4.3角【素养基础达标】2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含解析）

4.3角【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
4角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
5角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．图中能用一个大写字母表示的角有　　个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法：
①射线与射线是同一条射线；
②连接两点之间的线段叫两点间的距离；
③若，则点是的中点；
④角的大小与角的两边的长短有关．
正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．0
3．如图，若，则射线表示为　　
A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西
4．如图，下列说法中错误的是　　
A．方向是北偏东 B．方向是北偏西
C．方向是南偏西 D．方向是东南方向
5．一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为　　
A．向北偏西方向航行4海里
B．向南偏西方向航行3海里
C．向北偏西方向航行4海里
D．向东偏北方向航行3海里
6．如图，已知，用尺规在射线下边作出了，作图痕迹中，弧是　　
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
7．，两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的　　
A．南偏东方向 B．南偏东方向
C．南偏西方向 D．东偏南方向
8．如图，下列说法正确的是　　
A．与表示同一个角 B．
C．与表示同一个角 D．图中只有两个角，即和
9．轮船在航行过程中，灯塔在轮船的北偏东方向上，此时灯塔在轮船的东南方向上，则钝角的度数是　　
A． B． C． D．
10．下列说法正确的个数是　　
①的系数是；
②若，互为倒数，则；
③两点之间的线段叫两点之间的距离；
④多项式是二次三项式；
⑤若，，则有．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二．填空题（共8小题）
11．将用度、分、秒表示为　　．
12．如图，点在点的北偏东方向上，点在射线上，若，那么射线的方向是　　．
13．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，若，则处在处的北偏东　　度方向．
14．在如图所示方位角中，射线表示的方向是　　．
15．计算：　　．
16．如图，直线经过点，射线是北偏东方向，则射线的方位角是 　　．
17．如图，点在点的北偏西的方向上，点在点的东北方向上，则的度数是 　　．
18．计算：　　．
三．解答题（共8小题）
19．尺规作图：
已知：．
求作：，使．
20．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图：
①在的两边上分别任取一点、；
②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点；
③连结、．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连结，
在和中，
　　，
　　（填推理依据），
　　（填推理依据）．
21．如图，点为的边上的一点，过点作直线．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，已知线段，．射线．
实践与操作：在射线上作线段，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
推理与探究：若线段的中点是点，线段的中点是点．请在上图中标出点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由．
23．计算题：
①；
②．
24．如图，在三角形中，，利用尺规在的内部作，使得，射线交于点．（不写作法，但保留作图痕迹）
25．计算：
（1）；
（2）．
26．如图，已知点在的边上，且，
（1）用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并写出证明过程．
4.3角【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
4角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
5角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．图中能用一个大写字母表示的角有　　个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据角的表示方法，可得答案．
【解答】解：可以只用一个大写字母表示的角有，．
故选：．
2．下列说法：
①射线与射线是同一条射线；
②连接两点之间的线段叫两点间的距离；
③若，则点是的中点；
④角的大小与角的两边的长短有关．
正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】
【分析】本题考查射线，线段，角的概念
【解答】解：选项：射线是以为端点通过点的射线，射线是以为端点通过点的射线，故不符合题意；
选项：连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，故不符合题意；
选项：若，则有两种情况，当点在点和点内部时，点是的中点；当点在点和点外部时，点就不是的中点，故不符合题意；
选项：角的两边由两条射线组成，射线不能测量，故不符合题意；
故答案选：．
3．如图，若，则射线表示为　　
A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西
【答案】
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可判断．
【解答】解：若，则射线表示为：南偏东．
故选：．
4．如图，下列说法中错误的是　　
A．方向是北偏东 B．方向是北偏西
C．方向是南偏西 D．方向是东南方向
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南偏东（西多少度．根据定义就可以解决．
【解答】解：、方向是北偏东，此选项错误；
、方向是北偏西，此选项正确；
、方向是南偏西，此选项正确；
、方向是东南方向，此选项正确．
错误的只有．
故选：．
5．一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为　　
A．向北偏西方向航行4海里
B．向南偏西方向航行3海里
C．向北偏西方向航行4海里
D．向东偏北方向航行3海里
【答案】
【分析】根据方向角的定义进行判断即可．
【解答】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西方向航行4海里，
故选：．
6．如图，已知，用尺规在射线下边作出了，作图痕迹中，弧是　　
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
【答案】
【分析】利用作一个角等于已知角的方法进行判的．
【解答】解：弧是以点为圆心，为半径所画的弧．
故选：．
7．，两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的　　
A．南偏东方向 B．南偏东方向
C．南偏西方向 D．东偏南方向
【答案】
【分析】利用平角减去与的和进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
地在灯塔的南偏东方向，
故选：．
8．如图，下列说法正确的是　　
A．与表示同一个角 B．
C．与表示同一个角 D．图中只有两个角，即和
【答案】
【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点来表示，由此可得结论．
【解答】解：．与表示同一个角，该选项正确，故符合题意；
．不一定成立，该选项错误，故不符合题意；
．与表示同一个角，该选项错误，故不符合题意；
．图中有三个角，分别为、和，该选项错误，故不符合题意．
故选：．
9．轮船在航行过程中，灯塔在轮船的北偏东方向上，此时灯塔在轮船的东南方向上，则钝角的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意得到，，再根据角的和差即可得到结果．
【解答】解：如图，
由题意得：，，
．
故选：．
10．下列说法正确的个数是　　
①的系数是；
②若，互为倒数，则；
③两点之间的线段叫两点之间的距离；
④多项式是二次三项式；
⑤若，，则有．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】
【分析】根据单项式的系数、倒数、两点间的距离、多项式的次数和项数的定义以及角度的换算关系逐项判断，即可得出答案．
【解答】解：的系数是，故①错误；
若，互为倒数，则，故②正确；
两点之间的线段的长度叫两点之间的距离，故③错误；
多项式是三次三项式，故④错误；
，因此，，故⑤正确；
综上可知，②⑤正确，
故选．
二．填空题（共8小题）
11．将用度、分、秒表示为　　．
【分析】根据不到一度的化成分，不得一分的化成秒，可得答案．
【解答】解：，
故答案为：．
12．如图，点在点的北偏东方向上，点在射线上，若，那么射线的方向是　北偏西　．
【分析】利用已知得出的度数，进而得出的方向角．
【解答】解：如图
所示：是北偏东方向的一条射线，，
，
的方向角是北偏西．
故答案为：北偏西．
13．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，若，则处在处的北偏东　80　度方向．
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角．
【解答】解：处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，
，
，
，
处在处的北偏东，
故答案为80．
14．在如图所示方位角中，射线表示的方向是　南偏东60度　．
【分析】用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，根据方位角的概念，写出射线表示的方向即可．
【解答】解：根据方位角的概念，射线表示的方向是南偏东60度．
故答案为：南偏东60度．
15．计算：　750　．
【答案】750．
【分析】根据度分秒的换算方法进行计算即可．
【解答】解：，
故答案为：750．
16．如图，直线经过点，射线是北偏东方向，则射线的方位角是 　南偏西　．
【答案】南偏西．
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可得到答案．
【解答】解：射线是北偏东方向，则射线的方位角是南偏西．
故答案为：南偏西．
17．如图，点在点的北偏西的方向上，点在点的东北方向上，则的度数是 　　．
【答案】．
【分析】根据方向角的定义以及角的和差，可得的度数．
【解答】解：点在点的北偏西的方向上，点在点的东北方向上，
．
故答案为：．
18．计算：　45　．
【答案】45．
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答．
【解答】解：原式，
故答案为：45．
三．解答题（共8小题）
19．尺规作图：
已知：．
求作：，使．
【答案】见解答．
【分析】直接利用作一角等于已知角的方法得出答案．
【解答】解：①作射线；
②以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；
③以点为圆心，以长为半径作弧，交于；
④以点为圆心，以为半径作弧，交③中所画弧于；
⑤过点作射线，则就是所求的角．
20．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图：
①在的两边上分别任取一点、；
②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点；
③连结、．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连结，
在和中，
　　，
　　（填推理依据），
　　（填推理依据）．
【答案】（1）作图见解析；
（2），，全等三角形的对应角相等．
【分析】（1）根据题中给出的步骤作出即可；
（2）连结，由全等三角形的判定定理可知，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，即为所求作的角；
（2）证明：连结，
在和中，
，
，
．
故答案为：，，全等三角形的对应角相等．
21．如图，点为的边上的一点，过点作直线．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】过点作，即可得出的平行线．
【解答】解：如图所示：
22．如图，已知线段，．射线．
实践与操作：在射线上作线段，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
推理与探究：若线段的中点是点，线段的中点是点．请在上图中标出点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】．
【分析】先在射线上截取，再截取，则，由于线段的中点是点，线段的中点是点，则，，然后利用等线段代换可得到．
【解答】解：如图，、为所作；
．
理由如下：线段的中点是点，线段的中点是点，
，，
．
23．计算题：
①；
②．
【答案】①；
②．
【分析】①根据度分秒的进制进行计算即可解答；
②根据度分秒的进制进行计算即可解答．
【解答】解：①
；
②
．
24．如图，在三角形中，，利用尺规在的内部作，使得，射线交于点．（不写作法，但保留作图痕迹）
【答案】作图见解析．
【分析】以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为，，再以为圆心，为半径画弧，交于，再以为圆心，为半径画弧，交前弧于，作射线交于，从而可得答案．
【解答】解：如图所示，即为所求．
25．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）利用度分秒之间的进率计算即可；
（2）先计算有理数的乘方、再计算除法个乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
26．如图，已知点在的边上，且，
（1）用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并写出证明过程．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得；
（2）先由知，继而得，再由平分知，从而得，从而得证．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）．
理由如下：
因为，
所以，
所以，
因为平分，
所以，
所以，
所以．