8.2.2函数的实际应用讲义——2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

编号：055 课题: 8.2.2 函数的实际应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握解答函数应用题的操作步骤；
2.掌握应用问题中的变量关系；
3.会利用函数模型解决实际问题；
4.理解并掌握实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
本节重点难点
重点：利用函数模型解决实际问题；
难点：实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
学科素养目标
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
解决函数应用问题的一般程序是：
审题，设未知量；
寻找等量关系；
列出方程；
解方程；
验根或证明；
结论或作答.
【课前基础演练】
题1. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系 (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是____小时 ( )
A.22 B.23 C.24 D.33
题2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
题3．某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：小时)与设置储存温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝3kx＋b(k，b为常数)，若设置储存温度0 ℃的保鲜时间是288小时，设置储存温度5 ℃的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是( )
A．36小时 B．48小时
C．60小时 D．72小时
题4．光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为,那么至少通过____块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下() ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
题5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝0.1(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
题6．因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次．由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面3个折线图中，所有可以反映这种物资每份价格(单位：万元)的变化情况的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③
题7（多选题）．甲乙两人各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y(个)与加工时间x(分)之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20，0)，C点横坐标为128.则下面说法中正确的是( )
A.甲每分钟加工的零件数量是5个
B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．D点的横坐标是200
D．y的最大值是216
题8（多选题）．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则以下四个结论正确的是( )
A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时
B．当x∈[-6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少
C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
题9. 英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却,假设这杯水从开始冷却,x分钟后物体的温度f(x)满足:
.则从开始冷却,经过5分钟时间这杯水的温度是________(单位:℃).
题9．某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，己知服用m(1≤m≤4，m∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中
(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达________小时．
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为________．
题10．某年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只．则经过______天能达到最初的16 000倍(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 16 000≈9.680 3).
题11．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N＋)年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
【课堂检测达标】
题12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡( )
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
题13．心理学家有时使用函数L(t)＝A(1－e－kt)来测定一个人在时间t(min)内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5 min内该学生能够记忆20个单词．则记忆率k所在区间为( )
A． B．
C． D．
题14（多选题）．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是( )
A．y1＝x (1) B．y2＝0.4x C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值
题15(多选题)．据某国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2002年底，人类知识总量为a，假如从2002年底到2012年底是每三年翻一番，从2012年底到2022年底是每一年翻一番，2023年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是
A．2008年底人类知识总量是2a B．2012年底人类知识总量是8a (　 　)
C．2022年底人类知识总量是213a D．2023年底人类知识总量是218a
题16．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸________份．
题17．某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料，瓶子的底面半径是r，高h＝r(单位：cm)，一个瓶子的制造成本是0.8πr2分，已知每出售1 mL(注：1 mL＝1 cm3)的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6 cm.记每瓶饮料的利润为f(r)，则f(3)＝________，其实际意义是____________．
题18．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为230吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本P(年总成本除以年产量)最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，且生产的产品全部售完，那么当年产量为多少吨时，年总利润可以获得最大？最大利润是多少？
题19．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1＝m＋a，y2＝bx(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示．
(1)求函数y1与y2的解析式；
(2)若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【综合突破拔高】
题20. 某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如表所示的关系．
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
销售单价为x元时，才能获得最大日销售利润p元，则x，p分别为( )
A．35，225 B．40，300 C．45，350 D．45，400
题21．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：
(1)如不超过200元，则不予优惠；
(2)如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；
(3)如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500的部分按8折给予优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价格的商品，则应付款( )
A．472.8元 B．510.4元 C．522.8元 D．560.4元
题22．已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N0·(N0表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是( )
(参考数据：log2 3≈1.6，log2 5≈2.3)
A．3440年 B．4010年
C．4580年 D．5160年
题23. 8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)的数据如表
x 8 9 10 11
f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：①f(x)＝bx＋a；②f(x)＝ax2＋bx＋c；③f(x)＝＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2020年12月份的该产品市场平均价( )
A．②，28元/千克
B．①，25元/千克
C．②，23元/千克
D．③，21元/千克
题24．声强级L1(单位：dB)与声强I的函数关系式为：L1＝10lg.若普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级为45 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的( )
A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍
题25(多选题)． “双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；
(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；
(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；
(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是 (　 　)
A．如果购物总额为78元，则应付款为73元 B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
题26(多选题)．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)，乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是 (　 　)
A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋
题27．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/小时．
题28．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
题29．已知14C的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年．(已知log20.767≈－0.4，ln 2≈0.69)
题30．为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元．根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出去的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求y关于x的解析式及其定义域；(2)当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
题31. 小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元.在年产量不足万件时,(万元);在年产量不小于8万件时, (万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商 品当年能全部售完.写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
题32.围建一个面积为360的矩形场地,要求矩形场地的一面利用30 m的旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:m).
分别写出矩形场地的另一边长C(单位:m)、旧墙维修费用P(单位:元)、新墙的造价R(单位:元)、建设矩形场地的总费用L(单位:元)关于利用旧墙的长度x(单位:m)的函数关系式.
题33.运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时,500千米/小时,每千米的运费分别为:20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(m>0),运输的路程为s(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为y1(元),y2(元),y3(元).
(1)请分别写出y1,y2,y3的表达式;
(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.
题34.据调查:人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,2015年,2016年,2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位,6个单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数f(x)=px2+qx+r(其中p,q,r为常数)或函数g(x)=a·bx+c(其中a,b,c为常数),又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好
编号：055 课题: 8.2.2 函数的实际应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握解答函数应用题的操作步骤；
2.掌握应用问题中的变量关系；
3.会利用函数模型解决实际问题；
4.理解并掌握实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
本节重点难点
重点：利用函数模型解决实际问题；
难点：实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
学科素养目标
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
解决函数应用问题的一般程序是：
审题，设未知量；
寻找等量关系；
列出方程；
解方程；
验根或证明；
结论或作答.
【课前基础演练】
题1. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系 (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是____小时 ( )
A.22 B.23 C.24 D.33
【思路导引】可通过整体代入法求解.
【解析】选C.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位: ℃)满足函数关系 (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,所以解得,
所以该食品在33 ℃时的保鲜时间:(小时).
题2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
【解析】选A.设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝，所以从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝·m.
题3．某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：小时)与设置储存温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝3kx＋b(k，b为常数)，若设置储存温度0 ℃的保鲜时间是288小时，设置储存温度5 ℃的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是( )
A．36小时 B．48小时
C．60小时 D．72小时
【解析】选A.由题意可知
所以35k＋b＝35k×3b＝144，所以35k＝，
所以当x＝15时，y＝315k＋b＝315k×3b＝(35k)3×3b＝×288＝×288＝36，故设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是36小时．
题4．光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为,那么至少通过____块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下() ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
【解析】选C.光线经过x块玻璃后,强度变为.由题意,即,
两边同取对数,可得,因为,
所以，因为,所以.
即至少通过14块玻璃.
题5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝0.1(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【解析】选C.因为三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，所以可以看出来不是线性增加，故选项A不符合题意；
对于选项B：把x＝1，2，3分别代入解析式中得y＝0.3，0.8，1.5，不符合题意；
对于选项C：把x＝1，2，3分别代入解析式中得y＝0.2，0.4，0.8，符合题意，
对于选项D：把x＝1代入解析式中，得y＝0.2，把x＝2代入解析式中，得y＝0.2＋log162＝0.45，把x＝3代入解析式中，得y＝0.2＋log163＝0.2＋log23<0.2＋log24＝0.7，跟选项C来比，选项C更近似．
题6．因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次．由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面3个折线图中，所有可以反映这种物资每份价格(单位：万元)的变化情况的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③
【解析】选B.设公司每月1日用于购买某种物资的金额为a万元．
题图①中四次购买的物资为，5月1日一次卖出物资得到，公司盈利，故①正确；
题图②中四次购买的物资为，5月1日一次卖出物资得到，公司亏损，故②错误；
题图③中四次购买的物资为，5月1日一次卖出物资得到，公司盈利，故③正确．
题7（多选题）．甲乙两人各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y(个)与加工时间x(分)之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20，0)，C点横坐标为128.则下面说法中正确的是( )
A.甲每分钟加工的零件数量是5个
B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．D点的横坐标是200
D．y的最大值是216
【解析】选ACD.根据题意，甲一共加工的时间为(12－0)＋(128－20)＝120分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是＝5(个)，所以选项A正确；
设D的坐标为(t，0)，在区间(128，t)和(12，20)上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO＝∠CDB，在区间(20，128)和(0，12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB＝∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有，解得t＝200，即点D的坐标是(200，0)，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为＝3个，所以甲每分钟比乙多加工5－3＝2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了(60－20)×2＝80(个)零件，所以选项B错误；
当x＝128时，y＝(128－20)×2＝216，所以y的最大值是216，所以选项D正确．
题8（多选题）．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则以下四个结论正确的是( )
A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时
B．当x∈[-6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少
C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
【解析】选AD.因为食品的保鲜时间t与储藏温度x满足函数关系式且该食品在4 ℃时保鲜时间是16小时．
所以24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－.
所以.
A．当x＝6时，t＝8，所以该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时，故A正确；
B．当x∈[－6，0)时，时间t不变，故B错误；
C．由图象可知，当到此日12小时，温度超过12度，此时的保鲜时间不超过1小时，所以到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误；D由C知，D正确．
题9. 英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却,假设这杯水从开始冷却,x分钟后物体的温度f(x)满足:
.则从开始冷却,经过5分钟时间这杯水的温度是________(单位:℃).
【思路导引】代入数据,利用对数恒等式运算.
【解析】.
答案:
题9．某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，己知服用m(1≤m≤4，m∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中
(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达________小时．
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为________．
【解析】(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以
当0≤x<6时，＝3>2，当6≤x≤8时，令≥2，解得x≤，
所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以
此时＝2，8－x≤8－6＝2，所以治疗时间末端为第6小时结束，
因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，
所以6≤x≤8，所以y＝，
所以8－x＋≥2对于任意x∈[6，8]恒成立，所以m≥ 对于任意x∈[6，8]恒成立，
设g(x)＝，x∈[6，8]，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，
所以g(x)在[6，8]上单调递增，所以g(x)max＝g(8)＝，故m≥，
所以m的最小值为.
答案：
题10．某年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只．则经过______天能达到最初的16 000倍(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 16 000≈9.680 3).
【解析】设过x天能达到最初的16 000倍，
由已知N0(1＋0.05)x＝16 000N0，
即1.05x＝16 000，所以x＝≈198.4，
又x∈N，所以过199天能达到最初的16 000倍．
答案：199
题11．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N＋)年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
【解析】(1)由题意得：f(n)＝55n－90－＝－n2＋50n－90.
由f(n)＞0，得－n2＋50n－90＞0，即n2－20n＋36＜0，解得2＜n＜18.
由于n∈N＋，故该企业从第3年开始盈利；
(2)方案一：总盈利额f(n)＝－(n－10)2＋160，当n＝10时，f(n)max＝160.
故方案一总利润160＋10＝170，此时n＝10；
方案二：每年平均利润＝20，当且仅当n＝6时等号成立．
故方案二总利润6×20＋50＝170，此时n＝6.
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．
【课堂检测达标】
题12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡( )
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
【解析】选B.水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时，y有最小值，
此时共放水34×＝289(升)，≈4.4，故至多可供4人洗澡．
题13．心理学家有时使用函数L(t)＝A(1－e－kt)来测定一个人在时间t(min)内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5 min内该学生能够记忆20个单词．则记忆率k所在区间为( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.将A＝200，t＝5，L＝20代入L(t)＝A(1－e－kt)，
则e－5k＝，其中y＝e－5x单调递减，而，
而y＝x－4在(0，＋∞)上单调递减，
所以，结合单调性可知，，即，
由e－5×0＝e0＝1> ，其中y＝e－5x为连续函数，
故记忆率k所在区间为 .
题14（多选题）．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是( )
A．y1＝x (1) B．y2＝0.4x C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值
【解析】选BCD.对A，设y1＝，由题意知：函数过点(10,4)，即k1＝10，所以y1＝，故A错误；
对B，y2＝k2x，，由题意得：函数过点(10,4)，即4＝10k2，解得k2＝0.4，所以y2＝0.4x，，故B正确；
对C，y1＋y2＝＝4，当且仅当＝0.4x，即x＝5时等号成立，故C正确；
对D，因为y1－y2＝－0.4x在(0,+∞)上单调递减，故y1－y2无最小值，故D正确．
题15(多选题)．据某国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2002年底，人类知识总量为a，假如从2002年底到2012年底是每三年翻一番，从2012年底到2022年底是每一年翻一番，2023年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是
A．2008年底人类知识总量是2a B．2012年底人类知识总量是8a (　 　)
C．2022年底人类知识总量是213a D．2023年底人类知识总量是218a
【解析】选BCD.选项A：2008年底人类知识总量为a×2×2＝4a，故A错误，
选项B：2012年底人类知识总量为a×2×2×2＝8a，故B正确，
选项C：2022年底人类知识总量为8a×210＝213a，故C正确，
选项D：2023年底人类知识总量为213a×25＝218a，故D正确．
题16．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸________份．
【解析】设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表．
项目 数量/份 单价/元 金额/元
买进 30x 2 60x
卖出 20x＋10×250 3 60x＋7 500
退回 10(x－250) 0.8 8x－2 000
则推销员每月所获得的利润y＝[(60x＋7 500)＋(8x－2 000)]－60x＝8x＋5500(250≤x≤400，x∈N)
又由y＝8x＋5 500在[250，400]上单调递增，
所以当x＝400时，y取得最大值8 700.
答案：400
题17．某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料，瓶子的底面半径是r，高h＝r(单位：cm)，一个瓶子的制造成本是0.8πr2分，已知每出售1 mL(注：1 mL＝1 cm3)的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6 cm.记每瓶饮料的利润为f(r)，则f(3)＝________，其实际意义是____________．
【解析】f(r)＝0.2·πr2·r－0.8πr2＝－0.8πr2(0＜r≤6)，
故f(3)＝7.2 π－7.2 π＝0.
表示当瓶子底面半径为3 cm时，利润为0.
答案：0 当瓶子底面半径为3 cm时，利润为0
题18．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为230吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本P(年总成本除以年产量)最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，且生产的产品全部售完，那么当年产量为多少吨时，年总利润可以获得最大？最大利润是多少？
【解析】(1)y＝－48x＋8 000，0＜x≤230.
所以P＝＝32，当且仅当x＝200时取等号．
所以年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本P最低，最低成本为32万元．
(2)设利润为z万元，
则z＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－x2＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680，
即年产量为220吨时，利润最大为1 680万元．
题19．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1＝m＋a，y2＝bx(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示．
(1)求函数y1与y2的解析式；
(2)若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【解析】(1)由题意解得m＝2，a＝－2，故y1＝2－2.
又由题意8b＝4得b＝，故y2＝x.
(2)设销售甲商品投入资金x万元，利润为y万元，则乙投入(10－x)万元．
由(1)得y＝2－2＋＝2－x＋3，0≤x≤10.
令＝t，则1≤t≤且x＝t2－1，
故y＝2t－＋3＝－t2＋2t＋＝－(t－2)2＋，1≤t≤，
当t＝2即x＝3时，y取最大值.
答：该商场所获利润的最大值为万元．
【综合突破拔高】
题20. 某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如表所示的关系．
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
销售单价为x元时，才能获得最大日销售利润p元，则x，p分别为( )
A．35，225 B．40，300 C．45，350 D．45，400
【解析】选B.由表格可知，x与y满足一次函数关系，设y＝ax＋b(a≠0)，把点(30，60)和点(40，30)代入得： 解得
所以y＝－3x＋150 (x≥30)，所以销售利润p＝y(x－30)＝－3x2＋240x－4 500(x≥30)，所以当x＝40时，p的值最大，最大值为300.
题21．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：
(1)如不超过200元，则不予优惠；
(2)如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；
(3)如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500的部分按8折给予优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价格的商品，则应付款( )
A．472.8元 B．510.4元 C．522.8元 D．560.4元
【解析】选D.购物500元应付款500×0.9＝450(元)，
设第二次购物的原价为a，则200＜a＜500，故0.9a＝423，解得a＝470.
故两次购物原价为168＋470＝638(元).
若一次购物638元，则应付款500×0.9＋138×0.8＝560.4(元).
题22．已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N0·(N0表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是( )
(参考数据：log2 3≈1.6，log2 5≈2.3)
A．3440年 B．4010年
C．4580年 D．5160年
【解析】选B.由题意，可得0.6N0＝N0·，
即＝0.6＝5 (3)，两边取以2为底数的对数，
可得＝log23－log25≈1.6－2.3＝－0.7，
所以t≈0.7×5730＝4011年．
题23. 8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)的数据如表
x 8 9 10 11
f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：①f(x)＝bx＋a；②f(x)＝ax2＋bx＋c；③f(x)＝＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2020年12月份的该产品市场平均价( )
A．②，28元/千克
B．①，25元/千克
C．②，23元/千克
D．③，21元/千克
【解析】选A.因为f(x)的值随x的值先增后减，所以选f(x)＝ax2＋bx＋c最合适．
第二组数据近似为(9，34)，第四组近似为(11，34)，得f(x)图象的对称轴为x＝10，
故f(12)＝f(8)＝28.
题24．声强级L1(单位：dB)与声强I的函数关系式为：L1＝10lg.若普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级为45 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的( )
A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍
【解析】选B.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，
因为普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级为45 dB，
所以95＝10lg，45＝10lg，
95＝10lg＝10，解得－2.5＝lg I1，
所以I1＝10－2.5，45＝10lg ＝10，解得－7.5＝lg I2，所以I2＝10－7.5，
两式相除得＝105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍．
题25(多选题)． “双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；
(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；
(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；
(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是 (　 　)
A．如果购物总额为78元，则应付款为73元 B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
【解析】选ABD.如果购物总额为78元，满足超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券，则应付款为73元，故A正确；如果购物总额为228元，超过100元但不超过300元，则应付款为228×0.9＝205.2元，故B正确；如果购物总额为368元，购物总额超过300元，则应付款为300×0.9＋68×0.8＝324.4元，故C错误；如果购物时一次性全部付款442.8元，说明购物总额超过300元，设购物总额为x元，则300×0.9＋(x－300)×0.8＝442.8，解得x＝516元，故D正确．
题26(多选题)．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)，乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是 (　 　)
A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋
【解析】选ABD.对于选项A：由图可知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为＝0.5(元)，所以选项A正确，对于选项B：设甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝kx＋b(k≠0)，
则解得所以y1＝0.5x＋1，所以选项B正确，
对于选项C：由图象可知，当印制证书数量超过6千个时，乙厂费用少于甲厂费用，
所以若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费用，所以选项C错误，
对于选项D：当印制证书数量超过2千个时，
设乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝ax＋c(a≠0)，代入点(2，3)和点(6，4)得
解得所以y2＝x＋，所以选项D正确．
题27．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/小时．
【解析】(1)F＝
因为＝22，当v＝11时分母取最小值，所以F＝≤1 900，故最大车流量为：1 900辆/小时；
(2)F＝，因为，所以F≤2 000，2 000－1 900＝100(辆/小时)，故最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．
答案：(1)1 900 (2)100
题28．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝，所以k＝2ln 2，
所以y＝．当t＝5时，y＝＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
答案：1 024
题29．已知14C的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年．(已知log20.767≈－0.4，ln 2≈0.69)
【解析】由题意可知，当x＝5 730时ae－5 730k＝a，解得k＝.
现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.
所以76.7%＝，得ln 0.767＝－x，
x＝－5 730×＝－5 730×log20.767≈2 292.
答案：2 292
题30．为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元．根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出去的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求y关于x的解析式及其定义域；(2)当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解析】(1)当x≤5时，y＝60x－120，令60x－120>0，得x>2，因为x∈，所以3≤x≤5(x∈).
当x>5时，y＝[60－2(x－5)]x－120＝－2x2＋70x－120，令－2x2＋70x－120>0，即x2－35x＋60<0，
上述不等式的整数解为2≤x≤33(x∈N*)，所以5综上，y＝
(2)对于y＝60x－120，3≤x≤5，x∈，显然当x＝5时，ymax＝180.
对于y＝－2x2＋70x－120＝，5180，所以当每辆电动观光车的日租金为17元或18元时，才能使一日的净收入最多．
题31. 小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元.在年产量不足万件时,(万元);在年产量不小于8万件时, (万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商 品当年能全部售完.写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
【解析】因为每件产品售价为5元,则x万件产品的销售收入为5x万元,依题意得:
当0当x≥8时,.
所以
题32.围建一个面积为360的矩形场地,要求矩形场地的一面利用30 m的旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:m).
分别写出矩形场地的另一边长C(单位:m)、旧墙维修费用P(单位:元)、新墙的造价R(单位:元)、建设矩形场地的总费用L(单位:元)关于利用旧墙的长度x(单位:m)的函数关系式.
【解析】矩形场地的另一边长C与利用的旧墙的长度x的关系式为.
旧墙的维修费用P与利用的旧墙的长度x的关系式为.
新墙的造价R与利用的旧墙的长度x的关系式为
总的建造费用L与利用的旧墙的长度x的关系式为
题33.运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时,500千米/小时,每千米的运费分别为:20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(m>0),运输的路程为s(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为y1(元),y2(元),y3(元).
(1)请分别写出y1,y2,y3的表达式;
(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.
【思路导引】(1)运输总费用=每千米的费用×.
(2)利用y1,y2,y3的表达式比较费用的大小.
【解析】(1).
(2)因为m>0,s>0,故20s>10s, ，
所以y1>y2恒成立,故只需比较y2与y3的大小关系即可,
令，
故当，即时,f(s)>0,
即y2当，即时,f(s)<0,
即y2>y3,此时选择飞机运输费用最省;
当，即时,f(s)=0,
即y2=y3,此时选择火车或飞机运输费用最省.
题34.据调查:人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,2015年,2016年,2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位,6个单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数f(x)=px2+qx+r(其中p,q,r为常数)或函数g(x)=a·bx+c(其中a,b,c为常数),又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好
【思路导引】首先根据已知条件确定两个模拟函数的解析式,再利用2018年的测量值检验模拟效果.
【解析】若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数,
则依题意得:解得所以.
若以作模拟函数,
则解得所以.
利用f(x),g(x)对2018年CO2浓度作估算,则其数值分别为:
f(4)=10个单位,g(4)=10.5个单位,因为|f(4)-16.5|>|g(4)-16.5|,
所以作模拟函数与2018年的实际数据较为接近,故用作模拟函数较好.
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