2024届人教版八年级数学上册第12章 全等三角形复习与小结 同步课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第12章全等三角形复习与小结
人教版数学八年级上册
全等三角形
1.全等三角形的定义
2.全等三角形的表示方法和有关概念
3.全等三角形的性质及实际应用
三角形全等的判定
1.三边对应相等(SSS)
2.两边及其夹角对应相等(SAS)
3.两角及其夹边对应相等(ASA)
4.两角及其中一角的对边对应相等(AAS)
5.斜边和一条直角边对应相等(HL)
角的平分线
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
知识梳理
知识点一 全等三角形
1.全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
重合的点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
2.全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，记作“△ABC≌△DEF”.
A
B
C
D
E
F
知识梳理
3.全等三角形的性质
知识点一 全等三角形
①对应边相等； ②对应角相等； ③周长相等； ④面积相等；
⑤对应边上的高相等；⑥对应角的平分线相等；⑦对应边上的中线相等.
A
B
C
D
E
F
知识梳理
∵△ABC≌△BAD且点A和点B，点C和点D是对应顶点，
∴ AB=BA，AC=BD，BC=AD.
∵AD=9cm，
∴BC=9cm.
1.△ABC≌△BAD，若点A和点B，点C和点D是对应顶点，如果AB=4cm，BD=6cm，AD=9cm，,那么BC的长是（ ）
A.4cm B.6cm C.9cm D.不能确定
C
课堂检测
解：∵∠A=100°，∠B=30°.
∴∠C=180°-∠A-∠B
=180°-100°-30°=50°.
∵△ABC≌△DEF，
∴∠C=∠F，AB=DE.
∵∠C=50°，DE=9cm，
∴∠F=50°，AB=9cm.
A
D
F
E
B
C
2.如图，△ABC≌△DEF，∠A=100°，∠B=30°，DE=9cm.求∠F的度数和边AB的长度.
课堂检测
课堂检测
3.如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．(1)若∠B=30°，∠F=45°，求∠A的度数；(2)若BF=10，EC=4，求平移的距离．
解：（1）由平移可知△ABC≌△DEF ，
∴∠ACB=∠F=45° ，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.
(2)由平移可知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC-EC=EF-EC，
∴BE=CF=0.5(BF-EC)=3，
∴平移的距离BE为3．
知识点二 三角形全等的判定
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
AC=A′C′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS).
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或者“SSS”）.
A
B
C
A’
B’
C’
符号语言表示：
知识梳理
知识点二 三角形全等的判定
A
B
C
A’
B’
C’
符号语言表示：
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）.
知识梳理
知识点二 三角形全等的判定
A
B
C
A’
B’
C’
符号语言表示：
3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′，
BC=∠B′C′，
∠C=∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
知识梳理
知识点二 三角形全等的判定
A
B
C
A’
B’
C’
符号语言表示：
4.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.
在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).
知识梳理
知识点二 三角形全等的判定
符号语言表示：
A
B
C
B′
A′
┐
┐
C′
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
AC=A′C′，
BC=B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（HL）.
5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或者“HL”） .
知识梳理
证明两个三角形全等的基本类型
已知两边
找第三边“SSS”
找两边的夹角“SAS”
看是否是直角三角形，若是“HL”
已知两角
找两角的夹边“ASA”
找任意一角的对边“AAS”
已知一边
一角
一边和它的邻角
一边和它的对角
找这个角的另外一边“SAS”
找这条边的对角“AAS”
看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL”
找另外任意一个角“AAS”
找这条边的另外一个邻角“ASA”
知识梳理
1.如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：（1）∠C=∠E；
（2）AM=AN．
证明:(1)∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE ，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠C=∠E.
课堂检测
课堂检测
（2）∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D
在△ABM和△ADN中，
∴△ABM≌△AND(ASA)
∴AM=AN.
1.如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：（1）∠C=∠E；
（2）AM=AN．
2.如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.
证明：方法一：在线段AB上截取AF=AC，连接EF.
∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
在△ACE和△AFE中，
AC=AF，
∠1=∠2，
AE=AE，
∴△ACE≌△AFE(SAS).
∴∠5=∠C.
课堂检测
∵AC//BD，
∴∠C+∠D=180°.
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D.
在△EFB和△EDB中，
∠6=∠D，
∠3=∠4，
BE=BE，
∴△EFB≌△EDB(AAS).
∴FB=BD.
∴AB=AF+FB=AC+BD，即AB=AC+BD.
（截长法）
课堂检测
2.如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.
证明：方法二：延长AC至点F，使得AF=AB，连接EF
∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵在△AEF和△AEB中， AF=AB，
∠1=∠2，
AE=AE，
∴△ACE≌△AFE(SAS) ∴EF=EB，∠F=∠3.
课堂检测
2.如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.
∵∠3=∠4， ∴∠F=∠4.
∵AC//BD， ∴∠FCE=∠D.
∵在△CEF和△DEB中， ∠FCE=∠D，
∠F=∠4，
EF=EB，
∴△CEF≌△DEB(AAS) ∴CF=BD.
∵AB=AF=AC+CF， ∴AB=AC+BD.
（补短法）
课堂检测
2.如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.
（1）截长法，即在长线段上截取一段，使其等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；
（2）补短法，即延长短线段，使其延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段，或者延长短线段，使其等于长线段，然后证明延长的部分等于另一短线段.
“倍长中线法”构造全等三角形解决问题：
总结归纳
知识点三 角的平分线
1.作已知角的平分线
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
知识梳理
2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
知识点三 角的平分线
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
符号语言表示：
3.角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言表示：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
知识梳理
课堂检测
1.如图，在四边形ABCD中，BC＝DC，CE⊥AB于E.若∠B＋∠ADC＝180°，求证：AC平分∠BAD．
证明：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF.
在△CBE和△CDF中，
∠B=∠CDF, ∠CEB=∠CFD＝90°,BC=CD,
∴△CBE≌△CDF(AAS)．
∴CF＝CE.
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴AC平分∠BAD.
F
2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF=EF.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠POD=∠POE，DP=EP.
∴∠DPF=∠POD+∠ODP，∠EPF=∠POE+∠OEP.
∴∠DPF=∠EPF.
在△DPF和△EPF中， DP=EP，
∠DPF=∠EPF，
PF=PF，
∴△DPF≌△EPF（SAS）. ∴DF=EF.
O
B
A
C
P
E
D
┐
┐
F
课堂检测
3.如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D．请判断PC与PD的数量关系并说明理由．
解：PC＝PD．理由如下：
如图，过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP＝∠DEP＝90°.
∵∠EOF＝90°，∴∠FPE＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.
由题意知∠CPD＝90°，
∴∠1＋∠FPD＝90°.
∵∠2＋∠FPD＝90°，
∴∠1＝∠2.
在△CFP和△DEP中，∠CFP=∠DEP，PF=PE, ∠1=∠2
∴△CFP≌△DEP(ASA)．
∴PC＝PD．
课堂检测
谢谢聆听