24.2点和圆、直线和圆的位置【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

24.2点和圆、直线和圆的位置【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
6.点和圆的位置关系
点和圆的位置关系 特点 等价关系 图示
点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P在圆内 d点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P在圆上 d=r
点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P在圆外 d>r
数形结合：位置关系 数量关系
7.圆的确定
过已知点作圆 条件 作法 作圆的个数 图示
过一个点A作圆 以点A以外的任意一点为圆心，以这个点到点A的距离为半径画圆； 无数个圆
过两点A、B作圆 连接AB，作线段AB的垂直平分线，以垂直平分线上任意一点为圆心，以这点到点A（或点B）的距离为半径画圆； 无数个圆
过不在同一条直线上的三点A,B,C作圆的作法 ①连接AB，BC， ②分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG， ③以DE和FG的交点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径作圆，⊙O就是所求的圆. 一个圆
确定一个圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于斜边的中点处； 钝角三角形的外心位于三角形外.
8.三角形的外接圆及外心
三角形的外接圆的定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
三角形的外心的定义 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.
三角形外心作图的方法 三角形三边垂直平分线的交点.
三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.即OA=OB=OC
9.反证法的
定义 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
步骤 ①反设：假设命题的结论不成立(或其反面成立)； ②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； ③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.
10.直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 相交 相切 相交
图示
公共点个数 2个 1个 0个
公共点名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
11.直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 特点 等价关系 图示
相交 直线到圆心的距离小于半径 直线和圆相交 d相切 直线到圆心的距离等于半径 直线和圆相切 d=r 1个公共点
相离 直线到圆心的距离大于半径 直线和圆相离 d>r 0个公共点
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．的外心在三角形的内部，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
2．如图，是的直径，直线切于点，若，则　　
A． B． C． D．
3．的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为　　
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定
4．若，，则以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系是　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系是　　
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．不能确定
6．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在　　
A．上 B．内 C．外 D．内或外
7．的外心在三角形的一边上，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
8．下列条件中能够确定一个圆的是　　
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点
9．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径作圆，点的坐标是，则点与的位置关系是　　
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．点在上或在外
10．已知的半径为6，点与点的距离为5，则点与的位置关系是　　
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定
二．填空题（共8小题）
11．在中，，，．以点为圆心，以长为半径画圆，点与的位置关系是 　　．
12．已知三角形的三边分别为、、，则这个三角形内切圆的半径是　 　．
13．若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是　 　．
14．若的三条边分别为6，8，10，则三角形的外接圆的半径是 　　、内切圆的半径是　 　　．
15．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 　　．
16．已知中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是 　　．
17．已知圆所在平面内一点到圆周的最大距离为9，最短距离为1，则圆的直径为 　　．
18．已知的半径为，，则点与的位置关系是点在 　　（填“圆内”、“圆外”或“圆上”
三．解答题（共8小题）
19．如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若点为的中点，，求的长．
20．如图，，点在上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
21．如图，在中，，，点为以为直径的上一点，且，连接，，已知，．
（1）求的周长；
（2）求证：是的切线．
22．如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
24．如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．
（1）求证：垂直平分；
（2）若的半径长为3，且，求的长．
25．如图，在中，，以为直径的交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
26．如图，在，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且是的切线．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．
24.2点和圆、直线和圆的位置【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
6.点和圆的位置关系
点和圆的位置关系 特点 等价关系 图示
点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P在圆内 d点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P在圆上 d=r
点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P在圆外 d>r
数形结合：位置关系 数量关系
7.圆的确定
过已知点作圆 条件 作法 作圆的个数 图示
过一个点A作圆 以点A以外的任意一点为圆心，以这个点到点A的距离为半径画圆； 无数个圆
过两点A、B作圆 连接AB，作线段AB的垂直平分线，以垂直平分线上任意一点为圆心，以这点到点A（或点B）的距离为半径画圆； 无数个圆
过不在同一条直线上的三点A,B,C作圆的作法 ①连接AB，BC， ②分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG， ③以DE和FG的交点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径作圆，⊙O就是所求的圆. 一个圆
确定一个圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于斜边的中点处； 钝角三角形的外心位于三角形外.
8.三角形的外接圆及外心
三角形的外接圆的定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
三角形的外心的定义 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.
三角形外心作图的方法 三角形三边垂直平分线的交点.
三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.即OA=OB=OC
9.反证法的
定义 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
步骤 ①反设：假设命题的结论不成立(或其反面成立)； ②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； ③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.
10.直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 相交 相切 相交
图示
公共点个数 2个 1个 0个
公共点名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
11.直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 特点 等价关系 图示
相交 直线到圆心的距离小于半径 直线和圆相交 d相切 直线到圆心的距离等于半径 直线和圆相切 d=r 1个公共点
相离 直线到圆心的距离大于半径 直线和圆相离 d>r 0个公共点
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．的外心在三角形的内部，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状．
【解答】解：若外心在三角形的外部，则三角形是钝角三角形；
若外心在三角形的内部，则三角形是锐角三角形；
若外心在三角形的边上，则三角形是直角三角形，且这边是斜边．
故选：．
2．如图，是的直径，直线切于点，若，则　　
A． B． C． D．
【分析】由直线是的切线，根据切线的性质可得：，继而求得，又由是的直径，根据圆周角定理，即可求得，继而可得．
【解答】解：直线是的切线，
，
，
即，
，
是的直径，
，
，
．
故选：．
3．的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为　　
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定
【答案】
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：，，
，
点在圆内，
故选：．
4．若，，则以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系是　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
【解答】解：如图，作，垂足为，
，，
，
，
直线与圆相离．
故选：．
5．平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系是　　
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．不能确定
【答案】
【分析】根据半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．
【解答】解：由题意，得，．
，
点在外，
故选：．
6．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在　　
A．上 B．内 C．外 D．内或外
【答案】
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：的半径为，点到圆心的距离为，，
点在圆内．
故选：．
7．的外心在三角形的一边上，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．
【解答】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
故选：．
8．下列条件中能够确定一个圆的是　　
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点
【答案】
【分析】已知圆心和半径所作的圆就是唯一的，不在同一直线上的三点确定一个圆．
【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，
故选：．
9．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径作圆，点的坐标是，则点与的位置关系是　　
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．点在上或在外
【答案】
【分析】先计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：点的坐标是，
，
而的半径为5，
等于圆的半径，
点在上．
故选：．
10．已知的半径为6，点与点的距离为5，则点与的位置关系是　　
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定
【分析】根据当时，点在圆内解答．
【解答】解：，
点在圆内，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．在中，，，．以点为圆心，以长为半径画圆，点与的位置关系是 　点在上　．
【答案】点在上．
【分析】根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上进行判断可得结果．
【解答】解：，
以点为圆心，以长为半径画圆，点与的位置关系是点在上．
故答案为：点在上．
12．已知三角形的三边分别为、、，则这个三角形内切圆的半径是　1　．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明这个三角形为直角三角形，然后利用直角边为、，斜边为的三角形的内切圆半径为求解．
【解答】解：，
这个三角形为直角三角形，
这个三角形内切圆的半径．
故答案为1．
13．若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是　10　．
【分析】由直角三角形的两直角边长分别为6，8，可求得其斜边，又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案．
【解答】解：直角三角形的两直角边长分别为6，8，
斜边长为：，
这个三角形的外接圆直径是10．
故答案为：10．
14．若的三条边分别为6，8，10，则三角形的外接圆的半径是 　5　、内切圆的半径是　 　　．
【答案】5，2．
【分析】由的三边长可知是直角三角形，由直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，即可计算出外接圆半径；利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，即可计算出内切圆半径．
【解答】解：，
是直角三角形，且斜边长为10，
直角三角形的外接圆的半径是；
内切圆的半径为：；
故答案为：5，2．
15．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 　4或5　．
【答案】4或5．
【分析】首先解方程，求出方程的两个根，再分别讨论斜边的情况，直角三角形外接圆直径等于斜边的长．
【解答】解：，
，
解得：，，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为：，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4．
故答案为4或5．
16．已知中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是 　相切　．
【答案】相切．
【分析】根据勾股定理求得，和的半径比较即可．
【解答】解：中，，，，
，
，
，
与的位置关系是相切．
故答案为：相切．
17．已知圆所在平面内一点到圆周的最大距离为9，最短距离为1，则圆的直径为 　10或8　．
【答案】10或8．
【分析】分两种情况讨论，点在圆外或者圆内．
【解答】解：①当点在圆内时，如图，
直径为：；
②当点在圆外时，如图，
直径为；
故答案为10或8．
18．已知的半径为，，则点与的位置关系是点在 　圆内　（填“圆内”、“圆外”或“圆上”
【答案】圆内．
【分析】点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外②点在圆上③点在圆内，由此即可判断．
【解答】解：点到圆心的距离，圆的半径，
，
点与的位置关系是点在圆内．
故答案为：圆内．
三．解答题（共8小题）
19．如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若点为的中点，，求的长．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）5．
【分析】（1）连接，，结合已知条件证得，得出，证得，即可得出是的切线；
（2）先利用证得和全等，于是得到，再结合已知条件即可求出的长．
【解答】（1）证明：连接，，
，
，
，
即，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
，
即，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
即，
，，
，
又，
，
，
点为的中点，，
，
．
20．如图，，点在上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据题意得出为圆直径，根据平行线的性质及垂直的定义推出，根据直角三角形的性质得出，等量代换推出，则，根据切线的判定定理即可得解；
（2）根据勾股定理及圆的性质求出，，根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】（1）证明：，
为圆直径，
又，
，
，
，
，
，
，
为圆直径，
是圆的切线；
（2）解：，，，
，，
由（1）可知，
又，
，
，
即，
．
21．如图，在中，，，点为以为直径的上一点，且，连接，，已知，．
（1）求的周长；
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）根据题意推出，根据相似三角形的性质推出，则的直径为4，根据圆的周长公式求解即可；
（2）连接，结合（1）等量代换得到，根据圆周角定理及直角三角形的性质得出，结合等腰三角形的性质推出，根据切线的判定定理即可得解．
【解答】（1）解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
的周长；
（2）证明：连接，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
22．如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点作于点．则，通过证明可得，设，则，利用勾股定理可求解的值，再结合角平分线的性质可求解．
【解答】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：如图，过点作于点．则，
，，
，
，
，，
，
，
即，
设，则，
，
，
，
解得，
即，
平分，，
．
23．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可；
（2）由切线的性质及勾股定理可得的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）证明：（1）连接；
，，又，
．
，
，．
．
．
是的切线．
（2）解：，，，
．
，
，
即，
，
，
，
在和中，，，
，
．
24．如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．
（1）求证：垂直平分；
（2）若的半径长为3，且，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）1．
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据等边对等角，等量代换求出，证得即可；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后根据计算得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接，
切于点，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
垂直平分；
（2）解：设，则，，
在中，，
，
解得：，（舍去），
．
25．如图，在中，，以为直径的交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接，证明，即可解决问题；
（2）连接，根据切线长定理可得，则，根据圆周角定理可得，由勾股定理可求出长为6，设，则，在中，，在中，，则，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
由（1）知，，
为的直径，，
是的切线，，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
设，则，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得：，
．
26．如图，在，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且是的切线．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．
【分析】（1）连接，根据圆周角的性质求得，根据等腰三角形的性质三效合一的性质得出，然后根据弦切角定理得出；
（2）连接，由的半径为5，解出，根据勾股定理求出，在根据勾股定理列方程求解．
【解答】（1）如图1，证明；连接，
为的直径，
，
，
，
是的切线，
，
；
（2）解：如图2，连接，
，
，
，
，
，
设，则，
是的直径，
，
，
，
解得：，
．