22.1二次函数的图象与性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

22.1二次函数的图象与性质【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
1.二次函数的定义：一般地，形如(a)的函数。叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2.二次函数的图像和性质
a>0 a<0
图像
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0）
顶点坐标 （0，0） （0，0）
最值 当x=0时，=0 当x=0时，=0
增减性 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而减小
3.二次函数的图像和性质
(a>0) (a<0)
k>0 k<0 k>0 k<0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0）
顶点坐标 （0，k） （0，k）
最值 当x=0时，=k 当x=0时，=k
增减性 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而减小
二次函数(a≠0)与(a≠0)的图象的关系
二次函数(a≠0)的图象可以由的图象平移得到：.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减
4.二次函数的图像和性质
(a>0) (a<0)
h>0 h<0 h>0 h<0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x=h时，=0 当x=h时，=0
增减性 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而减小
二次函数与(a≠0)的图象的关系可以看作互相平移得到(h>0)：
左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变。
5.二次函数的图像和性质（顶点式）
h>0，k>0 h<0，k>0 h>0，k>0 h<0，k>0
图像
h<0，k<0 h>0，k<0 h<0，k<0 h>0，k<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，=k 当x=h时，=k
增减性 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而减小
二次函数的图像可以由的图象平移得到：
（方法一：先左右平移，再上下平移）
（方法二：先上下平移，再左右平移）
简记为：
上下平移，常数项上加下减；
左右平移，自变量左加右减.
二次项系数a不变.
6.二次函数+bx+c的图像和性质
函数 +bx+c(a，b，c是常数，a）
a>0 a<0
图像
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x= 直线x=
顶点坐标 （，）
最值 当x=时，= 当x=时，=
增减性 在对称轴的左侧，即x<时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>时，y随x的增大而减小
二次函数+bx+c的配方成顶点式的过程
+bx+c
=a（+x）+c..............“提”：提出二次项系数
=a[+x+-]+c..............“配”：括号内配成完全平方
=a[-]+c
=a-+c
=a..............“化”：化成顶点式
可知：h=，k=
7.用待定系数法求二次函数的解析式
已知条件 方法
已知三点坐标 用一般式：
已知顶点坐标或对称轴或最值 用顶点式：
已知抛物线与x轴的两个交点 用交点式：y=a(x-)(x-) (，0)，(，0)为抛物线与x轴的交点坐标)
对称轴=，A(，)，A(，) 两个点的纵坐标相同
步骤 ①设：根据题中已知条件，设函数解析式为或或y=a(x-)(x-) ②代：代入已知的三点的坐标后得到一个方程组； ③解：解方程组得到a，b，c等系数的值 ④还原：把求出的系数a，b，c还原到解析式中.
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．抛物线的顶点坐标为　　
A． B． C． D．
2．抛物线过四个点，，，，，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
3．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是　　
A． B．
C． D．
4．将抛物线向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是　　
A． B． C． D．
5．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为　　
A． B． C． D．
6．下列抛物线中，其顶点是抛物线的最高点的是　　
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是　　
A． B．
C． D．
8．把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
10．已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．填空题（共8小题）
11．已知抛物线．
（1）当时，将该抛物线向右平移3个单位，得到的关系式为 　　；
（2）当时，该抛物线与直线有交点，则的取值范围为 　　．
12．二次函数的对称轴为　 　．
13．抛物线的顶点坐标为 　　．
14．二次函数的最大值是 　　．
15．如果将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式为 　　．
16．将二次函数化为的形式，则　　，　　．
17．二次函数的顶点坐标是 　　．
18．将二次函数的图象向上平移3个单位，得到的图象的函数表达式为 　　．
三．解答题（共8小题）
19．已知二次函数，当为何值时，此二次函数以轴为对称轴？写出其函数关系式．
20．已知抛物线的顶点在轴上，求的值．
21．如图，以为顶点的抛物线交轴于点，经过点的直线交轴于点．
（1）用关于的代数式表示．
（2）若点在的下方，且，求该抛物线的函数表达式．
22．求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
23．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
24．用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
25．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，求得到的新抛物线解析式．
26．已知二次函数．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴和与轴的交点的坐标．
（2）自变量在什么范围内，随的增大而增大？在什么范围内，随的增大而减小？
22.1二次函数的图象与性质【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
1.二次函数的定义：一般地，形如(a)的函数。叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2.二次函数的图像和性质
a>0 a<0
图像
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0）
顶点坐标 （0，0） （0，0）
最值 当x=0时，=0 当x=0时，=0
增减性 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而减小
3.二次函数的图像和性质
(a>0) (a<0)
k>0 k<0 k>0 k<0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0）
顶点坐标 （0，k） （0，k）
最值 当x=0时，=k 当x=0时，=k
增减性 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而减小
二次函数(a≠0)与(a≠0)的图象的关系
二次函数(a≠0)的图象可以由的图象平移得到：.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减
4.二次函数的图像和性质
(a>0) (a<0)
h>0 h<0 h>0 h<0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x=h时，=0 当x=h时，=0
增减性 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而减小
二次函数与(a≠0)的图象的关系可以看作互相平移得到(h>0)：
左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变。
5.二次函数的图像和性质（顶点式）
h>0，k>0 h<0，k>0 h>0，k>0 h<0，k>0
图像
h<0，k<0 h>0，k<0 h<0，k<0 h>0，k<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，=k 当x=h时，=k
增减性 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而减小
二次函数的图像可以由的图象平移得到：
（方法一：先左右平移，再上下平移）
（方法二：先上下平移，再左右平移）
简记为：
上下平移，常数项上加下减；
左右平移，自变量左加右减.
二次项系数a不变.
6.二次函数+bx+c的图像和性质
函数 +bx+c(a，b，c是常数，a）
a>0 a<0
图像
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x= 直线x=
顶点坐标 （，）
最值 当x=时，= 当x=时，=
增减性 在对称轴的左侧，即x<时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>时，y随x的增大而减小
二次函数+bx+c的配方成顶点式的过程
+bx+c
=a（+x）+c..............“提”：提出二次项系数
=a[+x+-]+c..............“配”：括号内配成完全平方
=a[-]+c
=a-+c
=a..............“化”：化成顶点式
可知：h=，k=
7.用待定系数法求二次函数的解析式
已知条件 方法
已知三点坐标 用一般式：
已知顶点坐标或对称轴或最值 用顶点式：
已知抛物线与x轴的两个交点 用交点式：y=a(x-)(x-) (，0)，(，0)为抛物线与x轴的交点坐标)
对称轴=，A(，)，A(，) 两个点的纵坐标相同
步骤 ①设：根据题中已知条件，设函数解析式为或或y=a(x-)(x-) ②代：代入已知的三点的坐标后得到一个方程组； ③解：解方程组得到a，b，c等系数的值 ④还原：把求出的系数a，b，c还原到解析式中.
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．抛物线的顶点坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
2．抛物线过四个点，，，，，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出函数对称轴，再根据对称性判断出，再分和两种情况讨论即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，和，关于对称轴对称，即，
，
若，抛物线开口向下，，则，必小于0，不合题意，
，，，
，
解得：．
故选：．
3．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：．
4．将抛物线向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是　　
A． B． C． D．
【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．
【解答】解：将抛物线向左平移3个单位，得；
故所得抛物线的解析式为．
故选：．
5．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案．
【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为．
故选：．
6．下列抛物线中，其顶点是抛物线的最高点的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次函数的最值问题，有最高顶点，二次项系数小于0解答．
【解答】解：顶点是抛物线的最高点，
二次项系数小于0，
四个选项只有符合．
故选：．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】二次函数图象与轴交点的位置可确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由可知抛物线的开口向上，故不合题意；
二次函数与轴交于负半轴，则，
一次函数的图象经过经过第一、二、四象限，、选项不符合题意，符合题意；
故选：．
8．把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为：，即，
故选：．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据二次函数得抛物线开口向上，排除，根据一次函数，得直线与轴的正半轴相交，排除；根据抛物线得，故排除．
【解答】解：二次函数，
抛物线开口向上，
排除，
一次函数，
直线与轴的正半轴相交，
排除；
抛物线得，
排除；
故选：．
10．已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【分析】根据二次函数的图象及性质判断和的符号，从而得出点所在的象限．
【解答】解：由二次函数的图象的开口方向向上，对称轴在轴的右侧，
，，
，
在第四象限．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．已知抛物线．
（1）当时，将该抛物线向右平移3个单位，得到的关系式为 　　；
（2）当时，该抛物线与直线有交点，则的取值范围为 　　．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先将代入抛物线的解析式中，配方后根据左加右减可得结论；
（2）先计算抛物线的对称轴是：，分和两种情况列不等式组可解答．
【解答】解：（1）当时，抛物线，
将该抛物线向右平移3个单位，得到的关系式为：；
（2），
抛物线的对称轴是：直线，
中，当时，，当时，，
分两种情况：
①当时，
当时，该抛物线与直线有交点，
当时，，当时，，
，
解得：；
②当时，
当时，该抛物线与直线有交点，
当时，，当时，，
，
无解；
综上所述，则的取值范围为：；
故答案为：．
12．二次函数的对称轴为　　．
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【解答】解：由知该抛物线的对称轴为，
故答案为：．
13．抛物线的顶点坐标为 　　．
【答案】．
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
14．二次函数的最大值是 　9　．
【答案】9．
【分析】根据实数平方的非负性即可解答．
【解答】解：，
，
．
的最大值为9．
故答案为：9．
15．如果将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式为 　　．
【答案】．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线先向右平移1个单位得到解析式：，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：．
故答案为：．
16．将二次函数化为的形式，则　2　，　　．
【答案】2，．
【分析】直接利用配方法将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：
，
故，．
故答案为：2，．
17．二次函数的顶点坐标是 　　．
【答案】．
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
18．将二次函数的图象向上平移3个单位，得到的图象的函数表达式为 　　．
【答案】．
【分析】直接利用二次函数的平移规律：上加下减，即可得出答案．
【解答】解：把二次函数的图象向上平移3个单位所得到的图象的函数表达式是．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．已知二次函数，当为何值时，此二次函数以轴为对称轴？写出其函数关系式．
【分析】利用二次函数的对称轴方程为，当对称轴为轴时可知，代入可求得的值，再写出其函数关系式即可．
【解答】解：，
对称轴为，
当对称轴为轴时，可知，
即，解得，
其关系式为：．
20．已知抛物线的顶点在轴上，求的值．
【分析】根据二次函数的性质得，然后解关于的方程即可．
【解答】解：根据题意得，
解得或．
21．如图，以为顶点的抛物线交轴于点，经过点的直线交轴于点．
（1）用关于的代数式表示．
（2）若点在的下方，且，求该抛物线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点即可得到答案；
（2）利用待定系数法进行解答可得问题的答案．
【解答】解：（1）抛物线，
，
经过点的直线交轴于点，
．
（2）交轴于点，
，
，
，
，
把代入得，
，
，
，
，
代入得，，
抛物线的函数表达式为：．
22．求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【答案】开口方向向下、对称轴为直线、顶点坐标为．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解即可．
【解答】解：，
抛物线的开口方向向下、对称轴为直线、顶点坐标为．
23．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
【答案】抛物线的解析式．
【分析】设抛物线的解析式为，将代入可得的值，即可得到答案．
【解答】解：由抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得，
，
抛物线的解析式．
24．用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【答案】该函数图象的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【解答】解：二次函数，
该函数图象的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．
25．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，求得到的新抛物线解析式．
【答案】．
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标是．
抛物线向右平移1个单位，向上平移3个单位，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
新的抛物线解析式是．
26．已知二次函数．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴和与轴的交点的坐标．
（2）自变量在什么范围内，随的增大而增大？在什么范围内，随的增大而减小？
【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为和；
（2）当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．
【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点和对称轴，取，求出的值，即可确定图象与轴的交点坐标；
（2）根据二次项系数和对称轴的位置即可得出答案．
【解答】解：（1），
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
取，则，
解得或，
抛物线与轴的交点为和；
（2）抛物线的二次项系数小于0，
抛物线的开口向下，
又抛物线的对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小，
当时，随着的增大而增大．