余角和补角同步练习
一、选择题：
1、下列说法错误的是 （ ）
A、同角或等角的余角相等 B、同角或等角的补角相等
C、两个锐角的余角相等 D、两个直角的补角相等
2、一个角的补角是 （ ）
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、以上三种情况都有可能
3、一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ）
A、30o B、45o C、60o D、90o
4、如图，∠AOD=∠DOB=∠COE=90o，其中共有互余的角( ）
A、2对 B、3对 C、4对 D、6对
5、若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=240o，由∠2是∠1的 （ ）
A、2倍 B、5倍 C、11倍 D、无法确定倍数
6、若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是 （ ）
A、∠1 B、∠1+∠2 C、（∠1+∠2） D、（∠2-∠1）
7.如图,甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是( )
A.85° B.160° C.125° D.105°
8.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,
如果∠BAF=60°,则∠DAE等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
二、填空题
9、如果两个锐角的和是 ，则这两个角互为余角，如果两个角的和是 ，则这两个角互为补角。
10、若∠α=50o，则它的余角是 ，它的补角是 。
11、若∠β=110o，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。
12、如图，∠ACB=∠CDB=90o，图中∠ACD的余角有
。
13、若∠1与∠2互余，∠3和∠2互补，且∠3=120o，那么∠1= 。
三、解答题
19、已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角。
20、如图，∠AOC=∠BOD=90o，∠AOD=130o，求∠BOC的度数。
21.如图，O是直线AB上的一点，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线，
（1）图中互余的角有几对？
（2）图中互补的角有几对？
22.在图中,确定A、B、C、D的位置:
(1)A在O的正北方向,距O点2cm;
(2)B在O的北偏东60°方向,距O点3cm;
(3)C为O的东南方向,距O点1.5cm;
(4)D为O的南偏西40°方向,距O点2cm.
23.如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
．
4.3.3 余角和补角
三．解答题：
19. 45o 20.50 o 21 (1) 4 (2) 5 22.略 23.略
4.3.2 余角和补角
学习目标：
在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角；
会求某些角的余角或补角。
学习重、难点：正确求出一个角的余角或补角
一、自学指导：（自己完成）
思考：（1）在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度？
(2)如图1，已知∠1=61°，∠2=29°，那么∠1+∠2= 。
(3)如 图 2，已知点A、O、B在一直线上 ，∠COD=90°，
那么∠1+∠2= 。
（二）自主探究：
1.互为余角的定义：
思考：
如图3，已知∠1=62°,∠2=118°,那么 ∠1+∠2＝
如图4，A、O、B在同一直线上，∠1+∠2=
2.互为补角的定义：
问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？
问题2：若 ∠1+∠2 +∠3 =180° ，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？
归纳：互为余角的两个角和为 ；互为补角的两个角和为
学以致用：完成课本 P139 “复习巩固” 7题。
二、合作探究，生成总结（先自己做，再小组讨论，仍解决不了的问题写在纸条上交给老师）
探究1
若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。
分析：问题中一共出现几个角？这些角之间的关系是什么？
重要提醒：如何表示一个角的余角和补角
锐角∠(的余角是（90 °—∠ ( ）
∠(的补角是（180 °—∠ ( ）
解：
练一练：若和互余，且：=7：2，求、的度数。
归纳：遇到这种问题时，可以借助 的思想来解答。
探究2：学习课本P137“例3”（先自己思考，然后小组讨论）
思考：“例3”的图中有哪些互补的角？写出来。
拓展练习：
如图，点O在直线m上，
三、学习反思：（用不同颜色的笔写）
1、你学习了哪些知识？ 2、还存在什么疑惑的问题？
达标测评，分层巩固
必做题（5——10分钟）
1. 将下列图中互为余角的两个角连上线
2.把下图中互为补角的角连上线
3.填下列表：并填空。
∠a
∠a的余角
∠a的补角
77°
62°23′
x°
一个锐角的补角比这个角的余角大________度。
4、如果∠1与∠2互为余角，∠1︰∠2＝4︰5，求∠1、∠2的度数.
5、一个角的补角比这个角的3倍还多，求这个角的余角.
6、如图，∠AOC＝∠COB＝90°，∠DOE＝90°，A、O、B三点在一直线上
写出∠COE的余角，∠AOE的补角；
第二课时
学习目标：
1、掌握余角和补角的性质。
2、了解方位角，能确定具体物体的方位。
学习重、难点：掌握余角和补角的性质；方位角的应用；
一、自学指导
（一）复习回顾：
1.70°的余角是 ，补角是 ；
2.∠(（∠( <90°）的它的余角是 ，它的补角是 ；
（二）自主探究：
探究1、
如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
分析：（1）∠1与∠2互补，∠2等于什么？∠2=1800 - ，
∠3与∠4互补，∠4等于什么？ ∠4=1800 - 。
（2）当∠1= ∠3时，∠2与∠4有什么关系？为什么？
∠2=∠4（等量减等量，差相等）
归纳：补角的性质：等角的 相等。（理解并记忆）
探究2．余角的性质：
如图∠1 与∠2互余，∠3与∠4互余 ，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
归纳：余角性质 等角的 相等。（理解并记忆）
练一练：
1、和都是的补角，则 ；
2、如果，则的关系是 ，
理由是 ；
3、如图，∠AOC＝∠COB＝90°，∠DOE＝90°，A、O、B三点在一直线上
找出图中相等的角
二、合作探究，生成总结（先自己做，再小组讨论，仍解决不了的问题写在纸条上交给老师）
探究3．方位角：
（1）认识方位：
正东、正南、正西、正北、东南、
西南、西北、东北。
（2）找方位角：
归纳：如何画正确的方位角？
例:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线。(师生共同完成)
课堂练习:
1、指出下列方位
点A在点O的方位是
点B在点O的方位是
点C在点O的方位是
点D在点O的方位是
2、课本P139“复习巩固”8题、综合运用12题。
3、画图填空，并且寻找规律：
点A在点O的北偏东30°，则点O在点A的
点B在点O的南偏东40°，则点O在点B的
点C在点O的北偏西60°，则点O在点C的
点D在点O的南偏西40°，则点O在点D的
三、学习反思：（用不同颜色的笔写）
达标测评，分层巩固
1、A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方向（ ）
A 南偏东69° B 南偏西69° C 南偏东21° D 南偏西21°
2、在点O 北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（ ）
A 100° B 70° C 180° D 140°
3. 如图,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,
请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？
4.某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转周．
1)指针所指的方向为北偏西________；
(2)图中互余的角有________对；与∠BOC互补的角是________．
4.3.3 余角和补角
教学过程：
一、引入新课：
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。
二、新课讲解：
1、探究互为余角的定义：
如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
2、探究互为补角的定义：
如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
结论：同一个锐角的补角比它的余角大90°。
重要提醒：ⅰ(如何表示一个角的余角和补角)
锐角∠(的余角是（90 °—∠ ( ）
∠(的补角是（180 °—∠ ( ）
ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。
3、讲解例题：
例1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，则它的补角是（ 180°－x°）,余角是(90°－x°) 。
根据题意得：
（180－x°）= 4 (90－x°)
解之得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
4、练习⑶：
一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?
5、探究补角的性质：
如∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
补角性质：同角或等角的补角相等
6、探究余角的性质：
如∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
余角性质：同角或等角的余角相等
7、讲解例题：
例2：如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？
解:∠1=∠3
∵ ∠1+∠2= ∠COD=90°
∠3+∠2= ∠AOB=90°
∴ ∠1=∠3 (等角的余角相等)
8、讲解方位角：
（1）认识方位：
正东、正南、正西、正北、东南、
西南、西北、东北。
（2）找方位角：
ⅰ乙地对甲地的方位角 ⅱ甲地对乙地的方位角
三、课堂小结：
1、本节课学习了余角和补角，并通过简单的推理，得到出了余角和补角的性质。
2、了解方位角，学会了确定物体运动的方向。
课件31张PPT。4.3.3 余角和补角1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用.
2.正确地根据方位角确定方向.1.互余和互补的概念：
余角：如果两个角的和等于___________，就说这两个角互为
余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的_____.
补角：如果两个角的和等于____________，就说这两个角互
为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的_____.90°(直角)余角180°(平角)补角2.余角和补角的性质：
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4
有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，
所以∠1+∠2=______，∠3+∠4=______，
所以∠2=__________，∠4=__________，
又因为∠1=∠3，所以____=____.180°180°180°-∠1180°-∠3∠2∠4【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角_____.
余角的性质：同角(等角)的余角_____.相等相等3.方位角：
方位角是以_____、_____方向为基准，描述物体运动方向的角.正北正南 (打“√”或“×”)
(1)互余的两角一定相等.( )
(2)两个小于90°的角一定互余.( )
(3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°( )
(4)相等且互补的两个角分别等于90°.( )
(5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.( )××√√×知识点 1 余角和补角
【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？
(2)相等的角有哪些(小于90°的角)？【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于90°的角→答案
(2)利用余角的性质找相等的角【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°.
又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°，
所以∠3+∠4=90°.
所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互余.
(2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.【总结提升】正确理解互余、互补
1.共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补.
2.不同点：互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°；互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也不可能都大于90°.知识点 2 方位角
【例2】在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.【解题探究】1.C在A的北偏东30°是绕点A以什么方向为基准，沿什么方向旋转30°.
提示：以正北方向为基准，沿顺时针方向旋转30°.
2.C在B南偏东45°是绕点B以什么方向为基准，沿什么方向旋转45°.
提示：以正南方向为基准，沿逆时针方向旋转45°.3.点C与以上两个方向线有什么关系？
提示：以上两个方向线的交点就是点C.如图：【总结提升】应用方位角注意的几点
1.画方位角时，一般以正北或正南方向作角的始边.
2.一定要分清东、南、西、北.
3.书写方位角时，先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东”不要写成“东偏北”.
4.“东北”方向指正北与正东方向的角平分线，“西北”“东南”“西南”依此类推.题组一：余角和补角
1.(2012·长沙中考)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )
【解析】选D.因为互补的两角之和是180°，所以70°角的补角应大于90°，故选D.2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
【解析】选D.选项A中的两角和的度数不能确定，选项B中∠1和∠2互补，选项C中∠1和∠2相等，选项D中∠1和∠2互余.3.(2011·广州中考)已知∠α=26°,则∠α的补角是____度.
【解析】因为∠α=26°,所以∠α的补角是180°-26°=154°.
答案：154【变式备选】一个角是35°39′，则它的余角为_______，补角为_______.
【解析】90°-35°39′=54°21′，
180°-35°39′=144°21′.
答案:54°21′ 144°21′4.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是________.
【解析】因为同角的补角相等，所以∠A=∠C=80°.
答案:80°5.如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线，OD是一条射线，
∠AOD的补角是 ，余角是_______.
【解析】因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC=∠BOC=90°，
则∠AOD的补角是∠BOD，余角是∠COD.
答案:∠BOD ∠COD6.∠A的余角和它的补角之比是1∶3，求∠A的度数.
【解析】设∠A的度数为x°，则180-x=3(90-x)，
解得x=45.所以∠A的度数是45°.题组二：方位角
1.在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是( )
A.100° B.70° C.180° D.140°
【解析】选A.如图,∠AOB=180°-20°-60°=100°.2.从A看B的方向是北偏东21°，那么从B看A的方向是( )
A.南偏东69° B.南偏西69°
C.南偏东21° D.南偏西21°
【解析】选D.如图,可知A点在B点的南偏西21°.3.如图，点A,B在点O的方向分别是________.
【解析】由图可知点A在点O的北偏东30°，点B在点O的南偏东15°.
答案:北偏东30°，南偏东15°4.画出射线OA，使射线OA在北偏西45°的方向上.
【解析】如图所示.5.如图，一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5 cm碰到障碍物B后，折向北偏西60°的方向爬行3 cm到C.
(1)画出蚂蚁的爬行路线.
(2)求出∠OBC的度数.【解析】(1)先以O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画45°的角，使它的一边OB′落在东与北之间，在射线OB′上取OB等于2.5 cm，同理以B点为顶点，画出BC=3 cm，则OB，BC是蚂蚁所爬行的路线.
如图所示：(2)由题意知，点O在点B的西南方向，
所以∠DBO=45°，
因为∠CBE=60°，所以∠CBD=30°，
所以∠OBC=∠CBD+∠DBO
=30°+45°=75°.【想一想错在哪？】如图，O是直线AB
上一点，OC为任意一条射线，OD平分
∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD与∠BOE的补角.
(2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.提示：(1)本题找补角不全，互补的两个角与位置没有关系，不能只考虑图形中和是平角的两个角互补，还应该考虑和是180°的两个角也互补.(2)补角的性质是等角的补角相等，应用的条件是要考虑已知的两个角是不是相等.
