22.2二次函数与一元二次方程【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

22.2二次函数与一元二次方程【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
8.二次函数与一元二次方程的区别与联系
二次函数与一元二次方程的关系 +bx+c+bx+c=0
△=>0 △==0 △=<0
一元二次方程+bx+c=0(a）的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根= 没有实数根
二次函数+bx+c(a）的图像 a>0
a<0
抛物线与x轴的交点 两个交点（，0）,（，0） 一个交点（，0） 没有交点
不等式的解集 a>0 x<或x> x≠的一切实数 全体实数
不等式的解集 不等式的解集 a<0 不等式的解集 x<或x> x≠的一切实数 全体实数
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
2．抛物线与轴的交点坐标是　　
A． B． C．， D．，
3．二次函数的图象经过点，，则关于的方程的根是　　
A．， B．， C．， D．，
4．关于函数，下列叙述中错误的是　　
A．函数图象经过原点
B．函数图象的最低点是
C．函数图象与轴的交点为，
D．当时，随的增大而增大
5．二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
6．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为　　
A． B．， C．， D．，
7．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移是正整数）个单位，使平移后的图象与轴没有交点，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
8．二次函数的图象与轴的交点情况是　　
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
10．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
二．填空题（共8小题）
11．抛物线与轴的交点是，，则这条抛物线的对称轴是直线　　
12．抛物线与轴的一个交点坐标是，则代数式的值为 　　．
13．抛物线与轴有 　　个交点．
14．如图表所给二次函数的解析式中，其图象不与轴相交的是 　　（填编号）；对于任意的二次函数，当、、满足 　　条件时，图象不与轴相交．
15．二次函数的图象与轴交于、两点，则　　．
16．若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 　　．
17．如果二次函数的图象与轴的一个交点是，则　　．
18．若抛物线与轴的一个交点坐标为，则该抛物线的对称轴为直线 　　．
三．解答题（共8小题）
19．已知二次函数．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当时，的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移 　　个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．
21．已知抛物线经过点．
（1）　　（用含的代数式表示）；
（2）若抛物线与轴的另一交点为，且．求的值；
（3）在（2）的条件下，当为整数时，记抛物线的顶点为．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，交轴于点，连结，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，当点在直线上方，作平行于轴，交于点，连结、，当时，求的面积．
23．已知二次函数，其中为实数．
（1）求证：不论为何值时，这个二次函数的图象与轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与轴交于点，和，，且，求这个二次函数的解析式．
24．已知二次函数．
（1）求出此函数的顶点坐标、对称轴；
（2）求抛物线与轴交点坐标和轴交点坐标；
（3）当时．求函数的取值范围．
25．二次函数的图象与轴交于点和点，并且经过点，试求该函数表达式．
26．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求、两点坐标及的面积．
22.2二次函数与一元二次方程【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
8.二次函数与一元二次方程的区别与联系
二次函数与一元二次方程的关系 +bx+c+bx+c=0
△=>0 △==0 △=<0
一元二次方程+bx+c=0(a）的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根= 没有实数根
二次函数+bx+c(a）的图像 a>0
a<0
抛物线与x轴的交点 两个交点（，0）,（，0） 一个交点（，0） 没有交点
不等式的解集 a>0 x<或x> x≠的一切实数 全体实数
不等式的解集 不等式的解集 a<0 不等式的解集 x<或x> x≠的一切实数 全体实数
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】作出草图，根据函数图象与性质，确定结果便可．
【解答】解：，
二次函数，，，开口大小为：．
其函数图象大致为：
．
故选：．
2．抛物线与轴的交点坐标是　　
A． B． C．， D．，
【分析】根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根来解决此题．
【解答】解：令，求出的值为与3，故交点坐标为，，
故选：．
3．二次函数的图象经过点，，则关于的方程的根是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据二次函数的图象经过点，，直接得出方程的根．
【解答】解：二次函数的图象经过点，，
关于的方程的根为，．
故选：．
4．关于函数，下列叙述中错误的是　　
A．函数图象经过原点
B．函数图象的最低点是
C．函数图象与轴的交点为，
D．当时，随的增大而增大
【分析】求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可解决问题．
【解答】解：对于抛物线，
令则，
令则或0，
抛物线经过原点，故正确，
抛物线与轴交于点，，故正确，
，
抛物线顶点为，故正确．
时，随的增大而增大，故错误，
故选：．
5．二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
【答案】
【分析】根据根的判别式与二次函数的定义列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
，即，
解得且．
故选：．
6．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为　　
A． B．， C．， D．，
【答案】
【分析】直接观察图象，抛物线与轴交于1，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一交点坐标，从而求得关于的一元二次方程的解．
【解答】解：观察图象可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
一元二次方程的解为，．
故选：．
7．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移是正整数）个单位，使平移后的图象与轴没有交点，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】根据点和是抛物线上的两点，可以得到的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数的最小值，本题得以解决．
【解答】解：点和是抛物线上的两点，
，
解得，，
抛物线解析式为，
将抛物线向上平移是正整数）个单位，使平移后的图象与轴没有交点，
的最小值是4，
故选：．
8．二次函数的图象与轴的交点情况是　　
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
【答案】
【分析】根据判别式△，得出结论．
【解答】解：△，
，
，
△，
二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：．
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先用求根公式和，求出，，根据求出的取值范围．
【解答】解：，
，
，
，，
，
，
故选：．
10．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】求二次函数与一次函数的交点坐标时，联立方程求解，求出的坐标既在二次函数上也在一次函数上，当时，求出来的就是交点的横坐标．
【解答】解：当时，即二次函数与一次函数的交点坐标的横坐标的值，
即和3，
故答案为：．
二．填空题（共8小题）
11．抛物线与轴的交点是，，则这条抛物线的对称轴是直线　　
【分析】利用抛物线与轴的交点为抛物线上的对称点确定抛物线的对称轴．
【解答】解：抛物线与轴的交点是，，
抛物线的对称轴为直线．
故答案为．
12．抛物线与轴的一个交点坐标是，则代数式的值为 　2020　．
【答案】2020．
【分析】把代入得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把代入得：
，
，
．
故答案为：2020．
13．抛物线与轴有 　2　个交点．
【答案】2．
【分析】先计算根的判别式的值得到△，然后根据根的判别式的意义可得到抛物线与轴的交点个数．
【解答】解：令，则．
△，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
14．如图表所给二次函数的解析式中，其图象不与轴相交的是 　①　（填编号）；对于任意的二次函数，当、、满足 　　条件时，图象不与轴相交．
【答案】①，．
【分析】根据判别式△的值即可确定图象与轴的交点情况．
【解答】解：若图象不与轴相交，则△，
对于，△，
①不与轴相交，
对于，△，
②与轴有交点，
对于，△，
③与轴有交点，
对于，顶点为，且开口向上，
④与轴有交点，
图象不与轴相交的是①，
对于任意的二次函数，
当△时，图象不与轴相交，
故答案为：①，．
15．二次函数的图象与轴交于、两点，则　3　．
【答案】3．
【分析】令，解关于的一元二次方程即可．
【解答】解：令，则，
，
，
解得：，，
，，
，
故答案为：3．
16．若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 　9　．
【答案】9．
【分析】根据抛物线与轴只有一个公共点，得出，解出即可．
【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，
，
，
故答案为：9．
17．如果二次函数的图象与轴的一个交点是，则　　．
【答案】．
【分析】根据题意把代入解析式即可．
【解答】解：二次函数的图象与轴的一个交点是，
，
解得：，
故答案为：．
18．若抛物线与轴的一个交点坐标为，则该抛物线的对称轴为直线 　　．
【答案】．
【分析】由解析式找到抛物线与轴的另一交点，根据对称性求出抛物线对称轴．
【解答】解：由可知，当时，，
抛物线过原点，
又抛物线与轴的一个交点坐标为，
对称轴为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．已知二次函数．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1）见解答；
（2）或．
【分析】（1）根据描点法画图；
（2）根据图象求解．
【解答】解：（1）函数图象如图所示；
（2）当时，的取值范围是或．
20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移 　1　个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．
【答案】（1）；
（2）1．
【分析】（1）把点代入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）求出抛物线的顶点坐标，根据纵坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）把点代入中，
得：，
解得，
；
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为，
把该抛物线向上平移1个单位后，与轴的交点个数位1，
故答案为：1．
21．已知抛物线经过点．
（1）　　（用含的代数式表示）；
（2）若抛物线与轴的另一交点为，且．求的值；
（3）在（2）的条件下，当为整数时，记抛物线的顶点为．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或．
【分析】（1）把点坐标代入抛物线的解析式便可得结果；
（2）求出点的所有坐标，再将、点坐标代入抛物线的解析式列出方程组解答便可；
（3）根据题意求得原抛物线的解析式及顶点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设出新抛物线的解析式，代入原点坐标便可求得结果．
【解答】解：（1）把代入，得，
，
故答案为：；
（2）抛物线与轴交于，两点，且，
或，
当点坐标为时，有，
解得
当点坐标为时，有，
解得，
综上，或；
（3）在（2）的条件下，当为整数时，则，，
抛物线的解析式为：，
顶点，，
设直线的解析式为：，则，
解得，
直线的解析式为：，
平移后的抛物线的顶点在直线上，
可设新抛物线的顶点的坐标为，
平移后的抛物线的解析式为：，
平移后的抛物线恰好经过原点，
，
解得或，
平移后的抛物线的解析式为或．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，交轴于点，连结，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，当点在直线上方，作平行于轴，交于点，连结、，当时，求的面积．
【答案】（1）；
（2）8．
【分析】（1）用的东西分数即可求解；（2）由，求出，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
即，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）设直线的表达式为：，
则，
解得，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
解得：，
则，
即的面积为8．
23．已知二次函数，其中为实数．
（1）求证：不论为何值时，这个二次函数的图象与轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与轴交于点，和，，且，求这个二次函数的解析式．
【答案】（1）见解析；
（2）或．
【分析】（1）判断二次函数与轴的交点情况，需要把问题转化为求方程的判别式的符号；
（2）已知二次函数的图象与轴交于点，，，，相当于已知此方程两根为，，可运用根与系数的关系解题，所求的值不受限制，结果有两个．
【解答】解：（1）令，可得方程：，
△，
不论取何实数，这个二次函数的图象与轴必有两个交点；
（2）令，可得方程：，
，，
即，
，
解得或5，
二次函数解析式为：或．
24．已知二次函数．
（1）求出此函数的顶点坐标、对称轴；
（2）求抛物线与轴交点坐标和轴交点坐标；
（3）当时．求函数的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）与轴交点坐标为：，；与轴交点坐标为；
（3）．
【分析】（1）化为顶点式求解即可；
（2）根据与轴的纵坐标，与轴的交点横坐标求解；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1），
此函数的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）当时，，
解得，，
与轴交点坐标为：，，
当时，，
与轴交点坐标为；
（3）二次函数图象如图，
，
二次函数图象开口向下，
当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，．
25．二次函数的图象与轴交于点和点，并且经过点，试求该函数表达式．
【答案】
【分析】设这个二次函数的表达式为，再将点代入求解即可得．
【解答】解：由题意，设这个二次函数的表达式为，
将点代入得：，
解得，
则，即，
故该函数表达式为．
26．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求、两点坐标及的面积．
【答案】（1）；
（2），，6．
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解；
（2）令，解方程得出点，坐标，再用三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式是；
（2）解：连接、，
抛物线与轴交于、两点．
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
，
又抛物线与轴交于点，
，
．