3.1.1函数的概念全题型最新同步训练（含解析）2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.1.1 函数的概念 （全题型最新同步训练）
高一数学新人教A版
考试范围：函数的概念；考试时间：60分钟；命题人：中学考试与预测组
一．选择题（共10小题）
1．设f（x）＝|x﹣1|﹣|x|，则＝（　　）
A． B．0 C． D．1
2．下列关系中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝
B．y＝4x2
C．y＝
D．
x 1 2 3 4
y 0 0 ﹣6 11
3．若，则方程f（4x）＝x的根是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
4．函数的定义域是（　　）
A．（﹣1，1） B．[﹣1，1]
C．[﹣1，0） （0，1] D．（﹣1，0） （0，1）
5．若函数f（x﹣1）的定义域为[﹣3，1]，则y＝（x﹣1）f（x）的定义域为（　　）
A．[﹣3，1] B．[﹣2，2] C．（﹣4，0） D．[﹣4，0]
6．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）
A． B．
C． D．f（x）＝x2+1
7．下列区间与集合{x|x＜﹣2或x≥0}相对应的是（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）
8．设函数y＝|x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，3]，下列结论正确的是（　　）
A．当a＝0时，b的值不唯一 B．当b＝1时，a的值不唯一
C．b﹣a的最大值为3 D．b﹣a的最小值为3
9．函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），对 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0），则a的取值范围是（　　）
A． B． C．[3，+∞） D．（0，3]
10．已知函数y＝f（x）的定义域为{a，b，c}，值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}的子集，则满足f（a）+f（b）+f（c）＝0的函数y＝f（x）的个数为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
二．多选题（共4小题）
（多选）11．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法正确的是（　　）
A．f（a）∈B B．若a＝b，则f（a）＝f（b）
C．若f（a）＝f（b），则a＝b D．f（a）有且只有一个
（多选）12．下列各组函数不是同一个函数的是（　　）
A．与
B．与
C．f（x）＝x+2与
D．与g（x）＝x+1
（多选）13．已知函数f（x）＝，则（　　）
A．f（x）的定义域为{x|x≠±2}
B．f（x）的图像关于x＝2对称
C．f（f（﹣5））＝﹣6
D．f（x）的值域是（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
（多选）14．一般地，若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f（x）的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f（x）的“跟随区间”．下列结论正确的是（　　）
A．若[1，a]为f（x）＝x2﹣2x+2的跟随区间，则a＝3
B．函数不存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数f（x）＝﹣x2+2x存在“3倍跟随区间”
三．填空题（共4小题）
15．已知f（x）＝x2，g（x）＝x．若实数m满足f（m）+g（﹣m）≤6，则m的取值范围是 　 　．
16．已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，则f（x）在区间[0，4]的值域为 　 　．
17．设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　．
18．定义区间（a，b），（a，b]，[a，b），[a，b]的长度均为b﹣a．已知m＞n，满足的x构成的区间的长度之和为 　 　．
四．解答题（共6小题）
19．已知函数，集合A＝{x|m﹣2＜x＜2m}．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）若“x∈D”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．
20．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
21．已知函数f（x）＝x+﹣2在x∈（1，+∞）时的最小值为m．
（1）求m；
（2）若函数g（x）＝的定义域为R，求a的取值范围．
22．设函数f（x）＝x2+x﹣．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[﹣，]，求a的值．
23．设函数f（x），若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）＝0；②f（x）＝2x；③f（x）＝；
你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由．
3.1.1 函数的概念 （全题型最新同步训练） 高一数学新人教A版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．设f（x）＝|x﹣1|﹣|x|，则＝（　　）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【解答】解：∵f（）＝|﹣1|﹣||＝0，∴f[f（）]＝f（0）＝1﹣0＝1．
故选：D．
2．下列关系中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝
B．y＝4x2
C．y＝
D．
x 1 2 3 4
y 0 0 ﹣6 11
【答案】A
【解答】解：对于A，因为y＝+的定义域为 ，所以y不是x的函数；
对于B，y＝4x2，定义域为R，是y关于x的二次函数；
对于C，y＝，是定义域为R上的分段函数；
对于D，y是x的函数，且定义域是{1，2，3，4}，值域是{0，﹣6，11}．
故选：A．
3．若，则方程f（4x）＝x的根是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵f（4x）＝x，
∴（x≠0）
化简得4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2＝0
解得，
故选：A．
4．函数的定义域是（　　）
A．（﹣1，1） B．[﹣1，1]
C．[﹣1，0） （0，1] D．（﹣1，0） （0，1）
【答案】D
【解答】解：函数，
则，即，即f（x）定义域是（﹣1，0） （0，1）．
故选：D．
5．若函数f（x﹣1）的定义域为[﹣3，1]，则y＝（x﹣1）f（x）的定义域为（　　）
A．[﹣3，1] B．[﹣2，2] C．（﹣4，0） D．[﹣4，0]
【答案】D
【解答】解：由题意可知﹣3≤x≤1，所以﹣4≤x﹣1≤0，所以f（x）的定义域为[﹣4，0]，
从而y＝（x﹣1）f（x）的定义域为[﹣4，0]．
故选：D．
6．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）
A． B．
C． D．f（x）＝x2+1
【答案】B
【解答】解：函数f（x）＝的值域为[0，+∞），
函数f（x）＝的值域为（0，+∞），
函数f（x）＝1﹣（x＞1）的值域为（0，1），
函数f（x）＝x2+1的值域为[1，+∞），
故选：B．
7．下列区间与集合{x|x＜﹣2或x≥0}相对应的是（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）
【答案】C
【解答】解：集合{x|x＜﹣2或x≥0}相对应的区间为（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞），
故选：C．
8．设函数y＝|x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，3]，下列结论正确的是（　　）
A．当a＝0时，b的值不唯一 B．当b＝1时，a的值不唯一
C．b﹣a的最大值为3 D．b﹣a的最小值为3
【答案】D
【解答】解：函数y＝|x﹣1|的图象如下所示，
由图可知，当a＝0时，b只能为4，即选项A错误；
当b＝1时，a只能为﹣2，即选项B错误；
b﹣a的最大值为4﹣（﹣2）＝6，b﹣a的最小值为3，即选项C错误，选项D正确．
故选：D．
9．函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），对 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0），则a的取值范围是（　　）
A． B． C．[3，+∞） D．（0，3]
【答案】A
【解答】解：设f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，
由题意可知：A＝[﹣1，3]，B＝[﹣a+2，2a+2]
∴
∴a≤
又∵a＞0，
∴0＜a≤
故选：A．
10．已知函数y＝f（x）的定义域为{a，b，c}，值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}的子集，则满足f（a）+f（b）+f（c）＝0的函数y＝f（x）的个数为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解答】解：由题意，满足f（a）+f（b）+f（c）＝0的函数y＝f（x）有：
第一类，函数值全为零，即f（a）＝f（b）＝f（c）＝0，共有1个函数；
第二类，函数值有一个为零，
即f（a）＝0，f（b）＝﹣2，f（c）＝2，
f（a）＝0，f（b）＝2，f（c）＝﹣2，
f（a）＝0，f（b）＝﹣1，f（c）＝1，
f（a）＝0，f（b）＝1，f（c）＝﹣1，
……
f（a）＝1，f（b）＝﹣1，f（c）＝0，
共有4×3＝12个函数；
第三类，函数值都不为零，
即f（a）＝﹣2，f（b）＝1，f（c）＝1，
f（a）＝2，f（b）＝﹣1，f（c）＝﹣1，
f（a）＝1，f（b）＝﹣2，f（c）＝1，
f（a）＝﹣1，f（b）＝2，f（c）＝﹣1，
f（a）＝1，f（b）＝1，f（c）＝﹣2，
f（a）＝﹣1，f（b）＝﹣1，f（c）＝2，
共有6个函数；
综上所述，共有19个不同的函数，
故选：D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法正确的是（　　）
A．f（a）∈B B．若a＝b，则f（a）＝f（b）
C．若f（a）＝f（b），则a＝b D．f（a）有且只有一个
【答案】ABD
【解答】解：A：由函数定义知：a∈A，则必有f（a）∈B，故A正确；
B、D：对任意x∈A都有唯一f（x）∈B，故a＝b，
则f（a）＝f（b），且f（a）有且只有一个，故BD正确；
C：对同一函数值可能有多个自变量与之对应，故f（a）＝f（b），则a＝b不一定成立，故C错误；
故选：ABD．
（多选）12．下列各组函数不是同一个函数的是（　　）
A．与
B．与
C．f（x）＝x+2与
D．与g（x）＝x+1
【答案】ABD
【解答】解：对于A，由x2﹣4≥0，得x≤﹣2或x≥2，所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2] [2，+∞），由，得x≥2，所以g（x）的定义域为[2，+∞），
所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A符合题意；
对于B，f（x）的定义域为（﹣∞，0） （0，+∞），g（x）的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B符合题意；
对于C，f（x）的定义域为R，g（t）的定义域为R，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C不符合题意；
对于D，f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），g（x）的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D符合题意．
故选：ABD．
（多选）13．已知函数f（x）＝，则（　　）
A．f（x）的定义域为{x|x≠±2}
B．f（x）的图像关于x＝2对称
C．f（f（﹣5））＝﹣6
D．f（x）的值域是（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
【答案】AC
【解答】解：由|x|﹣2≠0，可得x≠±2，所以f（x）的定义域为{x|x≠±2}，则A正确；
因为f（1）＝﹣4，f（3）＝4，所以f（1）≠f（3），所以f（x）的图象不关于直线x＝2对称，则B错误；
因为，所以f（f（﹣5））＝﹣6，则C正确；
因为x≠±2，所以|x|≥0，且|x|≠2，
所以|x|﹣2≥﹣2，且|x|﹣2≠0，
当﹣2≤|x|﹣2＜0时，，即f（x）≤﹣2，
当|x|﹣2＞0时，，即f（x）＞0，
所以f（x）的值域是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞），故D错误．
故选：AC．
（多选）14．一般地，若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f（x）的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f（x）的“跟随区间”．下列结论正确的是（　　）
A．若[1，a]为f（x）＝x2﹣2x+2的跟随区间，则a＝3
B．函数不存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数f（x）＝﹣x2+2x存在“3倍跟随区间”
【答案】CD
【解答】解：对于A选项，若[1，a]为f（x）＝x2﹣2x+2的跟随区间，
因为f（x）＝x2﹣2x+2在区间[1，a]为增函数，故其值域为[1，a2﹣2a+2]，
根据题意有a2﹣2a+2＝a，解得a＝1或a＝2，因为a＞1故a＝2．故A错误．
对于B选项，由题，因为函数在区间（﹣∞，0）与（0，+∞）上均为增函数，
若存在跟随区间[a，b]则有，即a，b为的两根．
即2x2﹣9x+4＝0的根．故．故B错误．
对于C选项，若函数存在跟随区间[a，b]，
因为为减函数，
故由跟随区间的定义可知，
即，
因为a＜b，所以．
易得．
所以，
令（t∈[0，1]）代入化简可得t2﹣t﹣m＝0，
同理也满足t2﹣t﹣m＝0，
即t2﹣t﹣m＝0在区间[0，1]上有两不相等的实数根．
故，解得，故C正确．
对于D选项，若f（x）＝﹣x2+2x存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[a，b]，值域为[3a，3b]．
当a＜b≤1时，易得f（x）＝﹣x2+2x在区间上单调递增，
此时易得a，b为方程3x＝﹣x2+2x的两根，
求解得x＝﹣1或x＝0．故定义域[﹣1，0]，则值域为[﹣3，0]．D正确．
故选：CD．
三．填空题（共4小题）
15．已知f（x）＝x2，g（x）＝x．若实数m满足f（m）+g（﹣m）≤6，则m的取值范围是 　[﹣2，3]．　．
【答案】[﹣2，3]．
【解答】解：∵f（x）＝x2，g（x）＝x．
实数m满足f（m）+g（﹣m）≤6，
即m2+（﹣m）≤6，
即m2﹣m﹣6≤0，
解得﹣2≤m≤3，
则m的取值范围是[﹣2，3]．
故答案为：[﹣2，3]．
16．已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，则f（x）在区间[0，4]的值域为 　[2，11]　．
【答案】[2，11]．
【解答】解：∵f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，其对称轴方程为x＝1∈[0，4]，
∴f（x）min＝f（1）＝2，f（x）max＝f（4）＝11，
∴f（x）在区间[0，4]的值域为[2，11]，
故答案为：[2，11]．
17．设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴f（x）＝＝1+，
则函数f（x）﹣1＝为奇函数，
则函数g（x）＝的最大值a和最小值b之和为0，即a+b＝0
将函数g（x）的图象向上平移一个单位得到函数f（x）的最大值M＝a+1．最小值为N＝b+1，
∴M+N＝a+1+b+1＝a+b+2＝2．
故答案为：2．
18．定义区间（a，b），（a，b]，[a，b），[a，b]的长度均为b﹣a．已知m＞n，满足的x构成的区间的长度之和为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：因为，所以≥1，
即﹣1≥0，则≤0，
设x2﹣（2+m+n）x+mn+m+n＝0的根为x1和x2．
由求根公式得x1＝∈（n，m），
x2＝＞m，
x1+x2＝2+m+n，如图所示：
由穿根法得不等式的解集为[n，x1]∪[m，x2]，
则构成的区间的长度之和（x1﹣n）+（x2﹣m）＝x1+x2﹣n﹣m＝2+m+n﹣m﹣n＝2，
故答案为：2．
四．解答题（共6小题）
19．已知函数，集合A＝{x|m﹣2＜x＜2m}．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）若“x∈D”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）要使f（x）有意义，则：；
解得x＜﹣1，或1＜x≤2；
∴f（x）的定义域D＝{x|1＜x≤2，或x＜﹣1}；
（2）∵“x∈D”是“x∈A”的必要条件；
∴A D；
∴①A＝ 时，m﹣2≥2m；
∴m≤﹣2；
②A≠ 时，或；
解得；
∴实数m的取值范围为．
20．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）要使原函数有意义，则，
解①得x≤﹣1或x≥4．
解②得x≠﹣3且x≠1．
∴的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，﹣1]∪[4，+∞）；
（2）要使原函数有意义，则，解得﹣1＜x≤0且x．
∴的定义域为（﹣1，﹣）∪（，0]．
21． 已知函数f（x）＝x+﹣2在x∈（1，+∞）时的最小值为m．
（1）求m；
（2）若函数g（x）＝的定义域为R，求a的取值范围．
【答案】（1）m＝3；（2）[0，12]．
【解答】解：（1）∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴，当且仅当，即x＝3时等号成立，
∴m＝3；
（2）由（1）可知的定义域为R，
∴不等式ax2﹣ax+3≥0的解集为R，
①a＝0时，3≥0恒成立，满足题意；
②a≠0时，，解得0＜a≤12，
∴综上得，a的取值范围为[0，12]．
22．设函数f（x）＝x2+x﹣．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[﹣，]，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣，
∴对称轴为x＝﹣．∵﹣＜0≤x≤3，
∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即．
（2）∵f（x）的最小值为﹣，
∴对称轴x＝﹣∈[a，a+1]．
∴
解得﹣≤a≤﹣．
∵区间[a，a+1]的中点为x0＝a+，
当a+≥﹣，即﹣1≤a≤﹣时，
f（x）最大值为f（a+1）＝．
∴（a+1）2+（a+1）﹣＝．
∴16a2+48a+27＝0．
∴a＝﹣．
当a+＜﹣，即﹣≤a＜﹣1时，
f（x）最大值为f（a）＝，
∴a2+a﹣＝．
∴16a2+16a﹣5＝0．
∴a＝﹣．
综上知a＝﹣或a＝﹣．
24．设函数f（x），若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）＝0；②f（x）＝2x；③f（x）＝；
你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①若f（x）＝0；则|f（x）|＝0，
∴当m＞0时，恒有|f（x）|≤m|x|成立，∴满足条件．
②f（x）＝2x；|f（x）|＝2|x|≤2|x|，
当m＝2时，|f（x）|≤m|x|成立，∴满足条件．
③f（x）＝；则＝，
∴当m＝时，|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，∴满足条件．
故只有①②④满足条件．