3.1.1函数的概念 同步练习（含答案）2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1 函数的概念 同步练习
2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
考试范围：函数的概念；考试时间：60分钟；
一．选择题（共8小题）
1．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）∪（1，2]
C．[1，2] D．（﹣∞，1]
2．已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]
C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]
3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（　　）
A．
B．
C．f（x）＝x2，g（x）＝2x
D．
4．已知函数f（x）＝则f（3）的值是（　　）
A．1 B．2 C．8 D．9
5．设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有（　　）
A． B．
C． D．
6．函数的值域为（　　）
A．[0，2] B． C． D．
7．已知函数，若f（x）的值域是R，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，1] C．[0，+∞） D．（﹣∞，1]
8．二次函数f（x）＝﹣x2+2tx在[1，+∞）上最大值为3，则实数t＝（　　）
A． B． C．2 D．2或
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函为，x∈[1，2]与函数，为“同族函数”．下列函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（　　）
A．f（x）＝x B．f（x）＝x2+x﹣1
C． D．
（多选）10．已知函数f（x）＝，则（　　）
A．f（x）的定义域为{x|x≠±2}
B．f（x）的图像关于x＝2对称
C．f（f（﹣5））＝﹣6
D．f（x）的值域是（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
（多选）11．已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）12．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为，则下列关于函数f（x）的描述正确的是（　　）
A．f（x）的图象是中心对称图形
B．f（x）的图象是轴对称图形
C．f（x）的值域为
D．方程f[f（x）]＝10有两个解
三．填空题（共4小题）
13．函数的定义域为 　 　，最小值为 　 　．
14．函数f（x）＝﹣的值域为　 　．
15．若函数f（x）= -2x2+m（x＞1）的值域为（﹣∞，3]，则实数m的取值范围是 　 　．
16．若，则函数在x∈[0，1]上的值域是 　 　．
四．解答题（共5小题）
17．已知f（x）＝x2﹣4x+2，．
（1）求f（2），g（f（2））的值；
（2）求f（x）的值域及g（x）的值域．
18．已知函数
（1）若x∈[﹣2，3]，求其值域；
（2）当f（x）≥2时，求x的取值范围．
19．已知函数f（1﹣2x）的定义域为．
（1）求f（x）的定义域B；
（2）对于（1）中的集合B，若 x∈B，使得a＞x2﹣x+1成立，求实数a的取值范围．
20．对于函数f（x）和g（x），记函数f（x）的定义域为A，函数g（x）的定义域为B，若B A，则称函数g（x）是函数f（x）的好函数，否则，称函数g（x）不是函数f（x）的好函数．现已知函数h（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）若函数φ（x）＝h（2x﹣1），判断函数φ（x）是不是函数h（x）的好函数；
（2）若函数u（x）＝h（﹣x2﹣ax+a+1），且函数u（x）是函数h（x）的好函数，求实数a的取值范围．
21．设函数，若存在实数a，b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
（1）求实数a的范围；
（2）求实数m的取值范围．
3.1.1 函数的概念 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）∪（1，2]
C．[1，2] D．（﹣∞，1]
【答案】B
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≤2且x≠1．
∴函数的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2]．
故选：B．
2．已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]
C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]
【答案】C
【解答】解：由题意得：
﹣8≤2x+1≤1，
解得：﹣≤x≤0，
由x+2≠0，解得：x≠﹣2，
故函数的定义域是[﹣，﹣2）∪（﹣2，0]，
故选：C．
3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（　　）
A．
B．
C．f（x）＝x2，g（x）＝2x
D．
【答案】D
【解答】解：A．函数f（x）＝|x|，两个函数的对应法则不一致，不是同一函数．
B．函数g（x）＝x，x≠0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
C．函数y＝2x，y＝x2，两个函数的对应法则不一致，不表示同一函数．
D．函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同，对应法则相同，表示同一函数．
故选：D．
4．已知函数f（x）＝则f（3）的值是（　　）
A．1 B．2 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解由题意可得，f（3）＝3﹣2＝1．
故选：A．
5．设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意；
B符合函数的定义，符合题意；
C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值不符合函数定义，
D中，当x＝2时，有两个值与之对应，不符合函数定义，D错误．
故选：B．
6．函数的值域为（　　）
A．[0，2] B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题得x﹣2x2≥0，∴2x2﹣x≤0，∴．
当0≤x时，x＝0或 时，y＝x﹣2x2 取最小值0；
当时，y＝x﹣2x2取最大值，
所以当x＝0或时，取最小值0；
当时，取最大值，
所以函数的值域为．
故选：C．
7．已知函数，若f（x）的值域是R，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，1] C．[0，+∞） D．（﹣∞，1]
【答案】B
【解答】解：函数y＝x+1在（﹣∞，a]上为增函数，值域为（﹣∞，a+1]，如图：
y＝2x（x＞a）的值域为（2a，+∞），
又y＝x+1与y＝2x有两个交点（0，1），（1，2）要使函数f（x）的值域为R，
则0≤a≤1．
故选：B．
8．二次函数f（x）＝﹣x2+2tx在[1，+∞）上最大值为3，则实数t＝（　　）
A． B． C．2 D．2或
【答案】B
【解答】解：f（x）＝﹣x2+2tx对称轴x＝t，开口向下，
①t≤1，则f（1）＝﹣1+2t＝3，无解，
②t＞1，则f（t）＝﹣t2+2t2＝3，解得t＝．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函为，x∈[1，2]与函数，为“同族函数”．下列函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（　　）
A．f（x）＝x B．f（x）＝x2+x﹣1
C． D．
【答案】BCD
【解答】解：由题设，“同族函数”存在不同区间能取到相同值域，显然f（x）＝x不符合，
对于f（x）＝x2+x﹣1关于对称，必存在不同区间能取到相同值域，满足题设，
对于在y两侧各自递增，且值域均为R，满足题设；
对于，在（﹣1，0）、（0，1）上对应的值域相同，满足题设．
故选：BCD．
（多选）10．已知函数f（x）＝，则（　　）
A．f（x）的定义域为{x|x≠±2}
B．f（x）的图像关于x＝2对称
C．f（f（﹣5））＝﹣6
D．f（x）的值域是（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
【答案】AC
【解答】解：由|x|﹣2≠0，可得x≠±2，所以f（x）的定义域为{x|x≠±2}，则A正确；
因为f（1）＝﹣4，f（3）＝4，所以f（1）≠f（3），所以f（x）的图象不关于直线x＝2对称，则B错误；
因为，所以f（f（﹣5））＝﹣6，则C正确；
因为x≠±2，所以|x|≥0，且|x|≠2，
所以|x|﹣2≥﹣2，且|x|﹣2≠0，
当﹣2≤|x|﹣2＜0时，，即f（x）≤﹣2，
当|x|﹣2＞0时，，即f（x）＞0，
所以f（x）的值域是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞），故D错误．
故选：AC．
（多选）11．已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解答】解：对于A，，
由于，所以f（x）≠﹣1，所以|f（x）|∈[0，+∞），
故不存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，故A错误，
对于B，令u＝1﹣x2，则u∈[0，1]，，所以f（x）∈[0，1]，故存在正数1，使得|f（x）|≤1成立，故B正确，
对于C，令u＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，则，易得u≥1．所以，即f（x）∈（0，5]，故存在正数5，使得|f（x）|≤5成立，故C正确，
对于D，令，则t∈[0，2]，|x|＝4﹣t2，
则，易得，
所以，故存在正数，使得成立，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为，则下列关于函数f（x）的描述正确的是（　　）
A．f（x）的图象是中心对称图形
B．f（x）的图象是轴对称图形
C．f（x）的值域为
D．方程f[f（x）]＝10有两个解
【答案】BCD
【解答】解：对于B选项，因为函数f（x）的定义域为R，
＝，
所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，B对；
对于C选项，因为，
函数f（x）的几何意义为点P（x，0）到点A（﹣1，﹣1）和点B（3，1）的距离之和，
如下图所示：
，
当且仅当点A、P、B共线时，等号成立，
所以函数f（x）的值域为，C对；
对于A选项，由C选项可知，函数f（x）只有最小值，
若函数f（x）的图象为中心对称图形，则函数f（x）有最大值，
这与函数f（x）的值域为矛盾，A错；
对于D选项，设t＝f（x），
由f[f（x）]＝10可得，解得，
因为函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且函数f（x）的值域为，
因为，，
所以方程无解，
令，易知函数g（x）在（1，+∞）上为增函数，
且，
，
由零点存在定理可知，g（x）在（1，10）上存在一个零点，
即方程在（1，+∞）由一个根，则方程在（﹣∞，1）上有个根，
综上所述，方程f[f（x）]＝10有两个根，D对．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题）
13．函数的定义域为 　（﹣∞，2）　，最小值为 　　．
【答案】（﹣∞，2），．
【解答】解：由2﹣x＞0，得x＜2，则f（x）的定义域为（﹣∞，2），
，
当且仅当，即x＝﹣1时等号成立，所以f（x）的最小值为．
故答案为：（﹣∞，2），．
14．函数f（x）＝﹣的值域为　[﹣，]　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由，得﹣2≤x≤4．
∴函数f（x）＝﹣的定义域为[﹣2，4]．
函数f（x）＝﹣是定义域内的减函数，
∴，．
∴函数f（x）＝﹣的值域为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
15．若函数f（x）= -2x2+m（x＞1）的值域为（﹣∞，3]，
的值域为（﹣∞，3]，则实数m的取值范围是 　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解： x＞1时，﹣2x2+m＜m﹣2，且f（x）的值域为（﹣∞，3]，
∴m﹣2≤3，
∴m≤5，
∴实数m的取值范围是：（﹣∞，5]．
故答案为：（﹣∞，5]．
16．若，则函数在x∈[0，1]上的值域是 　[0，1]　．
【答案】[0，1]．
【解答】解：，
任取x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，
则，
所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在[0，1]上单调递增，
则f（x）min＝f（0）＝0，f（x）max＝f（1）＝1，
所以函数在x∈[0，1]上的值域是[0，1]．
故答案为：[0，1]．
四．解答题（共5小题）
17．已知f（x）＝x2﹣4x+2，．
（1）求f（2），g（f（2））的值；
（2）求f（x）的值域及g（x）的值域．
【答案】（1）f（2）＝﹣2，g（f（2））＝2，
（2）f（x）的值域为[﹣2，+∞），g（x）的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．
【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣4x+2，，
所以f（2）＝﹣2，g（f（2））＝g（﹣2）＝2；
（2）因为f（x）＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2≥﹣2，
所以f（x）的值域为[﹣2，+∞），
g（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，
，
因为，所以，
所以g（x）的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．
18．已知函数
（1）若x∈[﹣2，3]，求其值域；
（2）当f（x）≥2时，求x的取值范围．
【答案】（1）[﹣2，4]；
（2）．
【解答】解：（1）由（1）可知：当x∈[﹣2，0]时，
f（x）＝x2单调递减，f（x）＝x2∈[0，4]，
当x∈（0，3]时，f（x）＝4﹣2x单调递减，
f（x）＝4﹣2x∈[﹣2，4），
综上：函数f（x）的值域为[﹣2，4]；
（2）当x≤0时，x2≥2，解得：；
当x＞0时，4﹣2x≥2时，解得：0＜x≤1，
综上：实数x的取值范围是．
19．已知函数f（1﹣2x）的定义域为．
（1）求f（x）的定义域B；
（2）对于（1）中的集合B，若 x∈B，使得a＞x2﹣x+1成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）B＝[﹣1，0]；
（2）（1，+∞）．
【解答】解：（1）因为函数f（1﹣2x）的定义域为，
所以﹣1≤1﹣2x≤0，
所以f（x）的定义域B＝[﹣1，0]；
（2）令g（x）＝x2﹣x+1，
因为 x∈B，使得a＞x2﹣x+1成立，则a＞g（x）min，
根据二次函数的性质可知，g（x）在[﹣1，0]上的最小值为g（0）＝1，
故a＞1，
所以a的取值范围为（1，+∞）．
20．对于函数f（x）和g（x），记函数f（x）的定义域为A，函数g（x）的定义域为B，若B A，则称函数g（x）是函数f（x）的好函数，否则，称函数g（x）不是函数f（x）的好函数．现已知函数h（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）若函数φ（x）＝h（2x﹣1），判断函数φ（x）是不是函数h（x）的好函数；
（2）若函数u（x）＝h（﹣x2﹣ax+a+1），且函数u（x）是函数h（x）的好函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）φ（x）是h（x）的好函数；
（2）（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1]．
【解答】解：（1）函数h（x）的定义域为（0，+∞），则需满足：2x﹣1＞0，解得，
∴函数φ（x）的定义域为，又，
∴函数φ（x）是函数h（x）的好函数；
（2）记函数u（x）的定义域为N，则N＝{x|﹣x2﹣ax+a+1＞0}且N （0，+∞），
∵﹣x2﹣ax+a+1＞0，∴x2+ax﹣a﹣1＜0，∴（x﹣1）（x+a+1）＜0，
由函数的定义知：N为非空数集，故a+1≠﹣1，即a≠﹣2．
当a＜﹣2，N＝（1，﹣a﹣1），显然满足N （0，+∞）；
当a＞﹣2，N＝（﹣a﹣1，1），又N （0，+∞），则﹣a﹣1≥0，解得a≤﹣1，故﹣2＜a≤﹣1，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1]．
21．设函数，若存在实数a，b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
（1）求实数a的范围；
（2）求实数m的取值范围．
【答案】（1）a∈[﹣3，+∞）；
（2）m∈．
【解答】解：（1）由知，f（x）为增函数，由x+3≥0得x≥﹣3，∴a≥﹣3即a∈[﹣3，+∞）；
（2）∵f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴，整理得：，
∴y＝x﹣m与在[﹣3，+∞）上有两个交点，
即x2﹣（2m+1）x+m2﹣3＝0在[﹣3，+∞）上有两个根，且x﹣m≥0恒成立，即m≤﹣3，
∴对于g（x）＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣3，
由题意得，
解得，
即m∈．