22.3实际问题与二次函数【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

22.3实际问题与二次函数【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
9.二次函数值的大小比较
方法
代入法 直接将横坐标x的值代入函数里比较y的大小
增减性法
距离比较法 开口向上：抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值就越大 开口向下：抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值就越小
10.二次函数+bx+c的最值
二次函数+bx+c的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
+bx+c的最值
当自变量x为全体实数时 当a>0时，，
当a<0时，，
当自变量x限定范围时 先判断对称轴是否在限定范围内， ①若在，则二次函数在x=时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定； ②若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
找二次函数+bx+c的最值的步骤 ①将一般式化成顶点式
②找到对称轴、顶点坐标和自变量的取值范围。
③如果对称轴在自变量取值范围内，则时，有或=（即用公式之间计算）
④如果对称轴不在自变量取值范围内，则根据增减性找自变量的端点来判断。
11.实际问题与二次函数
类型 方法及公式
几何图形的面积的步骤 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值.
商品的利润 ①总利润=销售量×单件利润 ②利润=售价成本 ③利润率=100%
实物抛物线
12.二次函数的图像与字母系数的关系
a的符号 a>0抛物线开口向上 |a|抛物线开口大小，|a|越大开口越小
a<0抛物线开口向上
b的符号 （） a，b同号对称轴在y轴左侧
a，b异号对称轴在y轴右侧
b=0对称轴为y轴
c的符号 c>0抛物线与y轴的交点在x轴上方
c<0抛物线与y轴的交点在x轴下方
c=0抛物线必过原点
△=的符号 △=>0抛物线与x轴有两个交点
△==0抛物线与x轴有一个交点
△=<0抛物线与x轴没有交点
△=≥0抛物线与x轴有交点
a+b+c的符号， ab+c的符号 4a+2b+c的符号x=2 4ab+c的符号 a+b+c表示x=1时的函数值，即x=1时，y=a+b+c，决定a+b+c的符号（找到x=1时所对应的点，看是在y轴正半轴还是负半轴）
ab+c表示x=1时的函数值，即x=1时，y=a-b+c，决定ab+c的符号（找到x=-1时所对应的点，看是在y轴正半轴还是负半轴）
4a+2b+c的符号，即x=2时的函数值，4ab+c的符号，即x=-2
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为，则窗框的透光面积关于的函数表达式为　　
A． B． C． D．
2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为　　
A． B． C． D．
3．在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数表达式为　　
A． B． C． D．
4．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数确定，其中为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的值为　　
A．2 B．4 C．2或 D．4或
5．飞机着陆后滑行的距离（单位：与滑行的时间（单位：的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来　　
A． B． C． D．
6．若二次函数的最小值是3，则的值是　　
A．4 B．或3 C．3 D．4或
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元与降价（元的函数关系为　　
A． B．
C． D．
8．已知实数，满足，则代数式的最大值为　　
A． B． C．4 D．5
9．函数的最小值是　　
A．1 B． C．3 D．
10．如图，物体从点抛出，物体的高度与飞行时间近似满足函数关系式，在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
二．填空题（共8小题）
11．已知中，边的长与边上的高的和为，当面积最大时，则其周长的最小值为　 　（用含的代数式表示）．
12．二次函数图象上的最高点的横坐标为 　　．
13．小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 　　．
14．如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边　　时，羊圈的面积最大．
15．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　　．
16．一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的截面为抛物线的单行隧道（从正中间通过），抛物线满足关系式．为保证安全，车顶离隧道至少要有的距离，则货车的限高应为 　　．
17．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是 　　．
18．二次函数的最小值是 　　．
三．解答题（共8小题）
19．如图，小明的爸爸在相距的两树等高位置处拴了一根绳子，做成一个简易的秋千，绳子自然下垂呈抛物线，已知身高的小明站在距离树的地方，头部刚好触到绳子．
（1）求抛物线的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）求绳子最低点离地面的距离．
20．某文具生产厂商在1月份生产每个书包成本为50元，2、3月份每个书包平均降低成本的百分率为．
（1）3月份每个书包的成本为　　元；（请用含的代数式表示）
（2）该书包2月份每件的销售价为60元，3月份每件的销售价比2月份有所下降，若下降的百分率与2、3月份每个书包平均降低成本的百分率相同，设3月份每个书包获得的利润为元．试求与的函数关系式；（注：利润销售价成本）
（3）在（2）下，若3月份每个书包的销售价不低于48元，并利用函数图象与性质求的最大值．
21．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时．拱高（点到的距离）为．
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
22．某网店在网上销每一种新型热水袋100件，每件售价40元，打出的促销广告是：若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，每件售价均降低0.2元．已知热水袋进价是每件20元，设顾客一次性购买热水袋（件时，该网店获利为（元．
（1）求（元与（件之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件热水袋时，该网店获利最大？最大利润是多少？
23．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）设这个苗圃园的面积为，求与之间的函数关系，并直接其自变量的取值范围；
（2）当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长．
24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的．设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2160元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2160元？
25．某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加部，
（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？
（2）当取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润最大，最大利润是多少？
26．旅行社组团去外地考察学习，10人起组团，每人单价1200元．该旅行社对超过10人的团给予优惠，即考察团每增加一人，每人的单价就降低20元．（每人单价不能低于800元）当考察团人数为多少人时，该旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？
22.3实际问题与二次函数【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
9.二次函数值的大小比较
方法
代入法 直接将横坐标x的值代入函数里比较y的大小
增减性法
距离比较法 开口向上：抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值就越大 开口向下：抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值就越小
10.二次函数+bx+c的最值
二次函数+bx+c的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
+bx+c的最值
当自变量x为全体实数时 当a>0时，，
当a<0时，，
当自变量x限定范围时 先判断对称轴是否在限定范围内， ①若在，则二次函数在x=时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定； ②若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
找二次函数+bx+c的最值的步骤 ①将一般式化成顶点式
②找到对称轴、顶点坐标和自变量的取值范围。
③如果对称轴在自变量取值范围内，则时，有或=（即用公式之间计算）
④如果对称轴不在自变量取值范围内，则根据增减性找自变量的端点来判断。
11.实际问题与二次函数
类型 方法及公式
几何图形的面积的步骤 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值.
商品的利润 ①总利润=销售量×单件利润 ②利润=售价成本 ③利润率=100%
实物抛物线
12.二次函数的图像与字母系数的关系
a的符号 a>0抛物线开口向上 |a|抛物线开口大小，|a|越大开口越小
a<0抛物线开口向上
b的符号 （） a，b同号对称轴在y轴左侧
a，b异号对称轴在y轴右侧
b=0对称轴为y轴
c的符号 c>0抛物线与y轴的交点在x轴上方
c<0抛物线与y轴的交点在x轴下方
c=0抛物线必过原点
△=的符号 △=>0抛物线与x轴有两个交点
△==0抛物线与x轴有一个交点
△=<0抛物线与x轴没有交点
△=≥0抛物线与x轴有交点
a+b+c的符号， ab+c的符号 4a+2b+c的符号x=2 4ab+c的符号 a+b+c表示x=1时的函数值，即x=1时，y=a+b+c，决定a+b+c的符号（找到x=1时所对应的点，看是在y轴正半轴还是负半轴）
ab+c表示x=1时的函数值，即x=1时，y=a-b+c，决定ab+c的符号（找到x=-1时所对应的点，看是在y轴正半轴还是负半轴）
4a+2b+c的符号，即x=2时的函数值，4ab+c的符号，即x=-2
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为，则窗框的透光面积关于的函数表达式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意可知窗户的透光面积为长方形，根据为，得出长为，根据长方形的面积公式即可得到和的函数关系式．
【解答】解：矩形窗框的周长为，为，
为，
．
故选：．
2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该函数的对称轴且，
，
故选：．
3．在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数表达式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据剩下部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，得出与的函数关系式即可．
【解答】解：设剩下部分的面积为，则：，
故选：．
4．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数确定，其中为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的值为　　
A．2 B．4 C．2或 D．4或
【答案】
【分析】根据题意可知：二次函数顶点的纵坐标，然后代入数据计算即可．
【解答】解：，其中为实数．其中某个喷泉水柱的最大高度是4，
，
解得，
故选：．
5．飞机着陆后滑行的距离（单位：与滑行的时间（单位：的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时，进而得出答案．
【解答】解：，
函数有最大值，
当（秒，
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：．
6．若二次函数的最小值是3，则的值是　　
A．4 B．或3 C．3 D．4或
【答案】
【分析】根据题意：二次函数的最小值是3，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式最小值列出关于的一元二次方程，解得的值即可．
【解答】解：二次函数的最小值是3，
，
，
整理，得，
解得或，
，
．
故选：．
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元与降价（元的函数关系为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为，根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解．
【解答】解：依题意，每星期的销售额（元与降价（元的函数关系为，
故选：．
8．已知实数，满足，则代数式的最大值为　　
A． B． C．4 D．5
【答案】
【分析】根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
当时，原式的值随着的增大而减小，
当时，原式取最大值为，
故选：．
9．函数的最小值是　　
A．1 B． C．3 D．
【答案】
【分析】利用二次函数顶点式求函数的最小值即可．
【解答】解：，
当时，的最小值是，
故选：．
10．如图，物体从点抛出，物体的高度与飞行时间近似满足函数关系式，在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【答案】
【分析】观察图象，顶点除外，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，据此求解即可．
【解答】解：当时，；
当时，，
或，
当且时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．已知中，边的长与边上的高的和为，当面积最大时，则其周长的最小值为　　（用含的代数式表示）．
【分析】设上的高为，则，的面积为，，根据二次函数的顶点坐标，可得出的值，过点作直线，再作出点关于直线的对称点，连接，交于点，从而得出周长的最小值．
【解答】解：设上的高为，
边的长与边上的高的和为，
，
设的面积为，
，
当面积最大时，
，
，
过点作直线，再作出点关于直线的对称点，连接，交于点，
当点与点重合时，周长的最小值，
，
，
，
的最小周长，
故答案为．
12．二次函数图象上的最高点的横坐标为 　　．
【答案】．
【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．
【解答】解：二次函数，
二次函数图象上的最高点的横坐标为：．
故答案为：．
13．小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 　　．
【答案】．
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到该函数的最大值，从而可以得到的值．
【解答】解：，
当时，取得最大值，
故他起跳后到重心最高时所用的时间是，
故答案为：．
14．如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边　15　时，羊圈的面积最大．
【答案】15．
【分析】根据题意和图形，可以写出面积与的长之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到当为何值时，羊圈的面积最大．
【解答】解：设为，面积为，
由题意可得：，
当时，取得最大值，
即时，羊圈的面积最大，
故答案为：15．
15．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　　．
【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是，并且过，利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可．
【解答】解：设，
因为抛物线过，
所以代入得：
，
解得，
故此抛物线的函数关系式为：
．
故答案为：．
16．一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的截面为抛物线的单行隧道（从正中间通过），抛物线满足关系式．为保证安全，车顶离隧道至少要有的距离，则货车的限高应为 　3.25　．
【答案】3.25．
【分析】根据车的宽度为2，求出时的函数值，再根据车顶离隧道至少要有的距离即可求出答案．
【解答】解：车的宽度为2米，车从正中通过，
时，，
货车安全行驶装货的最大高度为（米，
即货车的限高为：3.25；
17．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是 　　．
【答案】．
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
令，则，
整理得：，
解得：，（舍去），
该同学此次投掷实心球的成绩为，
故答案为：．
18．二次函数的最小值是 　　．
【答案】．
【分析】通过二次函数图象的特点可知函数有最小值，在顶点处取到，直接代值求解即可．
【解答】解：，
对称轴所在的直线为，
，
二次函数有最小值，在顶点处取到，
即当时，．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．如图，小明的爸爸在相距的两树等高位置处拴了一根绳子，做成一个简易的秋千，绳子自然下垂呈抛物线，已知身高的小明站在距离树的地方，头部刚好触到绳子．
（1）求抛物线的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）求绳子最低点离地面的距离．
【分析】（1）先找出抛物线上三点的坐标，然后依据待定系数法求解即可；
（2）当时，有最小值，从而可求得绳子最低点离地面的距离．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
由题意可知：抛物线经过点，，，
，
解得：，，．
抛物线的解析式为．
（2）将代入得：．
答：绳子最低点离地面的距离米．
20．某文具生产厂商在1月份生产每个书包成本为50元，2、3月份每个书包平均降低成本的百分率为．
（1）3月份每个书包的成本为　　元；（请用含的代数式表示）
（2）该书包2月份每件的销售价为60元，3月份每件的销售价比2月份有所下降，若下降的百分率与2、3月份每个书包平均降低成本的百分率相同，设3月份每个书包获得的利润为元．试求与的函数关系式；（注：利润销售价成本）
（3）在（2）下，若3月份每个书包的销售价不低于48元，并利用函数图象与性质求的最大值．
【分析】（1）由第二次增长后为，即 原数增长百分率）后来数，可得3月份每个书包的成本；
（2）先计算3月份的销售价为，根据利润销售价成本可得：与的函数关系式；
（3）先根据销售价不低于48元，列不等式可得的取值范围，再利用配方法和图象可得：的最大值．
【解答】解：（1）3月份每个书包的成本为：元，
（2），
（3）由题意得：，
，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，
．
21．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时．拱高（点到的距离）为．
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
【分析】（1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可；
（2）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把，代入求出、的值即可．
【解答】解：（1）设该抛物线的解析式是，
由图象知，点在函数图象上，代入得：
，
．
该抛物线的解析式是；
（2）设该抛物线的解析式是，
由图象知，点，，在函数图象上，代入得：
，
解得：，．
该抛物线的解析式是，
与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化．
22．某网店在网上销每一种新型热水袋100件，每件售价40元，打出的促销广告是：若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，每件售价均降低0.2元．已知热水袋进价是每件20元，设顾客一次性购买热水袋（件时，该网店获利为（元．
（1）求（元与（件之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件热水袋时，该网店获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；
（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．
【解答】解：（1）；
（2）在时，，当时，有最大值200；
在时，，
当时，取得最大值元，
顾客一次购买55件时，该网站从中获利最多，最大利润是605元．
23．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）设这个苗圃园的面积为，求与之间的函数关系，并直接其自变量的取值范围；
（2）当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长．
【答案】（1）与之间的函数关系为；
（2）垂直于墙的一边的长为10米．
【分析】（1）由长方形的面积公式建立二次函数即可，并根据实际意义求出自变量的取值范围；
（2）把代入（1）中解析式，解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米，平行于墙的一边长为米，
根据题意得：，
，
解得，
与之间的函数关系为；
（2）根据题意得：，
解得，，
，
，
垂直于墙的一边的长为10米．
24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的．设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2160元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2160元？
【分析】（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10件”，可知：月销售量上涨价格．每件售价不能高于进价的，需要注意的取值．
（2）配方后即可确定最大利润．
（3）列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由每件售价不能高于进价的可得售价不能大于元，
最大值为6
由题意，，且为整数）
（2）
，
时，的最大值为2250，
答：每件商品的售价定为55元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2250元．
（3）由题意，，解得或（舍去），
售价在范围时，每个月的利润不低于2160元．
答：每件商品的售价定为52元时，每个月的利润恰为2160元；售价在时，每个月的利润不低于2160元．
25．某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加部，
（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？
（2）当取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）甲种手机利润销售甲种手机的数量每件甲种手机的利润，根据这个关系即可列出方程；
（2）表示出第二期进的甲种手机售完后获得的总利润，根据二次函数，即可求出最大利润．
【解答】解：（1）根据题意，，
解得，，
所以第二期甲种手机售完后的利润为8400元，甲种手机应该增加10或20部；
（2），
当取15时，第二期进的甲手机售完后获得的总利润最大，最大总利润是8450元．
26．旅行社组团去外地考察学习，10人起组团，每人单价1200元．该旅行社对超过10人的团给予优惠，即考察团每增加一人，每人的单价就降低20元．（每人单价不能低于800元）当考察团人数为多少人时，该旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？
【分析】当时，每人单价为1200元；当时，根据每人单价原定每人单价因人数增减而减少的价格，可列函数关系；根据营业额每人单价人数，分别列出、的函数关系式，求出相应范围内的最值，比较可得．
【解答】解：当时，；
当时，；
故与间的函数关系式为：，
设旅行社可以获的营业额为元，
当时，；
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为12000元；
，
每人单价不低于800元，
，
解得：，
当时，取得最大值，最大值为元，
综上，当时，取得最大值24000元．
答：当考察团人数为30人时，该旅行社可以获得最大营业额，最大营业额是24000元．