3.4整式的加减【素养基础达标】2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含解析）

3.4整式的加减【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
二、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
注意：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
（1）合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
（2）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
整式的加减实质上就是合并同类项．
6．整式的加减—化简求值：
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能与合并同类项的是　　
A． B． C． D．
2．下列各算式中，从左到右变形正确的是　　
A． B．
C． D．
3．若与是同类项，则的值为　　
A．1 B．5 C．6 D．
4．下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
5．下列各项中，去括号正确的是　　
A． B．
C． D．
6．多项式的值与字母的取值无关，则的值是　　
A． B． C． D．7
7．如果多项式中不含项，则的值为　　
A．2或 B． C．0 D．2
8．已知，，则下列说法正确的是　　
A． B．
C．、可能相等 D．、大小不能确定
9．已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是　　
①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等；
②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．下列计算，结果正确的是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．下列计算正确的是：　　．
①；
②；
③；
④．
12．已知：，，若的值与的取值无关，则的值为 　　．
13．若关于，的多项式与的差的值与字母的取值无关，则　　．
14．有三堆棋子，数目相等，每堆至少有5枚，从左堆中取出4枚放入中堆，从右堆中取出5枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是 　　．
15．某居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费 　　元．
16．若与是同类项，则　 　，　 　．
17．已知，为两个整式，其中，，且的结果中不含项，则的值为 　　．
18．已知，，，则代数式的值为 　　．
三．解答题（共8小题）
19．材料一：若一个四位数的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数为“差2数”．
例如：，，且，是“差2数”．
又如：，，不是“差2数”．
材料二：若一个四位数的各个数位数字成比例，则这个四位数为“成比例数”．
例如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，为“成比例数”．
又如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，4，，不是“成比例数”．
（1）1735是“差2数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由；
（2）若一个四位数既是“差2数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的．
20．“计算的值，其中，”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的最后结果，与其他同学的正确结果都一样．试说明理由，并求出这个结果
21．小琦同学在自习课准备完成以下题目时：
化简□发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成2，请你化简；
（2）老师见到说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”，请你通过计算说明原题中“□”是几．
22．先化简，再求值：．其中，，．
23．在整式的加减练习课中，已知，嘉淇错将“”看成“”，得到的结果是．请你解决下列问题．
（1）求整式；
（2）若为最大的负整数，为的倒数，求该题的正确值．
24．化简：
（1）；
（2）．
25．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
【知识运用】
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）
①当时，　　；②若，则　　；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
【拓展运用】
（3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进：乙班有一半叶间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，．
①试用含，，的代数式分别表示和，则　　，　　．
②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．
26．先化简，再求值：，其中，．
3.4整式的加减【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
二、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
注意：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
（1）合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
（2）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
整式的加减实质上就是合并同类项．
6．整式的加减—化简求值：
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能与合并同类项的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，判断即可．
【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
、与是同类项，能合并，故符合题意；
、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
故选：．
2．下列各算式中，从左到右变形正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】依据添括号法则进行解答即可．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
【解答】解：．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
3．若与是同类项，则的值为　　
A．1 B．5 C．6 D．
【答案】
【分析】根据同类项的定义，得到关于、的等式，然后求出、的值并计算即可得到答案．
【解答】解：由同类项的概念可知：，，
解得：，，
，
故选：．
4．下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别运用积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘和同底数幂除法进行逐一计算、辨别．
【解答】解：，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
故选：．
5．下列各项中，去括号正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据去括号法则，逐一进行判断即可．
【解答】解：、，选项错误，不符合题意；
、，选项错误，不符合题意；
、，选项错误，不符合题意；
、，选项正确，符合题意．
故选：．
6．多项式的值与字母的取值无关，则的值是　　
A． B． C． D．7
【答案】
【分析】去括号、合并同类项，令含的项的系数为0，即可解出、的值，再代入所求式子运算即可．
【解答】解：
，
多项式的值与字母的取值无关，
，，
解得：，，
．
故选：．
7．如果多项式中不含项，则的值为　　
A．2或 B． C．0 D．2
【答案】
【分析】根据合并同类项法则将原式化为，再令项的系数为0即可．
【解答】解：多项式，由于不含项，
，
，
故选：．
8．已知，，则下列说法正确的是　　
A． B．
C．、可能相等 D．、大小不能确定
【答案】
【分析】根据，进而判断即可．
【解答】解：，
，
故选：．
9．已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是　　
①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等；
②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解：①，
故①正确；
②，
则，添绝对值变为16，则之和为0，
②正确；③
③，
可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化，
列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种，
故③正确，
故选：．
10．下列计算，结果正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得到答案．
【解答】解：．，计算错误，不符合题意；
．与不是同类项，计算错误，不符合题意；
．，计算正确，符合题意；
．与不是同类项，计算错误，不符合题意；
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．下列计算正确的是：　③④　．
①；
②；
③；
④．
【答案】③④．
【分析】根据合并同类项的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：①不能合并，故错误，不符合题意；
②不能合并，故错误，不符合题意；
③，计算正确，符合题意；
④，计算正确，符合题意；
故答案为：③④．
12．已知：，，若的值与的取值无关，则的值为 　7　．
【答案】7．
【分析】先化简，然后根据多项式的值与字母取值无关，可知的系数为0，从而可以求得的值．
【解答】解：，，
，
多项式的值与字母取值无关，
，得，
即的值是7．
故答案为：7．
13．若关于，的多项式与的差的值与字母的取值无关，则　3　．
【答案】3．
【分析】先算，然后根据多项式与的差的值与字母的取值无关，即可求得、的值．
【解答】解：
，
多项式与的差的值与字母的取值无关，
，，
解得，，
故答案为：3．
14．有三堆棋子，数目相等，每堆至少有5枚，从左堆中取出4枚放入中堆，从右堆中取出5枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是 　13枚　．
【答案】13枚．
【分析】根据题意，可以用代数式表示出最后中堆棋子的枚数，然后化简，即可解答本题．
【解答】解：设原来每堆的棋子有枚，
则最后的中堆棋子有：（枚，
故答案为：13枚．
15．某居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费 　　元．
【答案】．
【分析】根据所给的收费标准进行求解即可．
【解答】解：由题意得，该区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费
元．
故答案为：．
16．若与是同类项，则　5　，　 　．
【分析】利用同类项的定义求出与的值即可．
【解答】解：与是同类项，
，，
解得：，．
故答案为：5；1．
17．已知，为两个整式，其中，，且的结果中不含项，则的值为 　2　．
【答案】2．
【分析】先合并同类项，根据结果中不含项，得到项的系数为0，进行计算即可．
【解答】解：，，
；
结果中不含项，
，
；
故答案为：2．
18．已知，，，则代数式的值为 　　．
【答案】．
【分析】去括号、合并同类项化简后，再将条件化为，，整体代入计算即可．
【解答】解：原式
，
由，，可得，，，
所以原式
．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．材料一：若一个四位数的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数为“差2数”．
例如：，，且，是“差2数”．
又如：，，不是“差2数”．
材料二：若一个四位数的各个数位数字成比例，则这个四位数为“成比例数”．
例如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，为“成比例数”．
又如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，4，，不是“成比例数”．
（1）1735是“差2数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由；
（2）若一个四位数既是“差2数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的．
【答案】（1）是“差2数”，不是“成比例数”，理由见详解；
（2）3355、5533、3553、5335．
【分析】（1）根据“差2数”和“成比例数”的定义直接判断即可；
（2）设有四个小于10的正整数：、、、，且，即、、、的平均数为4，结合“差2数”和“成比例数”的特点，设、、、满足，当，时，可得，即有，，此时依据“成比例数”的定义判断即可；当，时，可得，即有，，则，，此时依据“成比例数”的定义判断即可作答，问题随之得解．
【解答】解：（1），且，
是“差2数”，
各个数位数字由小到大排列后为1，3，5，7，
且，
不是“成比例数”；
（2）设有四个小于10的正整数：、、、，
且，
即、、、的平均数为4，
显然当时，组成的数字4444不是“差2数”，
当、、、，有三个数大于4时，这四个是必为：5、5、5、1，
则5、5、5、1组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”；
当、、、，有三个数小于4时，这四个是必为：3、3、3、7，
则3、3、3、7组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”；
结合“差2数”和“成比例数”的特点，
设、、、满足，
当，时，
，
，
，
，，
，，
将、、、从小达到排列为1，3，5，7，且，
，3，5，7，无法组成“成比例数”，故此种情况舍去；
当，时，
，
，
，
，，
，，
得到四个数字：3、3、5、5，组成的数字必定是“成比例数”，
此时可以组成的“差2数”有：3355、5533、3553、5335；
综上：满足条件的有：3355、5533、3553、5335．
20．“计算的值，其中，”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的最后结果，与其他同学的正确结果都一样．试说明理由，并求出这个结果
【分析】先去括号，合并同类项化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
由结果可知：化简结果与无关，所以答案一样，
所以原式．
21．小琦同学在自习课准备完成以下题目时：
化简□发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成2，请你化简；
（2）老师见到说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”，请你通过计算说明原题中“□”是几．
【答案】（1）；
（2）5．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）结果为常数，则其他项的系数为0，据此可求解．
【解答】解：（1）
；
（2）设“□”是，则有：
，
答案的结果是常数，
，
解得：，
即“□”．
22．先化简，再求值：．其中，，．
【答案】，12．
【分析】先将原式去括号，再合并同类项，然后将代入计算即可．
【解答】解：
，
，
原式．
23．在整式的加减练习课中，已知，嘉淇错将“”看成“”，得到的结果是．请你解决下列问题．
（1）求整式；
（2）若为最大的负整数，为的倒数，求该题的正确值．
【答案】（1）；
（2），4．
【分析】（1）直接用即可得到答案；
（2）先求出，再求出、的值，最后代值计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
；
（2），，
，
为最大的负整数，为的倒数，
，，
原式．
24．化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先把同类型放在一起，然后合并同类项即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
25．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
【知识运用】
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）
①当时，　　；②若，则　　；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
【拓展运用】
（3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进：乙班有一半叶间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，．
①试用含，，的代数式分别表示和，则　　，　　．
②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．
【答案】（1）①；②；
（2）；
（3）①，；②当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到，理由见解析．
【分析】（1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解；
（2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解；
（3）①根据行程问题的数量关系即可求解；②根据“作差法“，整式的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）①，
，
，
；
②，
，
，，
，
；
故答案为：（1）①；②；
（2）．理由如下：
，
，
；
（3）路程为，
①甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进，
，
乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进，
，则，
故答案为：，；
②，，
，
，，，
，
当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到．
26．先化简，再求值：，其中，．
【答案】2．
【分析】原式去括号合并同类项得到最简代数式，把与的值代入计算即可求出值
【解答】解：
；
当，时，
原式
．