21.2解一元二次方程【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

21.2解一元二次方程【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
2.解一元二次方程的方法
直接开平方法 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的方法叫做直接开平方法
总结 一般的，对于可化为的方程 ①当p>0时，方程有两个不相等的实数根，； ②当p=0时，方程有两个相等的实数根=0； ③当p<0时，方程无实数根.
配方法 定义 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。即把方程化为的形式
总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ①当p>0时，方程有两个不等的实数根 ， ②当p=0时，方程有两个相等的实数根 ③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根.
方法步骤 一移常数项，并将二次项系数化为1； 二配完全平方,等号两边同时加上一次项系数一半的平方。（常数项等于一次项系数一半的平方） 三写成； 四直接开平方法解方程.
配方步骤 （前提先化为一般式） 移项得：........移常数项 系数化为1：........二次项系数化为1 配方：.....配常数项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方 开方：
公式法 根的判别式 定义：一般地，式子△=叫做一元二次方程根的判别式
求根公式的定义 当Δ=≥0时，方程的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
判别式△=的根的情况 判别式的情况 根的情况 根
△=>0 两个不相等的实数根 ，
△==0 两个相等的实数根 =；
△=<0 没有实数根
△=0 有实数根
方法步骤 ①把一元二次方程化为一般形式 ②确定系数a，b，c的值 ③求出的值，判断根的情况 ④利用求根公式
因式分解法 定义 使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
基本思想 如果a·b=0， 那么a=0或b=0.
方法步骤 一移——使方程的右边为0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解
因式分解的四种方法 ①提公因式法：ma+mb=m(a+b) ②平方差：= ③完全平方：=；= ④十字相乘法
3.一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系 （△=）
两根之和
两根之积
||=
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
2．关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定
3．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．已知，是一元二次方程的两根，则的值是　　
A． B． C． D．
5．一元二次方程的解　　
A． B． C．， D．，
6．一元二次方程根的情况是　　
A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2
C．有两个负根，且都小于 D．有一个正根，一个负根
7．当时，关于的一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是　　
A．9 B．6 C．4 D．
9．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是　　
A．15 B．13 C． D．9
10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 　　．
12．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　　．
13．一元二次方程的解为　 　．
14．若，则　　．
15．若实数，分别满足，，且，则代数式的值为 　　．
16．若，，则与的大小关系为 　　．
17．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 　　．
18．在平面直角坐标系中，已知点，，满足，则的长为 　　．
三．解答题（共8小题）
19．用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
20．解方程：
（1）（用配方法解）；
（2）（用公式法解）；
（3）（用因式分解法）．
21．解下列方程：
（1）；
（2）．
22．解方程：．
23．已知：关于的方程．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求的值．
24．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：▲　　▲　　；
（2）求的最小值；
（3）如图，将边长为2的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为．
①用含的代数式表示出，；
②比较，的大小．
25．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　．
（2）当时，求的最小值．
26．根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数，都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式有 　　值（填“最大”或“最小” 这个值是 　　．
探究：求代数式的最小值，小明是这样做的：
当时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时的值，
拓展：求多项式的最小值及此时，的值
21.2解一元二次方程【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
2.解一元二次方程的方法
直接开平方法 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的方法叫做直接开平方法
总结 一般的，对于可化为的方程 ①当p>0时，方程有两个不相等的实数根，； ②当p=0时，方程有两个相等的实数根=0； ③当p<0时，方程无实数根.
配方法 定义 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。即把方程化为的形式
总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ①当p>0时，方程有两个不等的实数根 ， ②当p=0时，方程有两个相等的实数根 ③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根.
方法步骤 一移常数项，并将二次项系数化为1； 二配完全平方,等号两边同时加上一次项系数一半的平方。（常数项等于一次项系数一半的平方） 三写成； 四直接开平方法解方程.
配方步骤 （前提先化为一般式） 移项得：........移常数项 系数化为1：........二次项系数化为1 配方：.....配常数项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方 开方：
公式法 根的判别式 定义：一般地，式子△=叫做一元二次方程根的判别式
求根公式的定义 当Δ=≥0时，方程的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
判别式△=的根的情况 判别式的情况 根的情况 根
△=>0 两个不相等的实数根 ，
△==0 两个相等的实数根 =；
△=<0 没有实数根
△=0 有实数根
方法步骤 ①把一元二次方程化为一般形式 ②确定系数a，b，c的值 ③求出的值，判断根的情况 ④利用求根公式
因式分解法 定义 使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
基本思想 如果a·b=0， 那么a=0或b=0.
方法步骤 一移——使方程的右边为0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解
因式分解的四种方法 ①提公因式法：ma+mb=m(a+b) ②平方差：= ③完全平方：=；= ④十字相乘法
3.一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系 （△=）
两根之和
两根之积
||=
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
为整数，
的最大值为4．
故选：．
2．关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定
【答案】
【分析】先计算根的判别式，再确定根的判别式与0的关系，最后得结论．
【解答】解：△
，
，
△．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
3．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有实数根△，列不等式求解即可．
【解答】解：关于的方程有实数根，
△，
解得，
故选：．
4．已知，是一元二次方程的两根，则的值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先将所求式子化简，再根据，是一元二次方程的两根，可以得到的值，然后整体代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
，是一元二次方程的两根，
，
原式，
故选：．
5．一元二次方程的解　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】直接移项，再利用提取公因式法分解因式，进而解方程即可．
【解答】解：，
，
，
则或，
解得：，．
故选：．
6．一元二次方程根的情况是　　
A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2
C．有两个负根，且都小于 D．有一个正根，一个负根
【答案】
【分析】先求出根的判别式判断根的情况，再利用根与系数的关系可得对答案．
【解答】解：，
△，
方程有2个不相等的实数根．
，
方程有一个正根，一个负根．
故选：．
7．当时，关于的一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】
【分析】利用得到△，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：，
，
△，
方程没有实数解．
故选：．
8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是　　
A．9 B．6 C．4 D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的情况的判别式可得△，把各系数代入即可求出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得．
故选：．
9．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是　　
A．15 B．13 C． D．9
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法求的值．
【解答】解：根据题意，得，，
所以．
故选：．
10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由方程有实数根即△，从而得出关于的不等式，解之可得．
【解答】解：由题意可知：△，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】根据一元二次方程有实数根可得△，直接求解即可．
【解答】解：关于的方程有实数根，
△，
解得．
故答案为：．
12．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　2020　．
【答案】2020．
【分析】把代入方程求出的值，再利用，根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：、是一元二次方程的两个实数根，
把代入方程得：，即，
由根与系数的关系得：，
则原式．
故答案为：2020．
13．一元二次方程的解为　，　．
【分析】根据直接开方法求一元二次方程的步骤先进行开方，得到两个一元一次方程，再分别求解即可．
【解答】解：，
，
，．
故答案为：，．
14．若，则　6　．
【答案】6．
【分析】设，由原方程得到：，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：设，则由原方程得到：，
整理，得．
所以．
所以．
所以．
故答案为：6．
15．若实数，分别满足，，且，则代数式的值为 　　．
【答案】．
【分析】根据题意可设，是的两根，由根与系数的关系可得，，再将变形为，最后将，的值代入即可求解．
【解答】解：，，
，，
设，是的两根，
，，
．
故答案为：．
16．若，，则与的大小关系为 　　．
【答案】．
【分析】利用求差法判定两式的大小，将与代入中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
【解答】解：
．
，
．
故答案为：．
17．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】由方程无实数根即△，从而得出关于的不等式，解之可得．
【解答】解：关于的一元二次方程无实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
18．在平面直角坐标系中，已知点，，满足，则的长为 　　．
【答案】．
【分析】，设，则用代替方程中的，将原方程转化为关于的新方程，通过解新方程求得即的值即可．
【解答】解：设，则由原方程，得，
整理，得，
即，
解得（舍去）或．
，
，
（负值不合题意，舍去）．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2）．．
【分析】（1）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1），
△，
，
，；
（2），
，
，
或，
．．
20．解方程：
（1）（用配方法解）；
（2）（用公式法解）；
（3）（用因式分解法）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1），
，
，即，
，
解得，；
（2），，，
△，
则，
，；
（3），
，
则，
或，
，．
21．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）利用提公因式法解一元二次方程即可；
（2）整理后用直接开方法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1），
，
即或，
解得，；
（2），
，
整理得，，
则，
解得，．
22．解方程：．
【答案】，．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：，
，
或，
，．
23．已知：关于的方程．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求的值．
【答案】（1）见详解；（2）2007．
【分析】（1）由△可得答案；
（2）将代入方程得，代入原式计算可得．
【解答】解：（1）△，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）因为方程有一个根为3，
所以，即，
所以．
24．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：▲　3　▲　　；
（2）求的最小值；
（3）如图，将边长为2的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为．
①用含的代数式表示出，；
②比较，的大小．
【答案】（1）3；2；（2）3；（3）．
【分析】（1）依据题意，由完全平方公式，即可进行变形得解；
（2）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解；
（3）①依据题意，根据图形进行计算即可得解；
②依据题意，根据①所求和，通过作差法进行比较大小即可得解．
【解答】解：（1）依据题意，．
故答案为：3；2．
（2）由题意，．
，，
．
．
的最小值为3．
（3）①由题意，根据图形可得，，．
②由①可得，．
，
．
．
，即．
25．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，的最小值为 　2　；当时，的最大值为 　　．
（2）当时，求的最小值．
【答案】（1）2，；
（2）11．
【分析】（1）根据题中的不等式求解；
（2）先把代数式变形，再利用题中的不等式求解．
【解答】解：（1），
；
，
，
，
，
故答案为：2，；
（2），
，
的最小值为11．
26．根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数，都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式有 　最小　值（填“最大”或“最小” 这个值是 　　．
探究：求代数式的最小值，小明是这样做的：
当时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时的值，
拓展：求多项式的最小值及此时，的值
【答案】应用：最小，；
探究：时，代数式的最小值为；
拓展：，，多项式的最小值是．
【分析】根据非负数的性质即可得出答案；先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．
【解答】解：应用：
代数式有最小值，这个值是，此时；
故答案为：最小，；
探究：
，
当，即时，代数式的最小值为；
拓展：
，
当，时，即，，多项式的最小值是．