人教版八年级上册第11章《三角形》单元测试卷 含解析

人教版八年级上册第11章《三角形》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．5，7，11
2．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．三角形的高线、中线、角平分线都是（　　）
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上情况都有
4．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．下列各图中，正确画出边上的高的是（　　）

A．图① B．图② C．图③ D．图④
6．如图，在中，，，是的平分线，则（ ）

A． B． C． D．
7．若一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
8．如图，是的中线，点D在线段上．若，，则的长是（ ）

A．7 B． C．8 D．
9．若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
10．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
二、填空题（共32分）
11．停自行车时，自行车的撑脚与地面形成一个三角形，这是运用了三角形的 性质．
12．正五边形的外角和等于 ．
13．过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为 ．
14．如图，在中，点是延长线上的一点，若，，则的度数是 ．

15．在△ABC中，∠C＝30°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2= 度．
17．如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝132°，则∠A等于 度，若∠A＝60°时，∠BOC又等于
18．如图，是的中线，为线段的中点，过点作于点．若，，则长为 ．

三、解答题（共58分）
19．（6分）已知，是三角形的三条边的长度，化简：
20．（8分）（1）正八边形的每个内角是每个外角的倍，求的值；
（2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
21．（8分）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数
22．（8分）如图，在中，是边上的高，为角平分线，若，求的度数．

23．（8分）如图所示，已知，试求的度数．

24．（10分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
25．（10分）如图，中，，是角平分线，交的延长线于点E．

(1)若，求的度数；
(2)①试求之间的数量关系；
②若，求的值．
参考答案：
1．A
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．
【详解】∵，与两边之和大于第三边矛盾，
∴A符合题意；
∵，构成三角形，
∴B不符合题意；
∵，满足两边之和大于第三边，
∴C不符合题意；
∵，构成三角形，
∴D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
2．C
【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．
【详解】解：A、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
B、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
C、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；
D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是利用三角形的稳定性判断．
3．B
【分析】根据三角形高线、中线、角平分线的定义作出判断．
【详解】三角形的高线、角平分线和中线都是线段，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题．
4．C
【分析】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可．
【详解】∵三角形的外角中有一个角是锐角，
∴与这个外角相邻的内角是钝角，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键．
5．D
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【详解】解：图①与不垂直，不符合题意；
图②不经过所对顶点B，不符合题意；
图③与不垂直，不符合题意；
图④与垂直，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，理解从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题关键．
6．C
【分析】先根据，，求出，再根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
是的平分线，
，
，是的外角，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
7．C
【分析】根据正多边形的每个内角都是，得出每个外角为，根据多边形的外角和求出结果即可．
【详解】解：∵正多边形的每个内角都是，
∴每个外角度数为，
∴这个正多边形的边数为，即这个正多边形是正八边形，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和外角，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角为．
8．A
【分析】先求出的长，再根据中线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．C
【分析】根据等腰三角形的性质和周长，分情况讨论：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为4cm，又因为，，所以能构成三角形，即可得；②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），又因为，，所以能构成三角形，即可得．
【详解】解：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为（cm），
∵，，
∴能构成三角形；
②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），
∵，，
∴能构成三角形，
综上，等腰三角形的腰长为11cm或7.5cm，
故选C．
10．C
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
11．稳定
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：自行车的撑脚与地面形成一个三角形，运用的是三角形的稳定性，
故答案为：稳定．
【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
12．360
【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度
∴正五边形的外解和也为360°
故答案为360
13．4
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线可得答案．
【详解】解：从七边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，
故答案为：4．
【点睛】本题考查多边形的对角线条数的公式，熟记从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线是解题的关键．
14．
【分析】根据三角形的外角性质得出，代入求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质的应用，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
15．90°．
【分析】根据三角形内角和得到∠A+∠B+∠C＝180°，而∠C＝30°，则可计算出∠A+∠B+＝150°，由于∠A﹣∠B＝30°，把两式相加消去∠B即可求得∠A的度数．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝30°，
∴∠A+∠B+＝150°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°．
故答案为90°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
16．270
【详解】∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90.
∵∠B+∠C+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360° 90°=270°.
故答案为270.
17． 84 120°
【分析】根据三角形内角和定理易得,利用角平分线定义可得:
进而利用三角形内角和定理可得∠A度数；
【详解】解：(1)
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，
(2) ,
,
故答案为84，120°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
18．/
【分析】连接，由三角形中线的性质可得，由为线段的中点可得，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，

是的中线，，
，
为线段的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形是解题的关键．
19．
【分析】先根据三角形的三边关系可得、、，然后根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可．
【详解】解：，，是三角形的三边长，
、、，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式的加减等知识点，熟练掌握三角形的三边关系和绝对值的性质是解题的关键．
20．（1）；（2）十四边形
【分析】（1）分别求出正八边形的每个内角和外角的度数，即可求解；
（2）设这个多边形的边数为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵正八边形的每个内角，正八边形的每个外角，
∴；
（2）设这个多边形的边数为，根据题意得：，
解得．
∴这个多边形是十四边形．
【点睛】此题考查多边形内角与外角，正确的列出方程组是解题的关键．
21．∠B＝40°．
【分析】先根据AE是角平分线，求出∠CAD的度数，由AD是高，求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，
∴∠CAE＝∠BAC＝40°，
∵∠EAD＝10°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟练于心，难度适中．
22．
【分析】先根据邻补角互补求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了邻补角互补，直角三角形两锐角互余，角平分的定义，三角形内角和定理，正确求出的度数是解题的关键．
23．
【分析】连接AD．由四边形ABCD的内角和定理可推得，然后证明，则可证．
【详解】解：连接．设与相交于点O．

由四边形的内角和可得：，
∵，
∴．
在与中，
∴
即
即(注：，)
【点睛】本题考查了三角形与多边形内角和求法，解题的关键是灵活运用所学的多边形内角和定理将所求的角集中在一起．
24．(1)证明见解析；
(2)①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，由∠C+∠CAM=∠P+∠PDM可得3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，由∠B+∠BDN=∠P+∠PAN可得（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB，进行等量代换即可解答；
【详解】（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，
△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3个；
以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4个；
②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，
△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，
∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN =∠P+∠PDM+∠P+∠PAN，
∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC，
∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM，
∴∠C+∠B=2∠P，
∴120°+100°=2∠P，
∴∠P=110°；
③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，
∴∠CAM=∠CAB，∠PAN=∠CAB，∠BDN=∠BDC，∠PDM=∠BDC，
△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，
∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=∠BDC-∠CAB，
3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，
△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，
∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=∠BDC-∠CAB，
（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB，
∴3（∠C-∠P）=（∠P-∠B），
2∠C-2∠P=∠P-∠B，
3∠P=∠B+2∠C；
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等式的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等知识；掌握等式的性质是解题关键．
25．(1)
(2)①，理由见解析；②．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求，根据角平分线的定义可求，根据三角形的外角定理可求，由此可求的度数；
（2）①按照（1）的推理过程即可求解；②由①中的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
（2）解：①，理由如下：
∵
平分
∴
∴
∵
∴
②由①得：
若，则
∴
【点睛】本题考查几何图形中的角度计算问题，涉及了角平分线的定义、三角形的内角和定理、外角定理．掌握“从特殊到一般”的数学思想是解题关键．