专题4 追及与相遇问题-2024年高考物理一轮复习专题讲义（教案）

追及与相遇问题
考点一　速度大追速度小
1.分析思路: 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
一个临界条件：速度大者追速度小者：二者速度相等是判断能否追上的临界条件，若此时追不上，二者距离最小。
两个等量关系: 时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.常见情况解析:
典型示例 图像 说明
匀减速追匀速 开始追时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件； ②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
题型一 匀减速追匀加速
在水平轨道上有两列火车A和B，相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件？
v0≤
两车不相撞的临界条件：A车追上B车时其速度与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t′，B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图甲所示。现用三种方法解答如下：
法一　情境分析法
对A车有xA＝v0t′＋(－2a)×t′2，vA＝v0＋(－2a)×t′
对B车有xB＝at′2，vB＝at′
两车位移关系有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
法二　函数判断法
利用判别式求解，由题意可知xA＝x＋xB，即v0t′＋×(－2a)×t′2＝x＋at′2
整理得3at′2－2v0t′＋2x＝0
这是一个关于时间t′的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x＝0时，两车刚好不相撞，
解得v0＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
法三　图像分析法
利用v-t图像求解，作A、B两车的v -t图像，如图乙所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′
对B车有vB＝v′＝at′
以上两式联立解得t′＝
经t′时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知
x＝v0·t′＝v0·＝，
解得v0＝，
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
题型二 利用v－t图像分析追及相遇问题
(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
BD
t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m，故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m处，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝×1×10 m＝5 m，x乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
追及相遇问题常用以下三种方法：
(1)情境分析法
分析物体运动过程→画运动示意图→找位移关系→列位移方程
(2)图像分析法
①若为x－t图像，图像相交即代表两物体相遇。
②若为v－t图像，利用图像与坐标轴围成的面积进行分析。
③若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。
(3) 函数判断法
根据位移关系，写出关于t的一元二次方程，其中根的判别式。
当时，方程有两个不相等的实数根，即相遇两次；
当时，方程有两个相等的实数根，即只有一个解，相遇一次；
当时，方程无实数根，即无解，不能相遇。
1.(2023·重庆模拟)、两车在平直公路上沿同一方向行驶，两车运动的图象如图所示，在时刻，车在车前方处，在时间内，车的位移为，则( )
A. 若、在时刻相遇，则
B. 若、在时刻相遇，则
C. 若、在时刻相遇，则下次相遇时刻为
D. 若、在时刻相遇，则下次相遇时车速度为
B
A、由图象所围成的面积表示位移可知，在时间内，车的位移为，则车的位移为，若、在时刻相遇，则，故A错误；
B、若、在时刻相遇，由图象可知，阴影部分对应的面积等于，即，而已知在时间内，车的位移为，则可得，故B正确。
C、若、在时刻相遇，根据对称性知，下次相遇时刻为，故C错误。
D、若、在时刻相遇，根据对称性知，下次相遇时刻为，根据几何关系知下次相遇时车速度为，故D错误。
故选：。
2.(2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响．
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞．
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车．
(1) m/s2　(2)见解析
(1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t，则A车位移xA＝t ①
B车位移xB＝vBt ②
xA－xB＝s0 ③
由①②③式联立解得t＝ s
则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度
amin＝＝ m/s2＝ m/s2.
(2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s0＋2L＝vAt′＋at′2－vBt′，解得t′＝2 s
在此时间内，A车向前运动了xA1＝vAt′＋at′2
计算可得xA1＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车．
考点二　速度小追速度大
速度小者追速度大者：二者速度相等是判断能否追上的临界条件，若此时追不上，二者距离最大。
常见情况解析：
典型示例 图像 说明
匀加速追匀速 ①0～t0时段，后面物体与前面物体间距离不断增大； ②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离)； ③t>t0时，后面物体追及前面物体的过程中，两物体间距离不断减小； ④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
题型一 匀加速追匀速
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
2 s　6 m
法一 分析法：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s，Δx＝vt－at2＝6 m.
法二 二次函数法：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值为6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为6 m.
法三 图像法：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6 m/s
所以有t1＝＝ s＝2 s，
Δx＝＝ m＝6 m.
题型二 匀速运动追赶匀减速运动
汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少。
(2)经过多长时间A恰好追上B。
(1)16 m　(2)8 s
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB－xA＋x0＝16 m。
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝ ＝5 s，
运动的位移xB′＝＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δx＝xB′－xA′＋x0＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s。
求解追及、相遇问题时的2点技巧
“临界条件”分析：题目中的关键字眼，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等即为临界条件。
“实际情况”分析：（易错点）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体是否已经停止运动。
1.如图所示，在某次车模比赛中，可看成质点的甲、乙两汽车模型在同一直线上运动，相距s＝8 m，车模甲以v甲＝5 m/s的速度向右匀速运动，已关闭电源的车模乙此时的速度v乙＝12 m/s，向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，那么车模甲追上车模乙所用的时间为(　　)
A.s　　 B．8 s　 　C．8.8 s　 　D．s
C
车模乙速度减为0的时间t1＝＝s＝6 s，此时车模乙的位移x乙＝＝ m＝36 m，车模甲的位移x甲＝v甲t1＝5×6 m＝30 m，由于x甲2.(2021·甘肃兰州一中高三月考)A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8 m/s，B车的速度大小为v2＝20 m/s，如图所示。当A、B两车相距x0＝28 m时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离；
(2)A车追上B车所用的时间；
(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，题设条件下，在B车刹车的同时，A车刹车的最小加速度。
(1)64 m　(2)16 s　(3)0.25 m/s2
(1)当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得v1＝v2－at1
代入数据解得t1＝6 s
此时，根据位移时间的关系得xA1＝v1t1
xB1＝v2t1－at
Δxm＝xB1＋x0－xA1
代入数据解得Δxm＝64 m。
(2)B车刹车到停止运动所用时间
t0＝＝10 s
发生的位移xB2＝＝100 m
此时xA2＝v1t0＝80 m
则xA2＜x0＋xB2，
可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上B车，停止后A车运动时间为
t2＝＝6 s
故所用总时间为t＝t0＋t2＝16 s。
(3)A车刹车减速至0时刚好追上B车，加速度最小
代入数据解得aA＝0.25 m/s2。
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