回顾整理本节课所学的知识．
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获．
设计图案，既帮助学生理解并掌握今天的学习内容，又激发了学生学数学的兴趣．
教学设计说明
本教案设计强调“数学源于生活，服务于生活”的特点，让学生体验到数学与生活联系紧密，体会到生活中的对称美，发展学生的美感．教学中，通过线段、圆、平行四边形、正方形这些基本的数学图形引入中心对称图形的概念，列举生活中的中心对称图案让学生体会到生活中的对称美，发展学生的美感，设计练习时让学生进行中心对称图形的设计等都是对以上教学要求的一个总的反映．本教案设计的第二个特点是强调对比教学法，教学中进行了中心对称图形与中心对称的比较，中心对称图形与轴对称图形的比较，使学生在比较中对概念的理解越来越清晰、正确．
课件26张PPT。23.2.2 中心对称图形一.知识回顾
1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一点旋转1800,如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点成中心对称. 2. 中心对称的性质:
⑴关于中心对称的两个图形是全等图形⑵关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分（3）关于中心对称的两个图形,对称线段平行且相等请你欣赏定义把一个图形绕着某一个点旋转 180°，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点
叫做它的对称中心。 ＡＢＣＤAD想一想下面哪些图形是中心对称图形?
o中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有
区别的概念 区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系
中心对称图形指一个图形本身成中心对称联系: 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,
则它们是中心对称图形
如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称。想一想对比1轴对称图形与中心对称图形：有一条对称轴—直线有一个对称中心—点图形沿轴对折图形绕这个点旋转180O 对折部分与另一部分
重合旋转后与原图形重合对比2轴对称图形与中心对称图形的比较 轴对称图形与中心对称图形的比较 想一想(1)三角形是中心对称图形吗？(2)正五边形是中心对称图形吗？(3)正六边形是中心对称图形吗？(4)除了平行四边形，你还能找到哪些多边形
是中心对称图形？结论：中心对称的多边形很多，如边数为偶数
的正多边形都是中心对称图形。1.下列图形哪些是中心对称图形图1图2图3O2、下面哪些图形是中心对称图形?
1.在下列图形中，是中心对称图形的是 （ ）C2.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
随堂练习3、在一次游戏当中，小明将图1的四张扑克牌中的一张旋转180O后，得到图2，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？图1
图2
4、 ⑴下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形C⑶ 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形A⑷ 已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
A 0 B 1 C 2 D 3B现在你能很快地找到点E的对应点F吗？OA__OBOC__OD观察一对对应点与其对称中心有何位置和数量关系？风车认真观察结论：中心对称图形的每一对对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分5.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、
⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有______________,是中心对称图形的有____________,既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
①⑤⑥⑦⑧⑨①②③④⑥⑦⑧⑨①⑥⑦⑧⑨随堂练习6.把如下的26个英文大写字母看成图案,哪些英文大写
字母是中心对称图案?哪些是轴对称图案?找找看.
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
随堂练习7、 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，
以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是
那么美丽与和谐，这正是因为圆具有 轴对称和中心
对称性。请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，
是中心对称图形的有 。一石激起千层浪汽车方向盘铜钱 如图，直线a⊥b，垂足为O，点A与点A′关于直线a对称，点A′与点A″关于直线b对称，点A与点A″有怎样的对称关系？你能
说明理由吗？想一想【例1】
（1）在左图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为 ；①与②①与③☆典例分析（2）在右图中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1
【例2】如图所示，如果l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：
(1) AB=BC(2)AB∥CD(3)AB⊥BC(4)AO=OC其中正确的结论是 .(把你认为正确的结论的序号都填上)
(1)、(2)、(4) ☆典例分析5.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;☆练一练(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合?O如图，四边形ABCD关于点O是中心对称图形，
求证：四边形ABCD是平行四边形O证明：连结AC、BD∵四边形ABCD关于点O是中心对称图形∴点O在AC和BD上，且OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形·如图：过□ABCD的对角线交点O作两条互相垂直的直线分别交□ABCD各边于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是菱形证明：∵O是□ABCD的对称中心
EF、GH经过点O∴E、F和G、H分别关于点O对称∴四边形EGFH是平行四边形∵EF⊥GH∴四边形EGFH是菱形再见关于原点对称的点的坐标
知识点
1．对称点的点的坐标特点：
在平面坐标系中，两个点关于原点对称时，横坐标 ,纵坐标 。两个点关于x轴对称时，横坐标 ,纵坐标 。两个点关于y轴对称时，横坐标 ,
纵坐标 。
2.在平面直角坐标系中,作关于原点的中心对称的图形的步骤：
（1）写出各点关于原点的对称的点的坐标;
（2）在坐标平面内描出这些对称点的位置;
（3）顺次连接各点即为所求作的对称图形.
一、选择
1、已知，则点P()关于原点的对称点P′在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C关于原点对称． D．既关于x轴对称，又关于y轴对称
3、将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A’, 点A’关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．(-3,2) B．(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2)
4、已知反比例函数和正比例函数在第一象限的交点为A（1，3），则在第三象限的交点B为（ ）
A．(-1,-3) B．(-3,- 1) C.(-2,-6) D.(-6,-2)
5.已知点A的坐标为（-2，3）,点B的坐标为（0，1）,则点A关于点B的坐标为（ ）
A．（ -2,2 ） B.（2,-3 ） C.（ 2,-1 ） D.（2,3 ）
二、填空
6、点P（x，y）关于x轴对称的点P 为______；关于y轴对称的点P 为______；关于原点的对称点P 为______。
7.已知点M的坐标为(3,-5),则关于x轴对称的点的坐标点M’的坐标为 ,关于y轴对称的点M’的坐标为 ,关于原点对称的点的坐标为 .
8.点M(-2,3）与点N（2,3）关于______对称；点A(-2,-4）与点B（2,4）关于______对称；点G(4,0）与点H（-4,0）关于____ _____对称.
9、直线上有一点P(3,)，则点P关于原点的对称点P′为________.
10.已知点P(a,3)和P’(-4,b)关于原点对称,则(a+b)的值为 .
11.已知点M(－,3m)关于原点对称的点在第一象限，那么m的取值范围是____________.
三、解答
12.如下图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与四边形ABCD关于原点对称的图形.
13.直角坐标系中,已知点P(－2,－1),点T(t,0)是x轴上的一个动点.
(1)求点P关于原点的对称点P′的坐标;
(2)当t取何值时,△P′TO是等腰三角形?
14.已知点A(2m，－3)与B(6，1－n)关于原点对称,求出m和n的值.
15.如果点A(－3，2m+1)关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围.
16. 正比例函数y=x与反比例函数y=1/x的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，CD垂直x轴于D，则四边形ABCD的面积是多少
23.2.3
一、1.D 2.C 3.C 4.A 5.C
二6.（x，-y）（-x，y） （-x，-y） 7.(3,5) 、(-3,-5)、(-3,-5)
8. x轴、原点、y轴 9.P′为（-3，-6） 10.1 11.m<0
12.A、B、C、D关于原点对称的点的坐标分别为(2,－3)、(4,－1)、(3,1) (1,0)，图略
13.(1) 点P关于原点的对称点P′的坐标为(2,1).
(2)OP′=.
(a)动点T在原点左侧.
当T1O=P′O=时,△P′TO是等腰三角形,
∴点T1(－,0).
(b)动点T在原点右侧.
①当T2O=T2P′时,△P′TO是等腰三角形,得T2(,0).
②当T3O=P′O时,△P′TO是等腰三角形,得点T3(,0).
③当T4P′=P′O时,△P′TO是等腰三角形,得点T4(4,0).
综上所述,符合条件的t的值为－,,,4.
14.因为点A、B关于原点对称，所以解得m＝－3，n＝－2.
15.解：∵A(－3，2m+1)关于原点对称的点在第四象限,
∴A(－3，2m+1)在第二象限.∴A点的纵坐标2m+1＞0.∴m＞－.
16.由y=x=1/x 可知A坐标为（1,1） C坐标为（-1，-1） ，所以DB=2 ，AB=1，△ ABD面积为1/2×2×1＝1 。同理△ DBC面积＝1 ， 所以ABCD面积为2
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
学习目标：
1.通过经历操作、猜想、验证来揭示关于原点对称的两点的坐标规律。
2.掌握关于原点对称的点的坐标特征，能够运用特征解决相关计算、作图问题。
学习过程：
复习回顾
1、如图，⑴画出点A、B、C关于x轴的对称点：
分别是A′（ ） B′（ ）C′（ ） ；
⑵画出点A、B、C关于y轴的对称点：
分别是： （ ）（ ）（ ）
2、填空：
⑴点A（－2，1）、B（0，－3）关于x轴的对称点为
A′（ ， ）；B′（ ， ）；关于y轴的对称点为
A′′（ ， ）；B′′（ ， ）。
二、新课学习
1、创设情境，导入新课
1、点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（ ， ），关于y轴的对称点为P′（ ， ）；
2、阅读课本P66——67，把你认为重要的、感兴趣的知识以及不理解的语句标记出来。（重要的勾画并标△号，感兴趣的只作勾画，不理解的勾画并标？号）
3、已知点A与B关于原点对称，则=__________.
4、点M（4，3）关于原点对称的点是点N，则线段MN=_________.
5、如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC有什么关系？请说明理
4、当堂检测
１、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2， 3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限
２、已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
３、如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（ ）A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2）
４、如图（１），点A，B，C的坐标分别为 从下面四个点，，，中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）A．M B．N C．P D．Q
５、在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是________
６、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是__________
7、矩形ABCD的对称中心经过原点，点B的坐标为（-2，-3），则点D的坐标为_____________.
8、点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点对称的点的在第______象限。
9、将△ABC绕点O旋转180°，点A的坐标为（-3,2），则点A的对称点的坐标为__________.
10、点A（-2,3）绕原点旋转180°后的点的坐标为___________.绕原点顺指针旋转90°后的坐标为_____.
拓展题：在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为、、. 一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以为对称中心的对称点，第2次电子蛙由点跳到以为对称中心的对称点，第3次电子蛙由点跳到以为对称中心的对称点，…，按此规律，电子蛙分别以、、为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标(_____,____).
关于原点对称的点的坐标
知识与技能:理解P与P＇ 点关于原点对称时它们在横纵坐标的关系
过程与方法：通过动手操作，观察等活动探索关于原点对称的点的坐标规律
情感态度与价值观：学生在经历数学探究的过程中，调动学生学习数学的积极性
教学重点：掌握关于原点对称的点的坐标规律
教学难点：运用关于原点对称的点的坐标规律解决实际问题
教学过程
备注
知识点复习
坐标系以及各象限点的坐标特征。
学生口述，相互补充
坐标系中的点关于x轴与y轴对称的点的坐标规律
新知学习
一,自主探究
1、阅读课本P66——67，把你认为重要的、感兴趣的知识以及不理解的语句标记出来。（重要的勾画并标△号，感兴趣的只作勾画，不理解的勾画并标？号）
2、自学后完成问题：
（1）在直角坐标系中，两个关于原点对称时，它们的坐标 ，即点P（x，y）关于原点对称的点的坐标P’（ ， ）。
（2）点A（2，－3）关于原点对称的点的坐标A’（ ， ）；
点B（5，7）关于原点对称的点的坐标B’（ ， ）；
点C（－8，－1）关于原点对称的点的坐标C’（ ， ）。
二,成果展示
活动一：预习成果展示、交流.
活动二：如图，在直角坐标系中系中，已知A（-3，1）
B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）
E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、
D、E、F点关于原点对称的点，并写出A’、B’
C’、D’、E’，F’的坐标。
回答：1、 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
2、谁能用三角形全等证明你们的结论。
[归纳] 在直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标 ，即点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P’ 。
[引申] 若点P和点P’的坐标互为相反数，即P（x，y）和P’（－x，－y），则点P和点P’ 。
活动三：应用迁移 巩固提高
1、如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．
例2: 已知△ABC，A（-4,1），B（-1，-1），
C（-3，2）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC和它关于原点对称的图形
课堂练习与展示
题目见课件
课堂小结
你对本节课所学的内容存在疑问吗？
课堂作业
练习册
教学反思：
课件18张PPT。23.2.3关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中画出下图点关于x轴的对称点.A(-4, 2)··A’ (-4, -2)思考：关于x轴对称的点的坐标具有怎样关系？关于x轴对称的点
横坐标相等,
纵坐标互为相反数.点（a, b）关于x轴对称的点的坐标为______.(a,－b)xy在平面直角坐标系中画出下图点关于y轴的对称点.A (-4, 2)··A’’(4, 2)思考：关于y轴对称的点的坐标具有怎样关系？关于y轴对称的点,
横坐标互为相反数,
纵坐标相等点（a, b）关于y轴对称的点的坐标为______.(-a,b)xyA′ 如何确定平面直角坐标系中A，B点关于原点对称的点A′，B′坐标？A′ ( -2，-1 ) ，
A ( 2，1 )，探究1BB′ B( 1，-2 )B′ ( -1，2 )关于原点对称的两个点坐标之间有什么关系？横坐标、纵坐标均互为相反数点（a, b）关于原点对称的点坐标为______.(-a,-b)填一填1.点P(1,3)关于x轴的对称点的坐标是_______
关于y轴的对称点的坐标是________
关于原点的对称点的坐标是________.(1,-3)(-1,3)(-1,-3)2、已知点P(2a+b,a)与点P’(1,b)关于原点对称，
则a=_____ ，b=_______.-11
_______.（-1，1）利用关于原点对称的点的坐标特点，作出与△ABC关于原点对称的图形△A′B′C′xyO-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-12341-2-3A解：点A(-4,1) 、 B (-1,-1)、 C (-3,2)CBA′C′B′探究2 关于原点对称的点的坐标分别是A ′(4,-1), B ′(1,1)，C ′ (3,-2)xyO-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-12341-2-3练一练：（教科书P68第3题）
四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(5,0),B(-2,3)，C(-1,0),
D(-1,-5),作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形为四边形A′B′C′D′-4-55ABCDA′B′C′D′作出与线段AB关于原点对称的图形．例：已知一次函数y=kx+b的图象与一次函数
y=2x+2的图象关于原点对称，求k，b的值。探究3A′B′☆应用拓展直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1
（2）求出直线A1B1函数解析式
中考突破1.（菏泽市中考题）已知点A（a-1，5）和B（2，b-1）关于x轴对称，则（a+b）2006的值为（ ）
A. 0 B. －1
C. 1 D. （－3）2006
2.(陕西省中考题)点P关于y轴的对称点P1的坐标为(2，3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是 （ ）
A. (-3，-2) B. (2，-3)
C. (-2，-3) D. (-2，3)CB3、（河南）如图，阴影部分组成的图案 既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），
则点M 和点N 的坐标分别是________
M(-1,-3)N(1,-3)4、下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ）
A．y= B．y=5x+1
C．y=-5x+1 D．以上三种都不可能AxyO-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-12341-2-3ACB5、已知平行四边形，A(1,1)， B(-3,1),
（1）若C(-1,0)，求出第四个点D的坐标. （2）若平行四边形在坐标系内关于原点对称,
已知点A，点B的坐标不变，且点C在第三象
限，点D在第四象限，求点C，点D的坐标?（1）D(-5，0)或（3，0）或（-1，2）学习了在平面直角坐标系中，对称的点的坐标的特点。关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
关于原点对称的点横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
课 堂 小 结即：
点P(a,b)关于X轴对称的点的坐标为（a,-b)
点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为（-a, b)
点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为（-a,-b)拓 展 练 习已知两点A(0,2)，B(4,1)，点P是x轴上一点，使PA+PB的值最小，确定点P的位置 如果将点P绕定点M旋转 后与点Q重合，那么点P
与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时点M是
线段PQ的中点。如图，在直角坐标系中， 的顶点A、
B、O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0），点
列 ，…中的相邻两点都关于 的一个顶点对称：
关于A点对称， 关于B点对称，
关于O点对称， 关于A点对称，…，对称中
心分别是A，B，O，A，B，O，…，且对称中心依次循
环。已知点 的坐标是（1，1），试求点
的坐标
☆应用拓展如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1．
（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．
（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．
