5.3应用一元一次方程——水箱变高了【素养基础达标】2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含解析）

5.3应用一元一次方程——水箱变高了
【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
8由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价-进价，；
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
6.（检验）
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．设，则下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
2．我校初一所有学生参加2012年“元旦联欢晚会”，设座位有排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是　　
A． B． C． D．
3．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程　　
A． B． C． D．
4．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，乙现在年龄是　　
A．30岁 B．20岁 C．15岁 D．10岁
5．一台电脑原价4000元，第一次降价，第二次又提价，电脑这时的售价多少元？正确的列式为　　
A． B．
C． D．
6．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，甲先跑10秒，乙开始跑，设乙秒后追上甲，依题意列方程得　　
A． B． C． D．
7．《算法统宗》中记载“一百馒头一百僧， 大僧三个更无争”， 小僧三人分一个， 大小和尚各几丁？”意思是： 有 100 个和尚分 100 个馒头， 正好分完；如果大和尚一人分 3 个， 小和尚 3 人分一个， 试问大、 小和尚各几人？设大和尚有人， 则可列方程为　　
A ． B ．
C ． D ．
8．如图，七年一班学生参加社团活动，其中文学，科技，艺术三个社团的人数比为，若参加文学社团的学生有6人，则参加艺术社团的人数是　　
A．6人 B．7人 C．9人 D．14人
9．如图，追梦小组在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则列出的方程正确的是　　
A． B．
C． D．
10．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售20件的销售额，与按这种服装每件的标价降低27元销售25件的销售额相等．设这种服装每件的标价为元，根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
11．用含药和的药水配制含药的防腐药水，那么需要的药水 　　．
12．1号仓库与2号仓库共存粮280吨，现从1号仓库运出存粮的，放入2号仓库后，此时2号仓库存粮恰好等于1号仓库所余存粮，则1号仓库原来存粮　　吨．
13．将方程变形为用含的式子表示，那么　　．
14．今年3.15期间，惠东商场为感谢新老顾客，决定对某产品实行优惠政策：购买该产品，另外赠送礼品一份．经过与该产品的供应商协调，供应商同意将该产品供货价格降低，同时免费为顾客提供礼品；而该产品的商场零售价保持不变．这样一来，该产品的单位利润率由原来的提高到，则的值是　　．
15．某超市以每件200元购进一种商品，如果将该商品按标价的七折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是元，则可列方程为 　　．
16．某种商品每件的进价是100元，若按标价的八折销售时，仍可获利，则这种商品每件的标价是 　　．
17．防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯，其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为的酒精．现有一瓶浓度为的酒精，需将其加入适量的水，使浓度稀释为．设加水量为，可列方程为 　　．
18．已知土豆和西红柿的单位面积产量比是，现要把一块长、宽的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，现将土地划分（保留宽不变），当土豆与西红柿的产量比为时，则种土豆的小长方形土地的长应为 　　．
三．解答题（共8小题）
19．列一元一次方程解应用题：
“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有，两块试验田各20亩，块种植普通水稻，块种植杂交水稻，两块试验田单次共收获水稻33600千克．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍．求杂交水稻的亩产量是多少千克？
20．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度．
21．某口罩加工厂计划若干天完成一批医用外科口罩的订货任务，如果每天生产口罩20万只，那么就比订货任务少生产100万只；如果每天生产口罩23万只，那么就可以超过订货任务20万只．这批口罩的订货任务是多少只？原计划多少天完成？
22．【概念与发现】
当点在线段上，时，我们称为点在线段上的“点值”，记作．
例如，点是的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
【理解与应用】
（1）如图，点在线段上．若，，则　　；
若，则　　．
【拓展与延伸】
（2）已知线段，点以的速度从点出发，向点运动．同时，点以的速度从点出发，先向点方向运动，到达点后立即按原速向点方向返回．当，其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为（单位：．
①小王同学发现，当点从点向点方向运动时，的值是个定值，求的值；
②为何值时，．
23．课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来又增加4人，需要重新编组，每组12人，这样比原来减少2组．问这些学生原来共有多少人？
24．看图列式（不计算）
25．一辆快车和一慢车同时从地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是120千米小时，慢车的行驶速度是80千米小时，快车比慢车早2小时到达地．求、两地间的距离．
26．小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米时．到地后沿原路返回，速度增加，回到码头比去时少花了20分钟．求、两地之间的路程．
5.3应用一元一次方程——水箱变高了
【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
8由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价-进价，；
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
6.（检验）
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．设，则下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设，则小长方形的长为，利用平行线间距离处处相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设，则小长方形的长为，
依题意得：．
故选：．
2．我校初一所有学生参加2012年“元旦联欢晚会”，设座位有排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】设座位有排，根据题意可得等量关系为：总人数是一定的，据此列方程．
【解答】解：设座位有排，
由题意得，．
故选：．
3．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【解答】解：设有辆车，则可列方程：
．
故选：．
4．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，乙现在年龄是　　
A．30岁 B．20岁 C．15岁 D．10岁
【答案】
【分析】本题等量关系为：5年前甲的年龄年前乙的年龄．可设乙现在的年龄为岁，则甲为岁，根据等量关系列方程求解．
【解答】解：设乙现在岁，则5年前甲为岁，乙为岁，
由题意得：
解得
故选：．
5．一台电脑原价4000元，第一次降价，第二次又提价，电脑这时的售价多少元？正确的列式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用现价原价即可列出式子．
【解答】解：设售价为元，
由题意可得：．
故选：．
6．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，甲先跑10秒，乙开始跑，设乙秒后追上甲，依题意列方程得　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用路程速度时间，结合乙追上甲时两人跑的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得，
即．
故选：．
7．《算法统宗》中记载“一百馒头一百僧， 大僧三个更无争”， 小僧三人分一个， 大小和尚各几丁？”意思是： 有 100 个和尚分 100 个馒头， 正好分完；如果大和尚一人分 3 个， 小和尚 3 人分一个， 试问大、 小和尚各几人？设大和尚有人， 则可列方程为　　
A ． B ．
C ． D ．
【分析】设大和尚有人， 则小和尚有人， 根据“有 100 个和尚分 100 个馒头， 正好分完；大和尚一人分 3 个， 小和尚 3 人分一个”列出方程即可 ．
【解答】解： 设大和尚有人， 则小和尚有人， 根据题意得
．
故选：．
8．如图，七年一班学生参加社团活动，其中文学，科技，艺术三个社团的人数比为，若参加文学社团的学生有6人，则参加艺术社团的人数是　　
A．6人 B．7人 C．9人 D．14人
【答案】
【分析】设参加艺术社团的学生有人，根据参加文学，艺术两个社团的人数比为，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设参加艺术社团的学生有人，
根据题意得：，
解得：，
参加艺术社团的学生有9人．
故选：．
9．如图，追梦小组在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则列出的方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由给定的乘法竖式，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：．
10．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售20件的销售额，与按这种服装每件的标价降低27元销售25件的销售额相等．设这种服装每件的标价为元，根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用销售总额销售单价销售数量，结合“按这种服装每件标价的8折销售20件的销售额，与按这种服装每件的标价降低27元销售25件的销售额相等”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．用含药和的药水配制含药的防腐药水，那么需要的药水 　10　．
【答案】10．
【分析】设用含药的药水，则含药的药水，根据题意列出一元一次方程即可得出答案．
【解答】解：设用含药的药水，则含药的药水，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：10．
12．1号仓库与2号仓库共存粮280吨，现从1号仓库运出存粮的，放入2号仓库后，此时2号仓库存粮恰好等于1号仓库所余存粮，则1号仓库原来存粮　200　吨．
【答案】200．
【分析】设1号仓库原来存粮吨，则2号仓库原来存粮吨，根据“现从1号仓库运出存粮的，放入2号仓库后，此时2号仓库存粮恰好等于1号仓库所余存粮，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设1号仓库原来存粮吨，则2号仓库原来存粮吨，
依题意，得：，
解得：，
即1号仓库原来存粮200吨．
故答案为：200．
13．将方程变形为用含的式子表示，那么　　．
【答案】．
【分析】把看作已知数求出即可．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
14．今年3.15期间，惠东商场为感谢新老顾客，决定对某产品实行优惠政策：购买该产品，另外赠送礼品一份．经过与该产品的供应商协调，供应商同意将该产品供货价格降低，同时免费为顾客提供礼品；而该产品的商场零售价保持不变．这样一来，该产品的单位利润率由原来的提高到，则的值是　14　．
【分析】设原来的进价为元，则现在的进价为元，则原来的售价为，现在的售价为，根据两次的售价相等建立方程求出其解得．
【解答】解：原来的进价为元，则现在的进价为元，由题意，得
，
解得：
故答案为：14
15．某超市以每件200元购进一种商品，如果将该商品按标价的七折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是元，则可列方程为 　　．
【答案】．
【分析】根据利润率列一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
16．某种商品每件的进价是100元，若按标价的八折销售时，仍可获利，则这种商品每件的标价是 　150　．
【答案】150．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：设这种商品每件标价为元，
，
解得，，
故答案为：150．
17．防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯，其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为的酒精．现有一瓶浓度为的酒精，需将其加入适量的水，使浓度稀释为．设加水量为，可列方程为 　　．
【答案】．
【分析】直接利用酒精总质量不变进而得出等式得出答案．
【解答】解：设加水量为，可列方程为：．
故答案为：．
18．已知土豆和西红柿的单位面积产量比是，现要把一块长、宽的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，现将土地划分（保留宽不变），当土豆与西红柿的产量比为时，则种土豆的小长方形土地的长应为 　120　．
【答案】120．
【分析】设种土豆的小长方形土地的长为，根据土豆与西红柿的产量比为，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设种土豆的小长方形土地的长为，土豆的单位产量为，
则：种西红柿的小长方形土地的长为，西红柿的产量为，
由题意，得：，
解得：；
种土豆的小长方形土地的长应为；
故答案为：120．
三．解答题（共8小题）
19．列一元一次方程解应用题：
“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有，两块试验田各20亩，块种植普通水稻，块种植杂交水稻，两块试验田单次共收获水稻33600千克．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍．求杂交水稻的亩产量是多少千克？
【答案】杂交水稻的亩产量是1080千克．
【分析】设普通水稻亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，根据两块试验田单次共收获水稻33600千克得：，即可解得，从而得到答案．
【解答】解：设普通水稻亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，根据题意得：
，
解得，
杂交水稻的亩产量是（千克），
答：杂交水稻的亩产量是1080千克．
20．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度．
【答案】．
【分析】设船在静水中的平均速度为，利用航程航速时间，结合甲、乙两码头间的航程不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设船在静水中的平均速度为，
依题意得：，
解得：．
答：船在静水中的平均速度为．
21．某口罩加工厂计划若干天完成一批医用外科口罩的订货任务，如果每天生产口罩20万只，那么就比订货任务少生产100万只；如果每天生产口罩23万只，那么就可以超过订货任务20万只．这批口罩的订货任务是多少只？原计划多少天完成？
【答案】900万只；40天．
【分析】设原计划用天完成．找等量关系两种情况生产的口罩的数量相等，列方程即可求解．
【解答】解：设原计划用天完成．
由题意得，
解得，
（万只），
答：这批订货任务是900万只，原计划用40天完成．
22．【概念与发现】
当点在线段上，时，我们称为点在线段上的“点值”，记作．
例如，点是的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
【理解与应用】
（1）如图，点在线段上．若，，则　　；
若，则　　．
【拓展与延伸】
（2）已知线段，点以的速度从点出发，向点运动．同时，点以的速度从点出发，先向点方向运动，到达点后立即按原速向点方向返回．当，其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为（单位：．
①小王同学发现，当点从点向点方向运动时，的值是个定值，求的值；
②为何值时，．
【答案】（1），；
（2）；
（3）1或8．
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；
②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）①设运动时间为，则，，
根据“点值”的定义得：，，
的值是个定值，
的值是个定值，
；
②当点从点向点方向运动时，
，
，
；
当点从点向点方向运动时，
，
，
，
的值为1或8．
23．课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来又增加4人，需要重新编组，每组12人，这样比原来减少2组．问这些学生原来共有多少人？
【分析】设这些学生共有人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．
【解答】解：设这些学生共有人，
根据题意得：，
解这个方程得：，
即这些学生共有56人．
答：些学生原来共有56人．
24．看图列式（不计算）
【分析】可设故事书有本，则科技书有本，根据等量关系：科技书有160本，列出方程求解即可．
【解答】解：设故事书有本，则科技书有本，依题意有
，
解得．
答：故事书有140本．
25．一辆快车和一慢车同时从地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是120千米小时，慢车的行驶速度是80千米小时，快车比慢车早2小时到达地．求、两地间的距离．
【答案】480千米．
【分析】设，两地间的距离为千米，利用时间路程速度，结合快车比慢车早2小时到达地，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出，两地间的距离．
【解答】解：设，两地间的距离为千米，
依题意得：，
解得：．
答：，两地间的距离为480千米．
26．小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米时．到地后沿原路返回，速度增加，回到码头比去时少花了20分钟．求、两地之间的路程．
【答案】8千米．
【分析】设、两地之间的路程为千米，利用时间路程速度，结合回到码头比去时少花了20分钟，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设、两地之间的路程为千米，
依题意得：，
解得：．
答：、两地之间的路程为8千米．