24.4弧长和扇形面积【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

24.4弧长和扇形面积【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
20.弧长和扇形面积
弧长公式： l（n表示1°的n倍，不带单位）
弧、弧长、弧的度数之间的关系 ①弧相等表示弧长、弧的度数都相等 ②度数相等的弧，弧长不一定相等； ③弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧；
扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.记作扇形OAB.
扇形面积公式 ①半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积。 ②已知弧长l和半径r，则 推导过程;
21.圆锥的面积
圆锥的母线 我们把连接圆锥顶点(点S)和底面圆上任意一点的线段(如线段SA，SB等)叫做圆锥的母线． 圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
底面半径(r)， 圆锥的高(h)，圆锥的母线(l)三者关系 r2+h2=l2
圆锥的侧面积 S圆锥侧=πrl
圆锥的全面积公式 S圆锥全=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2
圆锥两个重要结论 ①圆锥侧面展开图扇形的半径=母线长(l) ②圆锥侧面展开图扇形的弧长=底面圆周长(2πr) r（可求母线长和底面半径）
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为　　
A． B． C． D．
2．如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆，，相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为　　
A． B． C． D．
3．如图，点，，，在上，于点，，，则的长为　　
A． B． C． D．
4．如图，以等边 的边为直径的分别交，为于点，，，则阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
5．如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则　　
A． B． C． D．
6．习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
7．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为　　
A．米 B．米 C．米 D．米
8．某款钟表能分针长度为，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为　　
A． B． C． D．
9．如图，在中，，的半径为4，弧的长为，则图中阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
10．如图，四边形内接于，的半径为3，，则的长是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，一个半径是的圆，在其中画一个圆心角为的扇形，这个扇形的面积为 　　．
12．圆锥的侧面积是，底面半径是，则圆锥的母线长为 　　．
13．扇形的弧长为，面积为，这个扇形的圆心角等于　 　度．
14．一张扇形纸片半径是3，圆心角为，则这张扇形纸片的弧长为 　　．
15．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为　　．
16．若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为 　　．
17．已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则圆锥侧面积是 　　．
18．已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 　　．
三．解答题（共8小题）
19．在半径为1的圆中，扇形的圆心角为，请在圆内画出这个扇形并求出它的面积．
20．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．
21．（1）如图1，计算下面圆柱的表面积、体积（单位：厘米）
（2）如图2，计算下面圆锥体的体积（单位：厘米）
22．给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，求需要涂漆的面积（保留．
23．如图，在中，，弦与弦相交于点，弦与弦相交于点，连接，其中，，求阴影部分的面积．
24．有一直径为30米的圆形花坛，中心位置是一个直径为10米的圆形喷水池，其它位置是花和草坪．
（1）在花坛的外围边上均匀地安装了15个射灯，求相邻两个射灯之间的弧长是多少米？
（2）在花坛所在圆里建一个最大的正方形，正方形内部（圆形喷水池除外）种花，正方形的外部种草，分别求花与草的种植面积．（此题中取
25．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为，扇形的圆心角为，求这个扇形的面积．
26．如图，一个边长为4的大正方形分成4个全等的小正方形，橘红色部分由3段圆弧围成，大圆弧半径是4，两个小圆弧半径是2，求橘红色部分的面积．
24.4弧长和扇形面积【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
20.弧长和扇形面积
弧长公式： l（n表示1°的n倍，不带单位）
弧、弧长、弧的度数之间的关系 ①弧相等表示弧长、弧的度数都相等 ②度数相等的弧，弧长不一定相等； ③弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧；
扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.记作扇形OAB.
扇形面积公式 ①半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积。 ②已知弧长l和半径r，则 推导过程;
21.圆锥的面积
圆锥的母线 我们把连接圆锥顶点(点S)和底面圆上任意一点的线段(如线段SA，SB等)叫做圆锥的母线． 圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
底面半径(r)， 圆锥的高(h)，圆锥的母线(l)三者关系 r2+h2=l2
圆锥的侧面积 S圆锥侧=πrl
圆锥的全面积公式 S圆锥全=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2
圆锥两个重要结论 ①圆锥侧面展开图扇形的半径=母线长(l) ②圆锥侧面展开图扇形的弧长=底面圆周长(2πr) r（可求母线长和底面半径）
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，求解即可．
【解答】解：
，
故选：．
2．如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆，，相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接，，，，，，，，，则△，△，△，△是边长为1的正三角形，
所以，
，
故选：．
3．如图，点，，，在上，于点，，，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆周角定理得出，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：，
，
，
的长为，
故选：．
4．如图，以等边 的边为直径的分别交，为于点，，，则阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用为等边三角形，再证明为等边三角形，然后根据扇形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故选：．
5．如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由弧长公式：是弧的圆心角的度数，是弧的半径长），即可计算．
【解答】解：圆弧的半径，圆心角，
的长．
故选：．
6．习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，计算即可．
【解答】解：如图，
．
故选：．
7．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为　　
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【分析】利用圆的面积得到底面圆的半径为5，再利用勾股定理计算出母线长，接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，最后求它们的和即可．
【解答】解：底面圆的半径为5米，高为3米，
圆锥的母线长米，
所以圆锥的侧面积米；
圆柱的侧面积米，
所以需要毛毡的面积米．
故选：．
8．某款钟表能分针长度为，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】钟表的分针经过30分钟转过的角度是，即圆心角是，半径是，根据弧长公式即可求出答案．
【解答】解：经过30分钟分针针尖走过的路线长为：．
故选：．
9．如图，在中，，的半径为4，弧的长为，则图中阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，，，过作于，过作交延长线于，利用弧长公式求出的度数，得出，再求出，，，即可得到答案．
【解答】解：连接，，，，过作于，过作交延长线于，如图：
设度，
的长为，的半径为4，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
同理可得，
，
；
故选：．
10．如图，四边形内接于，的半径为3，，则的长是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．如图，一个半径是的圆，在其中画一个圆心角为的扇形，这个扇形的面积为 　　．
【答案】．
【分析】根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：扇形的面积．
故答案为：．
12．圆锥的侧面积是，底面半径是，则圆锥的母线长为 　5　．
【分析】底面半径是，则扇形的弧长是，根据扇形的面积公式即可求得扇形的半径，即圆锥的母线长．
【解答】解：底面半径是，则扇形的弧长是．
设母线长是，则，
解得：．
故答案为：5．
13．扇形的弧长为，面积为，这个扇形的圆心角等于　90　度．
【分析】可先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，然后再根据圆弧长公式求出扇形的圆心角的度数．
【解答】解：设扇形的半径为，圆心角为，
根据扇形的面积公式可得，
，
解得．
根据圆弧长公式可得，
，
解得．
故答案为90．
14．一张扇形纸片半径是3，圆心角为，则这张扇形纸片的弧长为 　　．
【答案】．
【分析】根据弧长公式进行计算即可出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
15．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为　6　．
【分析】设扇形的半径为，再根据扇形的面积公式求出的值即可．
【解答】解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，面积为，
，
解得．
故答案为：6．
16．若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为 　　．
【答案】．
【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
【解答】解：设底面圆的半径为，侧面展开扇形的半径为，扇形的圆心角为．
由题意得，
，
这个圆锥体的底面积是其表面积的，
，
．
由得，
故．
由得：
，
解得．
故答案为：．
17．已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则圆锥侧面积是 　　．
【答案】．
【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长．
【解答】解：底面半径为2，则底面周长，圆锥的侧面积．
故答案为：．
18．已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 　2　．
【答案】2．
【分析】设该扇形的半径是，再根据扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设该扇形的半径是，则
，
解得．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
19．在半径为1的圆中，扇形的圆心角为，请在圆内画出这个扇形并求出它的面积．
【分析】根据题意画出扇形，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：扇形如图所示：
扇形的面积．
20．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．
【分析】设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解．
【解答】解：设母线长为，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为，底面半径为．
底面周长，底面面积，侧面积，
，
，
．
21．（1）如图1，计算下面圆柱的表面积、体积（单位：厘米）
（2）如图2，计算下面圆锥体的体积（单位：厘米）
【分析】（1）根据圆柱的表面积上下底面面积侧面积、圆柱的体积底面积高计算；
（2）根据圆锥的体积底面积高计算．
【解答】解：（1）圆柱的表面积平方厘米，
体积立方厘米；
（2）圆锥体的体积立方厘米．
22．给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，求需要涂漆的面积（保留．
【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．
【解答】解：圆锥的底面周长为，
圆锥的底面圆周长是侧面展开得到的扇形的弧长，
扇形的弧长为，
扇形的面积为，
答：需要涂漆的面积为．
23．如图，在中，，弦与弦相交于点，弦与弦相交于点，连接，其中，，求阴影部分的面积．
【分析】连接，，延长交于点，根据可得出，再由可知是等边三角形，故，，再由直角三角形的性质求出的长，根据即可得出结论．
【解答】解：连接，，延长交于点，
，
．
，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
．
24．有一直径为30米的圆形花坛，中心位置是一个直径为10米的圆形喷水池，其它位置是花和草坪．
（1）在花坛的外围边上均匀地安装了15个射灯，求相邻两个射灯之间的弧长是多少米？
（2）在花坛所在圆里建一个最大的正方形，正方形内部（圆形喷水池除外）种花，正方形的外部种草，分别求花与草的种植面积．（此题中取
【分析】（1）根据题意可以得到相邻两个射灯之间的弧长是花坛周长的十五分之一，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到最大正方形的情况，从而可以得到相应的花与草的种植面积．
【解答】解：（1）由题意可得，
相邻两个射灯之间的弧长是：米，
答：相邻两个射灯之间的弧长是6.28米；
（2）由题意可得，
当正方形的对角线是花坛的直径时，这时是花坛内最大的正方形，
花的面积是：（平方米），
草的面积是：（平方米），
答：花的种植面积是371.5平方米，草的种植面积是256.5平方米．
25．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为，扇形的圆心角为，求这个扇形的面积．
【答案】．
【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．
【解答】解：底面圆的面积为，
底面圆的半径为10，
扇形的弧长等于圆的周长为，
设扇形的母线长为，
则，
解得：，
扇形的面积为，
26．如图，一个边长为4的大正方形分成4个全等的小正方形，橘红色部分由3段圆弧围成，大圆弧半径是4，两个小圆弧半径是2，求橘红色部分的面积．
【分析】连接，阴影部分面积，依此计算即可求解．
【解答】解：连接，阴影部分面积．