21.1一元二次方程【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

21.1一元二次方程【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
1.一元二次方程
定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一般形式 其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项
特殊形式 （只要满足，可以为任意实数） 三种形式 二次项系数 一次项系数 常数项
=0 0 0
0
0
一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．下列方程一定是一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
3．方程化为一般形式后，常数项为　　
A．2 B． C．1 D．
4．一元二次方程的两实数根相等，则的值为　　
A． B．或 C． D．或
5．下列关于的方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
6．在下列方程中，属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为　　
A． B．0 C．2 D．或2
8．下列方程中属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
9．下列方程中是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
10．若是关于的一元二次方程的解，则　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．一元二次方程的一般形式是 　　、
12．关于的一元二次方程的两个根为和2，请写出这个一元二次方程 　　．
13．若是方程的根，则　　．
14．已知是方程的解，则的值为 　　．
15．若是方程的一个根，则的值为 　　．
16．把一元二次方程化为一般形式是 　　．
17．是关于的一元二次方程的解，则　　．
18．若关于的方程是一元二次方程，则　　．
三．解答题（共8小题）
19．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中满足方程．
20．已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值．
21．化简求值：，已知是一元二次方程的实数根．
22．已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
23．已知代数式．
（1）化简；
（2）若是方程的根，求的值．
24．若关于，的二元一次方程组的解，．
（1）求的取值范围；
（2）若是一个直角三角形的直角边长，是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程的解，求这个直角三角形的面积．
25．（1）化简求值：，其中是方程的根；
（2）解方程：．
26．阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交点横坐标，是一元一次方程的解；在轴下方的图象所对应的的所有值是的解集，在轴上方的图象所对应的的所有值是的解集．
例，如图1，一次函数的图象与轴交于点，则可以得到关于的一元一次方程的解是；的解集为．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到的解集为　　；
（2）通过图2可以得到
①关于的一元二次方程的解为　　；
②关于的不等式的解集为　　．
21.1一元二次方程【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
1.一元二次方程
定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一般形式 其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项
特殊形式 （只要满足，可以为任意实数） 三种形式 二次项系数 一次项系数 常数项
=0 0 0
0
0
一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．下列方程一定是一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：、，是一元一次方程，不符合题意；
、，方程中含有两个未知数，不符合题意；
、，符合一元二次方程的定义，符合题意；
、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意；
故选：．
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：、不是一元二次方程，故此选项错误；
、不是一元二次方程，故此选项错误；
、是一元二次方程，故此选项正确；
、时，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：．
3．方程化为一般形式后，常数项为　　
A．2 B． C．1 D．
【答案】
【分析】把原方程化为一般式，即可求解．
【解答】解：，
，
常数项为．
故选：．
4．一元二次方程的两实数根相等，则的值为　　
A． B．或 C． D．或
【答案】
【分析】方程有两相等的实数根，则△，来确定值．
【解答】解：因为方程有两相等的实数根，△，
．故选：．
5．下列关于的方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：、是分式方程，故不符合题意；
、是一元三次方程，故不符合题意；
、是一元二次方程，故符合题意；
、是一元一次方程，故不符合题意；
故选：．
6．在下列方程中，属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得．
【解答】解：、是一元二次方程，则此项符合题意；
、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意；
、不是整式，不是一元二次方程，则此项不符题意；
、方程整理为，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，则此项不符题意；
故选：．
7．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为　　
A． B．0 C．2 D．或2
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求解．
【解答】解：一元二次方程的一个根为0，
且，
解得：．
故选：．
8．下列方程中属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：．方程是二元二次方程，选项不符合题意；
．方程是分式方程，选项不符合题意；
．方程是一元二次方程，选项符合题意；
．当时，方程是一元一次方程，选项不符合题意．
故选：．
9．下列方程中是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．方程是一元二次方程，故本选项符合题意，
．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是一元一次次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
故选：．
10．若是关于的一元二次方程的解，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把代入方程可得的值．
【解答】解：把代入方程得，
所以．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．一元二次方程的一般形式是 　　、
【答案】．
【分析】移项，把右边化为0，变为一般式即可．
【解答】解：，
即．
故答案为：．
12．关于的一元二次方程的两个根为和2，请写出这个一元二次方程 　（答案不唯一）　．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据方程的解的定义可以得到方程符合题意．
【解答】解：根据题意得：
．
故答案为：（答案不唯一）．
13．若是方程的根，则　1　．
【答案】1．
【分析】把代入方程中，计算即可得出答案．
【解答】解：把代入方程中，
得，
解得．
故答案为：1．
14．已知是方程的解，则的值为 　4　．
【答案】4．
【分析】根据一元二次方程的解，把把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把代入得，
，
解得．
故答案为：4．
15．若是方程的一个根，则的值为 　2023　．
【答案】2023．
【分析】根据题意可得，从而得到，再代入，即可求解．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：2023．
16．把一元二次方程化为一般形式是 　　．
【答案】．
【分析】把方程左右两边的因式分别相乘，再把右边的项移到左边，合并同类项即可．
【解答】解：，
，
故答案为：．
17．是关于的一元二次方程的解，则　　．
【分析】先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：．
18．若关于的方程是一元二次方程，则　　．
【答案】．
【分析】根据二次项次数不等于0，未知数最高次数是2可列出关于的关系式，计算即可．
【解答】解：由题意得：，
．
三．解答题（共8小题）
19．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中满足方程．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式
，
当时，原式；
（1）原式
，
，
满足方程，
，
则原式．
20．已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值．
【答案】1或．
【分析】根据题意得到是原方程的根，将其代入列出关于的新方程，通过解新方程求得的值．
【解答】解：方程有一个根的平方等于9，
是原方程的根，
当时，．
解得；
当时，，
解得．
综上所述，的值为1或．
21．化简求值：，已知是一元二次方程的实数根．
【答案】，．
【分析】先将分式按照分式的加减乘除法则进行化简，再根据是一元二次方程的实数根，可得，求出的值，再代入求值即可．
【解答】解：
，
是一元二次方程的实数根，
，
，
原式．
22．已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
【答案】．
【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入中即可求出结论．
【解答】解：是一元二次方程的实数根，
．
原式
，
代数式的值为．
23．已知代数式．
（1）化简；
（2）若是方程的根，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先进行同分母的减法运算，再约分和进行多项式乘法运算，然后合并即可；
（2）根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）
；
（2）是方程的根，
，
．
24．若关于，的二元一次方程组的解，．
（1）求的取值范围；
（2）若是一个直角三角形的直角边长，是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程的解，求这个直角三角形的面积．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）通过解方程组得到，然后解不等式组即可；
（2）利用勾股定理得到，解得（舍去），，从而得到的值，然后计算三角形的面积．
【解答】解：（1）解方程组得，
，
解得；
（2）解方程得，
根据题意得，
即，
整理得，解得（舍去），，
，
，
这个直角三角形的面积．
25．（1）化简求值：，其中是方程的根；
（2）解方程：．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简分式，然后将代入方程，可得，即可求出原分式的值；
（2）先化简，然后再去分母，解出，再检验即可．
【解答】解：（1），
是方程的根，
，
，
原式；
（2），
变形为：，
，
解得，
经检验，是分式方程的根，
．
26．阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交点横坐标，是一元一次方程的解；在轴下方的图象所对应的的所有值是的解集，在轴上方的图象所对应的的所有值是的解集．
例，如图1，一次函数的图象与轴交于点，则可以得到关于的一元一次方程的解是；的解集为．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到的解集为　　；
（2）通过图2可以得到
①关于的一元二次方程的解为　　；
②关于的不等式的解集为　　．
【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
（2）利用抛物线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
（3）利用不等式的解集即为轴上方对应的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）通过图1可以得到的解集为；
（2）通过图2可以得到
①关于的一元二次方程的解为，；
②关于的不等式的解集为，．
故答案为：；，；，．