画轴对称图形
一.选择题(共10小题)
1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是( )
A.
过已知点作一条直线与已知直线相交
B.
过已知点作一条:直线与已知直线垂直
C.
过已知点作一条直线与已知直线平行
D.
不确定
2.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( )
A.
7
B.
14
C.
17
D.
20
3.若在△ABC所在平面上求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB,那么下列确定P点的方法正确的是( )
A.
P是∠A与∠B两角平分线的交点
B.
P为AC、AB两边上的高的交点
C.
P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
D.
P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点
4.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论,其中正确的个数是( )
①∠DEF=∠DFE;②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.下列图形:其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为( )
A.
13
B.
11
C.
10
D.
8
6.如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是( )
A.
①
B.
②
C.
⑤
D.
⑥
7.小华将一张如图所示矩形纸片沿对角线剪开,他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了下列四个图形,这四个图形中不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图,阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形,再将方格内空白的两个小正方形涂黑,得到新的图形(阴影部分),其中不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共10小题)
9.如图是由三个小正方形组成的图形,请你在图中补画一个小正方形,使补画后的图形为轴对称图形 _________ .
10.(2009?绍兴)在黑板报的设计中,小敏遇到了如下的问题:在如图中,直线l与AB垂直,要作△ABC关于l的轴对称图形.小敏已作出了一步,请你用直尺和圆规作出这个图形的其余部分,保留作图痕迹,并写出相应的作法.
作法:(1)以B为圆心,BA为半径作弧,与AB的延长线交于点P; _________ _________________________就是所要作的轴对称图形.
11.在如图的正方形网格中有一个三角形ABC,作出三角形ABC关于直线MN的轴反射图形,若网格上最小正方形边长为1,则三角形ABC与它轴反射图形的面积之和是 _________ .
12.画一个图形关于某条直线的对称图形时,只要从已知图形上找出几个 _________ ,然后分别作出它们的 _________ ,再按原有方式连接起来即可.
13.如图,已知长方形的台球桌台ABCD,有黑、白两球分别位于M、N两点的位置上,试问:怎样撞击白球N,才能让白球先撞台边AB,反弹后再击中黑球M.(在图上画出)
14.利用图形中的对称点,画出图形的对称轴.
15.如图,AB左边是计算器上的数字“5”,若以直线AB为对称轴,那么它的轴对称图形是数字 _________ .
16.下列每对文字图形中,能看成关于虚线对称的有: _________ (只需要序号).
17.如图所示,观察规律并填空: _________ .
18.下图是用纸叠成的生活图案,其中属于轴对称图形的是(用序号表示) _________ .
三.解答题(共10小题)
19.观察右面两个图形,解答下列问题:
(1)其中是轴对称图形的为 _________
(2)用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴(要求:只保留作图痕迹,不写作法)
20.已知四边形ABCD,如果点D、C关于直线MN对称,
(1)画出直线MN;
(2)画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形.
21.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求:A与A1,B与B1,C与C1相对应)
(2)在(1)问的结果下,连接BB1,CC1,求四边形BB1C1C的面积.
22.已知:如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,BC∥x轴,点B的坐标是(﹣3,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
(2)求以点A、B、B′、A′为顶点的四边形的面积.
23.(2005?大连)如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)画出直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系.
13.2.1 画轴对称图形
一、选择题(共8小题)
1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.D
二.填空题(共10小题)
9.
10. 解:
(1)分别以B,P为圆心,BC,AC为半径作弧,两弧交于点Q;
(2)连接BQ,PQ.△BPQ.
11. 5
12. 关键点 对称点
13.
14.
15. 2;16. ①⑤;17. .;18. ①②③
三.解答题(共5小题)
19. 解:(1)②,①;
(2)
(3分)
20. 解:(1)如图,直线MN即为所求;
(2)四边形A′B′DC即为四边形ABDC关于直线MN的对称图形.
21. 解(1)如图,△A1B1C1 是△ABC关于直线l的对称图形.
(2)由图得四边形BB1C1C是等腰梯形,BB1=4,CC1=2,高是4.
∴S四边形BB1C1C=,
==12.
22. 解:(1)如图所示;
(2)过A点作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,
则∠ABD=180°﹣∠ABC=180°﹣120°=60°
在Rt△ABD中,BD=AB?cos∠ABD=2×=1
AD=AB?sin∠ABD=2×
又知点B的坐标为(﹣3,1)
∴点A的坐标为(﹣4,1+)
∵AA′⊥y轴,BB′⊥y轴
∴AA′⊥BB′
∵AB与A′B′不平行
∴以点A,B,B′,A′为顶点的四边形是等腰梯形
由点A,B的坐标可求得AA′=2×4=8,BB′=2×3=6
∴梯形ABB′A′的面积=(AA′+BB′)?AD=×(8+6)×=7.
23. 解:(1)如图,连接B′B″.(1分)
作线段B'B″的垂直平分线EF.(2分)
则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴.(3分)
(2)连接B′O.
∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,
∴∠BOM=∠B'OM.(5分)
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,
∴∠B′OE=∠B″OE.(6分)
∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α
即∠BOB″=2α.(7分)
13.2.1 作轴对称图形(1)
【学生信息】班级: 姓 名: 所属小组 编号 学习日期 ____
一、学习目标
1、认识轴对称图形,探索并了解它的基本性质;
2、能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形;
3、能利用轴对称进行图案设计。
二、温故知新
1、什么是轴对称图形?
2、请画出下列图形的对称轴。
三、自主探究 合作展示
探究(一)
1、操作:自己动手在纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?改变折痕的位置再试一次,你又得到了什么?
2、归纳:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形,这个图形与原图形
的 、 完全相同;
(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线的 点;
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴 。
探究(二)
1、请同学们尝试解决以下问题;
如图(1),实线所构成的图形为已知图形,虚线为对称轴,请画出已知图形的轴对称图形。
问题:(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确?
(2)和其他同学比较一下,你的方法是最简单的吗?
2、如图(2),已知点A和直线,试画出点A关于直线的对称点A′。
A·
3、例题:如图(3)已知△ABC,直线,画出△ABC关于直线的对称图形。
例题反思:
四、双基检测
1、把下列图形补成关于对称的图形。新课 标 第 一 网
2、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12:15,这时的实际时间应该是 。
3、为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成(三种几何图案的个数不限),并且使整个圆形场地成轴对称图形,请你画出你的设计方案.
五、学习反思
请你对照学习目标,谈一下这节课的收获及困惑。
画轴对称图形
教学目标
1.通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换.
2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.
教学重点
1.轴对称变换的定义.
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.
教学难点
1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.
2.利用轴对称进行一些图案设计.
教学过程
Ⅰ.设置情境,引入新课
在前一个章节,我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题.在上节课的作业中,我们有个要求,让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法,现在来看一下同学们完成的怎么样.
将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案,将纸打开后铺平,得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形.
准备一张质地较软,吸水性能好的纸或报纸,在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折,压平,并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平,位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.
这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形.
Ⅱ.导入新课
由我们已经学过的知识知道,连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案.
对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.大家看大屏幕,从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置,体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途.
下面,同学们自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸折叠描图,再打开看看,得到了什么?改变折痕的位置并重复几次,又得到了什么?同学们互相交流一下.
结论:由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的对称点;
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.
取一张长30厘米,宽6厘米的纸条,将它每3厘米一段,一正一反像“手风琴”那样折叠起来,并在折叠好的纸上画上字母E,用小刀把画出的字母E挖去,拉开“手风琴”,你就可以得到以字母E为图案的花边.回答下列问题.
(1)在你所得的花边中,相邻两个图案有什么关系?相间的两个图案又有什么关系?说说你的理由.
(2)如果以相邻两个图案为一组,每一组图案之间有什么关系?三个图案为一组呢?为什么?
(3)在上面的活动中,如果先将纸条纵向对折,再折成“手风琴”,然后继续上面的步骤,此时会得到怎样的花边?它是轴对称图形吗?先猜一猜,再做一做.
注:为了保证剪开后的纸条保持连结,画出的图案应与折叠线稍远一些.
Ⅲ.随堂练习
(一)如图(1),将一张正六边形纸沿虚线对折折3次,得到一个多层的60°角形纸,用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线,如图(2).
(1)猜一猜,将纸打开后,你会得到怎样的图形?
(2)这个图形有几条对称轴?
(3)如果想得到一个含有5条对称轴的图形,你应取什么形状的纸?应如何折叠?
答案:(1)轴对称图形.
(2)这个图形至少有3条对称轴.
(3)取一个正十边形的纸,沿它通过中心的五条对角线折叠五次,得到一个多层的36°角形纸,用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线,打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形.
(二)回顾本节课内容,然后小结.
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形,并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时,要注意运用对称轴位置和方向的变化,使我们设计出更新疑独特的美丽图案.
Ⅴ.动手并思考
(一)如下图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的角形沿黑色线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺平.
(1)你会得怎样的图案?先猜一猜,再做一做.
(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.
(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再沿圆弧剪开,去掉较小部分,展开后结果又会怎样?为什么?
(4)当纸对折2次后,剪出的图案至少有几条对称轴?3次呢?
答案:(1)得到一个有2条对称轴的图形.
(2)按照上面的做法,实际上相当于折出了正方形的2条对称轴;因此(1)中的图案一定有2条对称轴.
(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.
(4)当纸对折2次,剪出的图案至少有2条对称轴;当纸对折3次,剪出的图案至少有4条对称轴.
(二)自己设计并制作一个花边.
课后作业:同步练习
Ⅵ.活动与探究
如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”,你想怎样剪?设法使剪的次数尽可能少.
过程:学生通过观察、分析设计自己的操作方法,教师提示学生利用轴对称变换的应用.
结果:“小人”可以先折叠一次,剪出它的一半即可得到整个图.
“十字”可以折叠两次,剪出它的四分之一即可.
板书设计
一、轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
二、利用轴对称变换设计图案
课件40张PPT。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,
叫做这条线段的垂直平分线。1、什么叫线段的垂直平分线?它有什么性质?如何判断一个点在线段的垂直平分线上?把课本34页练习的图画在作业本上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上1、用尺规作线段的垂直平分线动手试一试在一 张半透明的纸的左边部分,
画一只左脚印,在把这张纸对折
后描图,打开对折的纸。就能得
到相应的右脚印,动脑想一 想左脚印和右脚印有什么关系?
成轴对称对称轴是折痕所在的 直线,即直线l图中的PP’与l有什么关系?l是PP′的垂直平分线类似地。我们可由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复此过程,可得到美丽的图案 对称轴的方向和位置发生变化,得到图形的方向和位置也会发生变化. 轴对称变换:由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点; 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。轴对称变换的特征: 一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的。 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到。 如果有一 个图形和一条直线,如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢?思考 已知对称轴 l 和一个点A,如何画出点A关于 l 的对称点A′ ?A l 尝试探究作法:
过点A作直线l的垂线在垂线上截取OA’=OA,垂足为点O,点A’就是点A关于直线l的对称点.
如何画线段AB关于
直线l 的对称线段A′B′?AB作法:
1、过点A作直线l的垂线,垂足为点O,在垂线上截OA’=OA,点A’就是点A关于直线l的对称点;
2、类似地,作出点B关于直线l的对称点B’;
3、连接A’B’.
∴ 线段A’B’即为所求。1、过点A作直线l的垂线,垂足为点O, 在垂线上截取OA’=OA, 例1:如图,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形。 分析:△ABC可以由三个顶点的位置确定,只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点,连接这些对称点,就能得到要作的图形。l作法:2、类似地,分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’;3、连接A’B’、B’C’、C’A’。∴△A’B’C’即为所求。A’B’C’O点A’就是点A关于直线l的对称点; 例1:如图,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形。lB’C’A’B’∴△AB’C’即为所求。作法:1、分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’;2、连接AB’、B’C’、C’A。l作法:1、分别作出点A、B关于直线l的对称点A’、B’;2、连接A’B’、B’C、CA’。∴△A’B’C即为所求。作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:1、找点2、画点3、连线(确定图形中的一些特殊点);(画出特殊点关于已知直线的对称点);(连接对称点)。请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案中外建筑《委加·派尔》
1969法国著名画家 V·瓦萨雷利雕刻家 威廉斯·多佛《木制卫兵雕像》1971我们一起来 吧!要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?你可以在L上找几个点试一试,能发现什么规律吗?哈,我知道怎样作ABC 通过今天的学习,你有什么收获与体会?请你谈一谈1、轴对称变换的定义;3、画已知图形关于已知直线的对称图2、轴对称变换的特征;由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样;2、新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点; 3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。轴对称变换的特征:作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:1、找点2、画点3、连线(确定图形中的一些特殊点);(画出特殊点关于已知直线的对称点);(连接对称点)。作轴对称图形(2)如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=AB,已知△ABE≌△ADF.
⑴在图中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE变到△ADF的位置;
⑵线段BE与DF有什么关系?证明你的结论.由一个平面图形得到它的轴对称的图形叫做轴对称变换。轴对称变换轴对称变换不会改变图形的 和
,只会改变图形 。大小位置形状下面的数据是某个时间经过轴对称变换而得来的,请问它表示的时间是多少?利用轴对称变换以及变换后的一些特征,我们可以解决许多实际问题。如图所示:从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?你的理由是什么?两点之间线段最短
如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
P所以泵站建在点P可使输气管线最短如图,如果A,B在燃气管道L的同旁,泵站应修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?思考???
为什么在P点的位置修建泵站,就能使所用的管线最短呢?总结经验:
实际上是通过轴对称变换,把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”加以解决。拓展应用,巩固提高八年级某班同学做游戏,在活动区域边放了一些球,则小明按怎样的路线跑,去捡哪个位置的球,才能最快拿到球跑到目的地A处。P路线:小明——P——A如果另一侧放着一些小木棍,小明先去捡球,还要跑到另一侧去取木棍,则小明又应按怎样的路线跑,去捡哪个位置的球,小木棍,才能最快跑到目的地A处。DEC路线:小明——D——E——A如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边给马喝水,然后回到帐篷,请你帮助他确定这一天的最短路线。如果我们把台球桌做成等边三角形的形状,那么从AC中点D处发出的球,能否依次经BC、AB两条边反射回到D处?如果你认为不能,请说明理由;如果你认为能,请作出球运动的路线。ABCD本节课你有哪些收获?用坐标表示轴对称
一.选择题(共8小题)
1.点(3,2)关于x轴的对称点为( )
A.
(3,﹣2)
B.
(﹣3,2)
C.
(﹣3,﹣2)
D.
(2,﹣3)
2.点P(﹣2,1)关于y轴对称的点的坐标为( )
A.
(﹣2,﹣1)
B.
(2,1)
C.
(2,﹣1)
D.
(﹣2,1)
3.已知点A(3x﹣6,4y+15),点B(5y,x)关于x轴对称,则x+y的值是( )
A.
0
B.
9
C.
﹣6
D.
﹣12
4.已知两点的坐标分别是(﹣2,3)和(2,3),则下列情况:其中正确的有( )
①两点关于x轴对称
②两点关于y轴对称
③两点之间距离为4.
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
5.点A(a,4)、点B(3,b)关于x轴对称,则(a+b)2014的值为( )
A.
0
B.
﹣1
C.
1
D.
72010
6.平面直角坐标系中的点P(2﹣m,m)关于x轴的对称点在第四象限,则m的取值范围在数轴上可表示为( )
A.
B.
C.
D.
7.点(6,3)关于直线x=2的对称点为( )
A.
(﹣6,3)
B.
(6,﹣3)
C.
(﹣2,3)
D.
(﹣3,﹣3)
8.两个完全相同的三角形纸片,在平面直角坐标系中的摆放位置如图所示,点P与点P′是一对对应点,若点P的坐标为(a,b),则点P′的坐标为( )
A.
(﹣a,﹣b)
B.
(b,a)
C.
(3﹣a,﹣b)
D.
(b+3,a)
二.填空题(共12小题)
9.已知点P(6,3)关于原点的对称P1点的坐标是 _________ .
10.在平面直角坐标系中,点A关于y轴对称的点A′的坐标为(﹣2,7),则点A的坐标为 _________ .
11.已知点P(3,﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1﹣b),则ab的值为 _________ .
12.在直角坐标系中,如果点A沿x轴翻折后能够与点B(﹣1,2)重合,那么A、B两点之间的距离等于 _________ .
13.若|3a﹣2|+|b﹣3|=0,求P(a,b)关于y轴的对轴点P′的坐标为 _________ .
14.如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点P(0,﹣2)处开始依次关于点A(﹣1,﹣1),B(1,2),C(2,1)作循环对称跳动,即第一次跳到点P关于点A的对称点M处,接着跳到点M关于点B的对称点N处,第三次再跳到点N关于点C的对称点处,…,如此下去.则经过第2011次跳动之后,棋子落点的坐标为 _________ .
15.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,先将△ABC向右平移5个单位得△A1B1C1,再把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2,则点C2的坐标是 _________ .
16.已知P1点关于x轴的对称点P2(3﹣2a,2a﹣5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点,称为整点),则P1点的坐标是 _________ .
17.在平面直角坐标系中.过一点分別作x轴与y轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点.给出以下结论:①点M(2,4)是和谐点;②不论a为何值时,点P(2,a)不是和谐点;③若点P(a,3)是和谐点,则a=6;④若点F是和谐点,则点F关于坐标轴的对称点也是和谐点.正确结论的序号是 _________ .
18.(1)善于思考的小迪发现:半径为a,圆心在原点的圆(如图1),如果固定直径AB,把圆内的所有与y轴平行的弦都压缩到原来的倍,就得到一种新的图形﹣椭圆(如图2).她受祖冲之“割圆术”的启发,采用“化整为零,积零为整”、“化曲为直,以直代曲”的方法,正确地求出了椭圆的面积,她求得的结果为 _________ ;
(2)小迪把图2的椭圆绕x轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球.已知半径为a的球的体积为πa3,则此椭球的体积为 _________ .
三.解答题(共5小题)
19.(1)若点(5﹣a,a﹣3)在第一、三象限角平分线上,求a的值;
(2)已知两点A(﹣3,m),B(n,4),若AB∥x轴,求m的值,并确定n的范围;
(3)点P到x轴和y轴的距离分别是3和4,求点P的坐标;
(4)已知点A(x,4﹣y)与点B(1﹣y,2x)关于y轴对称,求yx的值.
20.已知M(2a+b,3)和N(5,b﹣6a)关于y轴对称,求3a﹣b的值.
21.小明发现把一双筷子摆在一个盘子上,可构成多种不同的轴对称图形,请你按下列要求各添画一只筷子,完成其中三种图形.
22.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,3),B(2,4),C(4,0),D(2,﹣3),E(0,﹣4).写出D,C,B关于y轴对称点F,G,H的坐标,并画出F,G,H点.顺次而平滑地连接A,B,C,D,E,F,G,H,A各点.观察你画出的图形说明它具有怎样的性质,它象我们熟知的什么图形?
23.在图示的方格纸中
(1)作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1;
(2)说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的?
13.2.2 用坐标表示轴对称
一、选择题(共8小题)
1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.C
二.填空题(共10小题)
9.(-6,- 3)
10.(2,7)
11. 25
12. 4
13.
14. (﹣2,0)
15. (3,﹣3)
16. (﹣1,1)
17. ②③④
18. (1)πab (2)πab2
三.解答题(共5小题)
19. 解:(1)∵点(5﹣a,a﹣3)在第一、三象限角平分线上,
∴5﹣a=a﹣3,
解得:a=4;
(2)∵两点A(﹣3,m),B(n,4),AB∥x轴,
∴m=4,n≠3的任意实数;
(3)∵点P到x轴和y轴的距离分别是3和4,
∴P点可能在一、二、三、四象限,
∴点P的坐标为:(4,3),(﹣4,3),(﹣4,﹣3),(4,﹣3);
(4)∵点A(x,4﹣y)与点B(1﹣y,2x)关于y轴对称,
∴,
解得:,
∴yx=2.
20. 解:∵M(2a+b,3)和N(5,b﹣6a)关于y轴对称,
∴2a+b=﹣5,b﹣6a=3,
解得a=﹣1,b=﹣3,
∴3a﹣b=3×(﹣1)﹣(﹣3)=﹣3+3=0.
21. 解:
如图就是所求作的图形.
22.
解:由题意得,F(﹣2,﹣3),G(﹣4,0),H(﹣2,4),
这个图形关于y轴对称,是我们熟知的轴对称图形.
23. 解:(1)△A1B1C1如图所示;
(2)向右平移6个单位,再向下平移2个单位(或向下平移2个单位,再向右平移6个单位).
用坐标表示轴对称
课 题
用坐标表示轴对称
课 型
新授课
课 时
1
三、反馈提升
四、达标运用
P71习题13.2复习巩固:1,2, 3,4
五、总结反思
课堂记录
或学法指导
学 习
目 标
1,理解并掌握关于坐标轴或其平行线对称的点的坐标变化规律
2,能作出已知图形关于坐标轴的对称图形
学 习
重 点
能作已知图形关于坐标轴的对称图形
学 习
难 点
理解并掌握关于坐标轴或其平行线对称的点的坐标变化规律
学习过程:
一、自主学习
画出以下点及其关于坐标轴的对称点,并把它们的坐标填入表格中,再看看每对称点的坐标又怎样的关系规律。
归纳:点(x,y)关于X轴对称的点坐标为___________,点(x,y)关于Y轴的对称点坐标为____________。
二、问题探究
如图,分别画出与⊿ABC关于X轴和Y轴的对称图形。
(提示,先找到关键点的对称点,然后在顺次连接各个关键点就可以画出已知图形的对称图形)
图中点坐标,A( , ) B( , ) C( , )
知识链接:
书写等级:
测评得分:
13.2.2 用坐标表示轴对称
教 学 目 标
知识技能
1、能理解平面直角坐标系中,与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律;
2、能作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形。
数学思考
通过找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中,培养学生的语言能力、观察能力、归纳能力,养成良好的科学研究方法。
解决问题
在探索活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。
情感态度
1、通过现实情景的创设,使学生体验到数学就在我们身边,从而培养审美情趣。
2、在找点、绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习的乐趣,增强解决问题是的信心,获得解决问题是的成功体验,逐步培养学生的理性精神。
重 点
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
难 点
找对称点的坐标之间的关系、规律。
关 键
采用小组合作、交流,让学生动手实践,形成自己的学习方式;画图时,标出正确的坐标 。
学生分析
学生的认知水平和学习能力差异较大,学习主动性较差,不善言表,少合作,但好奇心强,有很强学习和探索欲望。
数学策略及教法设计
本节课通过北京城内天安门、地安门、东直门等的方位引入新课,能强烈地吸引学生的注意力,较好地激发学生的学习兴趣.本堂课共分创设情境;探索新知;巩固新知;拓展延伸;巩固练习;总结归纳六个环节.采用探究、发现式教学法,通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标,寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律,培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力,并通过研究线段之间关系发现点的坐标之间关系,使学生体验数形结合思想.并通过一定的练习培养学生思维的流畅性,也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标
本节教学设计的特点是以探索活动贯穿整个课堂教学。包括的有:(1)探索关于坐标轴对称的点的坐标的规律;(2)探索关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的规律;(3)探究在平面直角坐标系中如何画一个图形关于x轴或y轴的对称图形。另外坚持做到教师的讲解恰当、到位、有效。紧紧抓住教材的重点在教学设计上始终突出点的位置与点的坐标之间的一一对应的关系。
教 学 流 程 安 排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 探索关于坐标轴对称的点的坐标的规律。
活动2 探索关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的规律。
活动3 在平面直角坐标系中如何画一个图形关于x轴或y轴的对称图形。
活动4 巩固新知
活动5 小结,布置作业。
通过画一些点分别关于x轴、y轴对称的点,归纳出关于坐标轴对称的点的坐标的规律。
通过分别作出一个三角形关于直线x=1和直线y=-1对称的图形,总结关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的规律。
通过画图,掌握作关于x轴或y轴对称的图形的方法。
通过练习,加深对新知识的理解,体现用数学的意识。
回顾,总结本节内容。
教学过程设计
问题与情感
师生行为
设计意图
[活动1]
创设情境承上启下
一.动手画一画:
已知点A和一条直线MN,你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?
二、图片导入
有关用坐标表示的生活中的轴对称图例:
一幅老北京城的示意图,其中西直门和东直门是关于中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,对应于如图所示的东直门的坐标,你能说出西直门的坐标吗?
学生通过动手画图,为探索新知识做好铺垫,建立新旧知识之间的联系。
多媒体展示
教师引导学生分析问题,激发学生的求知欲。
学生从中受到启发继续探究点的位置与坐标之间的关系,形成互动的氛围。
由于本节课紧扣着上节课的内容,因此设计此活动既复习上节课的知识又为学习做好准备。
学生通过观察,形成感性认识和探索的兴趣。
[活动2]
探索新知
1、在平面直角坐标系中画出下列已知点。
A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);
D(3,5);E(4,0);F(0,-3)。
2、画出这些点分别关于x轴、y 轴对称的点。并填写表格。
已知点
A(2,-3)
B(-1,2)
C(-6,-5)
D(3,5)
E(4,0)
F(0,-3)
关于x轴对称点
关于y 轴对称点
3、请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?
4、尝试再找几个点,分别画出它们的对称点。
5、小组合作,总结规律
在平面直角坐标系中:
关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐
标互为相反数;关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
即:点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, - y);点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(- x, y)。
提出问题,组织学生画图,参与学生讨论。
学生独立完成填表。分组讨论,交流问题并发表见解。
教师引导学生发现问题,重点关注学生用数学语言表述自己的观点的能力。
教师演示(多媒体),利用《几何画板》软件,描出点的坐标。改变点的位置,观察它们的坐标有什么关系?
学生认真观察,动手实践。
学生在探索的过程中会遇到困难,出现问题是通过合作学习加以解决。
让学生经历动手操作、发现规律、检验正确性的过程。并通过画图、观察点的坐标 使学生体验数形结合思想。
通过多媒体动画效果借助观察特征,使问题形象化而不枯燥,能有效地帮助学生归纳出规律。
[活动3]
巩固新知
1、说出下列各点关于x轴、y轴对称的点的坐标:
(2,-3);(-1,2);(-6,-5);(0,-1.6); (4,0)。
2、如下图,△ABC关于x轴对称,点A的坐标为(1,-2),说出点B的坐标。
3、四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)、B(-2,1)、 C(-2,5) 、D(-5,4),分别作出四边形关于x轴与y轴对称的图形。
4、归纳画法
(1)求出对称点的坐标;
(2)描点;
(3)连接点。
学生利用刚学的知识独立完成。教师加以指导,并展示学生的成果。
学生参与画图,分组讨论、交流问题,发表见解。
教师引导学生,先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形。
学生动手实践,分组讨论、交流,发表见解。
教师应关注学生的动手实践能力和归纳能力、表达能力。
通过一定的练习使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标。
通过探究活动,进一步调动学生学习数学的积极性,并在活动中获得成功感,在小组合作中学会尊重和理解他人的见解。
让学生探究关于坐标轴对称和关于原点对称的点坐标之间的联系,渗透数形结合的思想。
[活动4]
拓展延伸
1、分别作出点△ABC关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形.
2、你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?
3、归纳:
(1)、点(x,y)关于直线x=m对称点的坐标是(2m-x,y).
(2)、点(x, y)关于直线y=n对称点的坐标是(x,2n-y).
提出问题是,巡视关注学生画图,请一些学生发言,谈谈自己的看法,多媒体显示事先完成的画图,供学生对照交流。
规律的发现重视学生的分析、说理,希望学生能通过寻找线段之间的关系来求点的坐标。
再次体验数形结合思想,并拓展到直线x=m和y=n,使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标,而不是机械地通过记忆规律来解决。
通过总结规律使学生达到做一题、会一类的学习效果,也使学生形成善于总结、归纳的良好习惯。
[活动5]
巩固练习
1、如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.
2、已知点P(2a+b,-3a)与点P`(8,b+2).
(1)若点p与点p`关于x轴对称,则a=_____ b=_______.
(2)若点p与点p`关于y轴对称,则a=_____ b=_______.
学生描点,观察与分析。教师指导学生参与活动,倾听鼓励学生交流。
通过画图帮助学生突破本节难点,同时为学生提供个性化发展的空间,及时了解学生的学习效果,使学生养成独立思考、反思学习过程的习惯。
此题意在考察学生是否掌握关于x轴对称或y轴对称的点的坐标规律及熟练的应用。
[活动6]
1、总结归纳
谈谈本节课你有哪些收获?
你学习了哪些方法和知识?
2、布置作业。
完成P135第2-4题,P136第6题
让学生自由发言围绕着教师的问题进行小结。
在课堂中培养学生归纳、总结的习惯和能力。
课件31张PPT。用坐标表示轴对称探究1:如图,在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?·A (2,3)·A’(2,-3)你能说出点A与点A’坐标的关系吗?
x y 请同学们在坐标系中多找几个点,并画出它们关于轴对称的点,然后观察已知点与对称点的横坐标和纵坐标 有什么变化?在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.B (-4, 2)··C(3, -4)·B’ (-4, -2)·C’(3, 4)思考:关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系?x y 通过探究你能用语言归纳关于 x 轴对称的点坐标规律吗?归纳:关于x轴对称的点的坐标的特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数.练习:
1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称,则点Q的坐标为__________.
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称,则a=_____, b =_____.(- 5 , -6 )-25探究2:如图,你能在平面直角坐标系中画出点A关于y轴的对称点A’吗?·A (2,3)·A’(-2,3)你能说出点A与点A’坐标的关系吗?
x y 在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.B (-4, 2)··C(3, -4)·B’ (4, 2)·C’(-3, -4)思考:关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系?x y 归纳:关于y轴对称的点的坐标的特点是:横坐标互为相反数,纵坐标相等.练习:
1、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称,则点Q的坐标为__________.
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称,则a=_____, b =_____.( 5 , 6 )2-5小结:在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______.
点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______.(x, - y)(- x, y)已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律:( P44)活动一: 1、观察图中两个圆脸有什么关系?轴对称关系(关于y轴对称) 2、已知右边圆脸中眼睛A的坐标为(2,3)B的坐标为(4,3)嘴角C的坐标为(4,1)D的坐标为(2,1)。012345-4-3-2-1x活动一: 3、你能根据轴对称的性质写出左边圆脸的眼睛和嘴角的坐标吗?(2,3)(4,3)(4,1)(2,1)··A1B1··x活动一:A1的坐标为_________ B1的坐标为________
C1的坐标为_________ D1的坐标为________(-2,3)(-4,3)(-4,1)(-2,1)C1D1(4,3)(2,3)(4,1)(2,1)1、完成下表.
(-2, -3)(2, 3)(-1,-2)(1, 2)(6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2).
若点p与点p’关于x轴对称,则a=_____ b=_______.
若点p与点p’关于y轴对称,则a=_____ b=_______.练 习246-20(抢答)例:已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(- 4,1),C(-1,3),作出△ABC关于y轴对称的图形。解:点A(-3,5),B(-4,1),
C(-1,3),关于y轴对称
点的坐标分别为A’(3,5), B’(4,1),C’(1,3).依次连接A’B’,B’C’,C’A’,就得到△ABC关于y轴对称的△A’B’C’.····AB’A’C’ 归纳:(P44)先求出已知图形中的 特殊点(如多边形的顶点或端点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可 得到这个图形的轴对称图形.x y 练习:P45 2 .3 (1,2)······ (拓展提高)思考:(P46探究3):(拓展提高)如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?x=1······P(-2,4)M(-1,1)N’(5,-2)N(-3,-2)M’(3,1)P’(4,4)x y , ’类似: 若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于 直线y=n对称,则 ; 归纳:若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于 直线
x=m对称,则;y1=y2x1=x2X2=2m-x1y2=2n-y1(m= )(n= )1、学习了在平面直角坐标系中,关于x轴和y轴对称的点的坐标的特点。这节课你学到了什么?关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.2、学习了在平面直角坐标系中如何画一个图形关于x轴或y轴的对称图形先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.用坐标表示轴对称学习目标:1、掌握在平面直角坐标系中,关于x轴和y轴对称点的坐标特点,并能运用它解决简单的问题;2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。动动手画一画已知点A和一条直线MN,你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?AA’MN∴ A’就是点A关于直线MN的对称点。O然后延长AO至OA’,使AO=OA’.过点A作AO⊥MN于O,探究1:如图,在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?·A (2,3)·A’(2,-3)你能说出点A与点A’坐标的关系吗?
在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.B (-4, 2)··C(3, -4)·B’ (-4, -2)·C’(3, 4)思考:关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系?归纳:关于x轴对称的点的坐标的特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数.练习:
1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称,则点Q的坐标为__________.
2、点M(a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称,则a=_____, b =_____.(- 5 , -6 )-25探究2:如图,你能在平面直角坐标系中画出点A关于y轴的对称点吗?·A (2,3)·A’(-2,3)你能说出点A与点A’坐标的关系吗?
在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.B (-4, 2)··C(3, -4)·B’ (4, 2)·C’(-3, -4)思考:关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系?归纳:关于y轴对称的点的坐标的特点是:横坐标互为相反数,纵坐标相等.练习:
1、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称,则点Q的坐标为__________.
2、点M(a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称,则a=_____, b =_____.( 5 , 6 )2-5小结:在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______.
点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______.(x, - y)(- x, y)1、完成下表.
(-2, -3)(2,-3)(-1,-2)(1, 2)(6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2).
若点p与点p’关于x轴对称,则a=_____ b=_______.
若点p与点p’关于y轴对称,则a=_____ b=_______.练 习246-20512125541、学习了在平面直角坐标系中,关于x轴和y轴对称的点的坐标的特点。这节课你学到了什么?关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.2、学习了在平面直角坐标系中如何画一个图形关于x轴或y轴的对称图形先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.