5.2求解一元一次方程【素养基础达标】 2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含解析）

5.2求解一元一次方程【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
4一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
5一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
7同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若，则关于的方程的解的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．解方程需下列四步，其中开始发生错误的一步是　　
A．去分母，得 B．去括号，得
C．移项，得 D．合并同类项，得
3．关于的方程的解是的解的2倍，则的值为　　
A． B． C． D．
4．若关于的方程的解为正整数，则所有符合条件的整数的和为　　
A．0 B．3 C． D．
5．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是（其中和是含有的代数式），则下列结论符合条件的是　　
A．， B．， C．， D．，
6．下列变形正确的是　　
A．由，移项得
B．由，去分母得
C．由，去括号得
D．把中的分母化为整数得
7．解方程，去分母正确的是　　
A． B．
C． D．
8．解方程 “去分母”后变形正确的是　　
A． B．
C． D．
9．解方程时，去分母正确的是　　
A． B． C． D．
10．方程的解是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．是一元一次方程的解，则的值等于 　　．
12．下列关于的方程结论：其中结论正确的是 　　．
①若，则关于的方程的解为；
②若，且，则方程的解是；
③若有唯一的解，则；
④若，且，则一定是方程的解．
13．如果关于的方程的解是，那么的值是 　　．
14．若关于的方程的解是，则的值为 　　．
15．小明做题时发现有一个方程“”题中■处不清晰，于是问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与的解相同．”依据老师的提示，请你帮小明找到“■”这个有理数，则■　　．
16．已知是方程的解，则　　．
17．已知关于的方程的解是，则的值为 　　．
18．已知是方程的解，则　　．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：．
20．以下是欣欣解方程：的解答过程：
解：去分母，得；①
去括号：；②
移项，合并同类项得：；③
解得：．④
（1）欣欣的解答过程在第几步开始出错？（请写序号即可）
（2）请你完成正确的解答过程．
21．解方程：．
22．解下列方程：
（1）；
（2）．
23．解方程：．
24．解方程：．
25．解方程：
（1）；
（2）．
26．解方程：．
5.2求解一元一次方程【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
4一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
5一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
7同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若，则关于的方程的解的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把看作已知数求出方程的解得到的值，将代入计算即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
2．解方程需下列四步，其中开始发生错误的一步是　　
A．去分母，得 B．去括号，得
C．移项，得 D．合并同类项，得
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，据此逐项判断，判断出开始发生错误的一步是哪步即可．
【解答】解：去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
解方程需下列四步，其中开始发生错误的一步是：移项，得．
故选：．
3．关于的方程的解是的解的2倍，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【解答】解：方程，
解得：，
方程，
解得：，
根据题意得：，
解得：．
故选：．
4．若关于的方程的解为正整数，则所有符合条件的整数的和为　　
A．0 B．3 C． D．
【答案】
【分析】先用含的式子表示出一元一次方程的解，再根据方程的解为正整数即可求解．
【解答】解：，
两边同时乘以6得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
方程的解为正整数，
①，则；
②，则；
③，则，
④，则；
所有符合条件的整数的和为：，
故选：．
5．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是（其中和是含有的代数式），则下列结论符合条件的是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案．
【解答】解：，得到，
的解为，
方程的解是，
，，
故选：．
6．下列变形正确的是　　
A．由，移项得
B．由，去分母得
C．由，去括号得
D．把中的分母化为整数得
【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、由，移项得：，不符合题意；
、由，去分母得：，不符合题意；
、由，去括号得：，不符合题意；
、把中的分母化为整数得，符合题意，
故选：．
7．解方程，去分母正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据等式的性质去分母解决此题．
【解答】解：，去分母得．
故选：．
8．解方程 “去分母”后变形正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】去分母的方法是方程两边同时乘各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．
【解答】解：方程两边同时乘以6得：，
去括号得：．
故选：．
9．解方程时，去分母正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．
【解答】解：，
去分母，方程两边同乘15得：
，
故选：．
10．方程的解是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案．
【解答】解：去分母得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．是一元一次方程的解，则的值等于 　0　．
【答案】0．
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得．
故答案为：0．
12．下列关于的方程结论：其中结论正确的是 　②③④　．
①若，则关于的方程的解为；
②若，且，则方程的解是；
③若有唯一的解，则；
④若，且，则一定是方程的解．
【答案】②③④．
【分析】使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，由此即可判断．
【解答】解：①若，时，则关于的方程的解为，故①不符合题意；
②若，且，则方程的解是，正确，故②符合题意；
③若有唯一的解，则，正确，故③符合题意；
④若，且，则一定是方程的解，正确，故④符合题意．
由此正确的是②③④．
故答案为：②③④．
13．如果关于的方程的解是，那么的值是 　2　．
【答案】2．
【分析】根据已知方程的解为，将代入方程求出的值即可．
【解答】解：将代入方程得：，
解得：，
故答案为：2．
14．若关于的方程的解是，则的值为 　3　．
【答案】3．
【分析】把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程，得，
解得，
故答案为：3．
15．小明做题时发现有一个方程“”题中■处不清晰，于是问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与的解相同．”依据老师的提示，请你帮小明找到“■”这个有理数，则■　5　．
【答案】5．
【分析】解，得出，代入原方程，设■，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【解答】解：，
解得：，
将，代入，设■，
则，
解得：，
故答案为：5．
16．已知是方程的解，则　　．
【答案】．
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【解答】解：将代入原方程得：，
解得：．
故答案为：．
17．已知关于的方程的解是，则的值为 　2　．
【答案】2．
【分析】直接把的值代入方程求出答案．
【解答】解：关于的方程的解是，
，
解得：．
故答案为：2．
18．已知是方程的解，则　2　．
【答案】2．
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【解答】解：将代入原方程得：，
解得：．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：．
【分析】先去括号，再移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
20．以下是欣欣解方程：的解答过程：
解：去分母，得；①
去括号：；②
移项，合并同类项得：；③
解得：．④
（1）欣欣的解答过程在第几步开始出错？（请写序号即可）
（2）请你完成正确的解答过程．
【答案】（1）步骤①；（2）见解析．
【分析】（1）出现错误的步骤是第一步去分母，原因是各项都要乘以最简公分母；
（2）写出正确解答过程即可．
【解答】解：（1）步骤①；
（2）去分母，得；
去括号：；
移项，合并同类项得：；
解得：．
21．解方程：．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
22．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：（1），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得；
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
23．解方程：．
【答案】．
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1的顺序进行计算求解．
【解答】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
24．解方程：．
【答案】．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
25．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），（2）．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
26．解方程：．
【答案】．
【分析】利用去分母，移项，合并同类项，系数化为1，解一元一次方程即可．
【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．