实际问题与二次函数
1、如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.
2、如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取)(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取)
3、跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线的解析式;(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小华的身高;(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米,绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图象,写出t的取值范围
?
4、随着和城近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系,如图②所示(注:利润与投资量的单位:万元)(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式;(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润,他能获取的最大利润是多少?
详细解答
1、分析:(1)先求出一元二次方程的两个根,即可知与x轴的两个交点B,C的坐标,设出两点式,用待定系数法求出二次函数的解析式;(2)根据B,C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴方程,根据A,C两点的坐标可求出线段AC所在直线的表达式,求出两方程的交点即为Q点的坐标;(3)根据两点之间线段最短,故当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值,作A关于x轴的对称点A′,连接A′Q;A′Q与x轴交于点M即为所求的点.
解:(1)解方程x2+2x-3=0得x1=-3,x2=1(11分)∴抛物线与x轴的两个交点坐标为:C(-3,0),B(1,0)(2分)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0).(3分)∵A(3,6)在抛物线上∴6=a(3+3)(3-1),∴a=(4分)∴抛物线解析式为:y=x2+x-(5分).(2)由y= y=x2+x-=(x+1)2-2(6分)∴抛物线顶点P的坐标为:(-1,-2),对称轴方程为:x=-1.(7分)设直线AC的方程为:y=k1x+b1.∵A(3,6),C(-3,0), ∴在该直线上解得
直线AC的方程为:y=x+3(9分)将x=-1代入y=x+3得y=2,
∴Q点坐标为(-1,2).(10分)(3)作A关于x轴的对称点A′(3,-6),连接A'Q;A'Q与x轴交于点M即为所求的点(11分)设直线A'Q方程为y=kx+b∴解得.∴直线A'Q:y=-2x(12分)令x=0,则y=0(13分).2·1·c·n·j·y
∴M点坐标为(0,0).
2、分析:(1)依题意代入x的值可得抛物线的表达式.(2)令y=0可求出x的两个值,再按实际情况筛选.(3)本题有多种解法.如图可得第二次足球弹出后的距离为CD,相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得2=-(x-6)2解得x的值即可知道CD、BD.
解:(1)如图,设足球开始飞出到第一次落地时,抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,∵h=6,k=4,∴y=a(x-6)2+4,由已知:当x=0时y=1,即1=36a+4,∴a=-,∴表达式为y=-(x-6)2+4,(或y=-x2+x+1).(2)令y=0,-(x-6)2+4=0,∴(x-6)2=48,解得:x1=+6≈13,x2=-+6<0(舍去),∴足球第一次落地距守门员约13米.(3)解法一:如图,第二次足球弹出后的距离为CD,根据题意:CD=EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位),∴2=-(x-6)2+4,解得:x1=6-2,x2=6+2,∴CD=|x1-x2|=4≈10,∴BD=13-6+10=17(米).解法二:令-(x-6)2+4=0解得:x1=-+6(舍),x2=+6≈13.∴点C坐标为(13,0).设抛物线CND为y=-(x-k)2+2,将C点坐标代入得:-(13-k)2+2=0解得:k1=13-2(舍去),k2=+6+2≈6+7+5=18,令y=0,0=-(x-18)2+2,x1=18-2(舍去),x2=18+2≈23,∴BD=23-6=17(米).解法三:由解法二知,k=18,所以CD=2(18-13)=10,所以BD=(13-6)+10=17.答:他应再向前跑17米.
3、分析:(1)已知抛物线解析式,求其中的待定系数,选定抛物线上两点E(1,1.4),B(6,0.9)坐标代入即可;(2)小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,即OF=3,求当x=3时,函数值;(3)实质上就是求y=1.4时,对应的x的两个值,就是t的取值范围.
解答:解:(1)由题意得点E(1,1.4),B(6,0.9),代入y=ax2+bx+0.9得
,解得,∴所求的抛物线的解析式是y=-0.1x2+0.6x+0.9;(2)把x=3代入y=-0.1x2+0.6x+0.9得y=-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8∴小华的身高是1.8米;(3)当y=1.4时,-0.1x2+0.6x+0.9=1.4,解得x1=1,x2=5,∴1<t<5.
4、解:(1)设y1=kx,由图①所示,函数y1=kx的图象过(1,2),所以2=k?1,k=2,故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x(x≥0);∵该抛物线的顶点是原点,∴设y2=ax2,由图②所示,函数y2=ax2的图象过(2,2),∴2=a?22,a=,故利润y2关于投资量x的函数关系式是:y=x2(x≥0);(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0≤x≤8),则投入种植树木(8-x)万元,他获得的利润是z万元,根据题意,得z=2(8-x)+x2=x2-2x+16=(x-2)2+14,当x=2时,z的最小值是14,∵0≤x≤8,∴-2≤x-2≤6,∴(x-2)2≤36,∴(x-2)2≤18,∴(x-2)2+14≤18+14=32,即z≤32,此时x=8,答:当x=8时,z的最大值是32.
22.3 实际问题与二次函数
【教学目标】系统掌握二次函数知识,灵活应用,提高学生的综合学习能力。
【重难点】把实际问题抽象出数学模型,构建合适的坐标系和函数解析式,从而解决实际问题
【活动一】生活中的二次函数
用6米长的铝合金材料做成一个形状如图所示的矩形窗框,请你设计一下怎样才能使透光面积最大?最大透光面积是多少?
有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4米,跨度为10米,放在如图所示的坐标系中,
求抛物线的解析式
离水面高1米处桥洞有多宽
某商店将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天可卖出100件,现在该商店准备用提高售价的办法来增加利润,经试验,,每提高1元销售量将减少10件
写出每天获得的利润y与售价x之间的关系
x等于多少时,才能使一天获得的利润最大?
4、有一抛物线形门洞,地面宽度8米,有一宽6米,高4米的车刚好能通过这个门洞
求这个门洞的高度
5、如图抛物线交x轴于A、B,交y轴于C,点B的坐标为(-1,0)
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标
(2)过C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于P,判断四边形ABCP是什么四边形并证明
(3)若S四边形ABCP=6,求抛物线的解析式
22.3 实际问题与二次函数
教学时间
课题
22.3 实际问题与二次函数(1)
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y=ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
过 程
和
方 法
让学生体验二次函数的函数关系式的应用,提高学生用数学意识。
情 感
态 度
价值观
教学重点
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2、y=ax2+bx+c的关系式
教学难点
已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、创设问题情境
如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m,拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢?
分析:为了画出符合要求的模板,通常要先建立适当的直角坐标系,再写出函数关系式,然后根据这个关系式进行计算,放样画图。
如图所示,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。这时,屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为: y=ax2 (a<0) (1)
因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以CB= =2(cm),又CO=0.8m,所以点B的坐标为(2,-0.8)。
因为点B在抛物线上,将它的坐标代人(1),得 -0.8=a×22 所以a=-0.2
因此,所求函数关系式是y=-0.2x2。
请同学们根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线。
二、引申拓展
问题1:能不能以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系?
让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的,以A点为原点,AB所在的直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系也是可行的。
问题2,若以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂直为y轴,建立直角坐标系,你能求出其函数关系式吗?
分析:按此方法建立直角坐标系,则A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0),OC所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC=CB,AC=2m,O点坐标为(2;0.8)。即把问题转化为:已知抛物线过(0,0)、(4,0);(2,0.8)三点,求这个二次函数的关系式。
二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c,求这个二次函数的关系式,跟以前学过求一次函数的关系式一样,关键是确定o、6、c,已知三点在抛物线上,所以它的坐标必须适合所求的函数关系式;可列出三个方程,解此方程组,求出三个待定系数。
解:设所求的二次函数关系式为y=ax2+bx+c。
因为OC所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC=CB,AC=2m,拱高OC=0.8m,
所以O点坐标为(2,0.8),A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0)。
由已知,函数的图象过(0,0),可得c=0,又由于其图象过(2,0.8)、(4,0),可得到解这个方程组,得 所以,所求的二次函数的关系式为y=-x2+x。
问题3:根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线,其图象是否与前面所画图象相同?
问题4:比较两种建立直角坐标系的方式,你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?
(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便,这是因为所设函数关系式待定系数少,所求出的函数关系式简单,相应地作图象也容易)
请同学们阅渎P18例7。
三、课堂练习
例1.如图所示,求二次函数的关系式。
分析:观察图象可知,A点坐标是(8,0),C点坐标为(0,4)。从图中可知对称轴是直线x=3,由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形,所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(-2,0),问题转化为已知三点求函数关系式。
解:观察图象可知,A、C两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线x=3。因为对称轴是直线x=3,所以B点坐标为(-2,0)。
设所求二次函数为y=ax2+bx+c,由已知,这个图象经过点(0,4),可以得到c=4,又由于其图象过(8,0)、(-2,0)两点,可以得到解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式是y=-x2+x+4
练习: 一条抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式。
四、小结: 二次函数的关系式有几种形式,函数的关系式y=ax2+bx+c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定,关键在于求出三个待定系数a、b、c,由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式,故可列出三个方程,求出三个待定系数。
作业
设计
必做
教科书P26:1、2、3
选做
教科书P26:7
教
学
反
思
教学时间
课题
22.3 实际问题与二次函数(2)
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
1.复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
2.使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
过 程
和
方 法
情 感
态 度
价值观
教学重点
根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式
教学难点
根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、复习巩固
1.如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?
2.已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)。 (1)求二次函数的关系式,
(2)画出二次函数的图象; (3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案:(1)y=x2+x+1,(2)图略,(3)对称轴x=-,顶点坐标为(-,)。
3.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴,顶点坐标各是什么?
[对称轴是直线x=-,顶点坐标是(-,)]
二、范例
例1.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式。
分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x+h)2+k的形式称为顶点式,(-h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为: y=a(x-8)2+9
由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值。
请同学们完成本例的解答。
例2.已知抛物线对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式。
解法1:设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5,又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得
解这个方程组,得: 所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5。
解法二;设所求二次函数的关系式为y=a(x-2)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到 解这个方程组,得:
所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5。
例3。已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式。
解法1:设所求的函数关系式为y=a(x+h)2+k,依题意,得y=a(x-2)2-4
因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0,4),于是a(0-2)2-4=4,解得a=2。所以,所求二次函数的关系式为y=2(x-2)2-4,即y=2x2-8x+4。
解法2:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c?依题意,得解这个方程组,得: 所以,所求二次函数关系式为y=2x2-8x+4。
三、课堂练习
1. 已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=-3,求二次函数的关系式。
解法1:设所求二次函数关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c=3,又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到: 解这个方程组,得:
所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3。
解法2:所求二次函数关系式为y=a(x+h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1
因为二次函数图象过点(0,3),所以有 3=a(0+3)2-1 解得a=
所以,所求二次函数的关系为y=44/9(x+3)2-1,即y=x2+x+3.
小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大。
2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数关系式。
简解:依题意,得 解得:p=-10,q=23
所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23。
四、小结
1,求二次函数的关系式,常见的有几种类型?
[两种类型:(1)一般式:y=ax2+bx+c
(2)顶点式:y=a(x+h)2+k,其顶点是(-h,k)]
2.如何确定二次函数的关系式?
让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件。在具体解题时,应根据具体的已知条件,灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解。
作业
设计
必做
教科书P26:4、5、6
选做
教科书P26:8、9
教
学
反
思
课件23张PPT。22.3实际问题与二次函数 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ,它的对称
轴是 ,顶点坐标是 . 当a>0时,抛
物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是 ;当
a<0时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,
是 。抛物线上小下大高低 1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 .抛物线直线x=h(h,k)基础扫描 3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ,顶点
坐标是 。当x= 时,y的最 值是 。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ,顶点
坐标是 。当x= 时,函数有最 值,是 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ,顶点
坐标是 .当x= 时,函数有最 值,是 。直线x=3(3 ,5)3小5直线x=-4(-4 ,-1)-4大-1直线x=2(2 ,1)2小1
基础扫描
22.3 实际问题与二次函数题型一:最大高度问题题型二:最大面积问题l解:设场地的面积答:
(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。解这类题目的一般步骤题型三:最大利润问题问题1.已知某商品的售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格?,每涨价1元,每星期要少卖出10件。已知商品进价为每件40元,该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润?问题2.已知某商品的售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格?,每降价1元,每星期要多卖出20件。已知商品进价为每件40元,该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润?解:设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10[(x-5)2-25 ]+6000
=-10(x-5)2+6250当x=5时,y的最大值是6250.定价:60+5=65(元)(0≤x≤30)怎样确定x的取值范围解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)
=(20-x)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
=-20(x2-5x-300)
=-20(x-2.5)2+6125 (0≤x≤20)
所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元. 答:综合以上两种情况,定价为65元时可
获得最大利润为6250元.由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围题型四:二次函数建模问题 抛物线形拱桥,当水面在 时,拱顶离水面2m,水面宽度4m,水面下降1m,水面宽度为多少?水面宽度增加多少?0(2,-2)
●(-2,-2)
●当 时,
所以,水面下降1m,水面的宽度为 m.∴水面的宽度增加了 m探究3:解:设这条抛物线表示的二次函数为由抛物线经过点(2,-2),可得所以,这条抛物线的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为ABCD 抛物线形拱桥,当水面在 时,拱顶离水面2m,水面宽度4m,水面下降1m,水面宽度为多少?水面宽度增加多少?0(4, 0)
●(0,0)
●∴水面的宽度增加了 m(2,2)解:设这条抛物线表示的二次函数为由抛物线经过点(0,0),可得所以,这条抛物线的二次函数为:当 时,
所以,水面下降1m,水面的宽度为 m.当水面下降1m时,水面的纵坐标为CDBE0 000(1)(2)(3)(4)活动三:想一想 通过刚才的学习,你知道了用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一些经验吗?加 油建立适当的直角坐标系审题,弄清已知和未知合理的设出二次函数解析式 求出二次函数解析式 利用解析式求解得出实际问题的答案 有一抛物线型的立交桥拱,这个拱的最大高度为16米,跨度为40米,若跨度中心M左,右5米处各垂直竖立一铁柱支撑拱顶,求铁柱有多高?练一练:例:图14-1是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据: (1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图14-2所示的坐标系中画出y关于x的函数图象;
(2)① 填写下表: ② 根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x表示y的二次函数表达式: .
(3)当水面宽度为36 m时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过?为什么? 解:(1)图象如下图所示. (2)(3)当水面宽度为36m时,相应的x=18,则
此时该河段的最大水深为1.62m 因为货船吃水深为1.8m,而1.62<1.8,
所以当水面宽度为36m时,该货船不能通过这个河段. (1)根据实际问题,构建二次函数模型
(2)运用二次函数及其性质求函数最值解题方法归纳解题思想归纳(1)建模思想:根据题意构造二次函数
(2)数形结合思想:根据图象特征来解决问题