高二（上）数学开学考试 答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D A B B A C D AD CD ACD ABD
13．
14. 1
7或
16.
四、解答题： 本大题共 6小题， 其中第17题10分，其余小题每题 12分，共70分.
17解（1）20或-20
（2）45°
18.解：（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为
∵乙丙独立闯关，
根据独立事件同时发生的概率公式得：．
解得，．
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为．
（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关．
设“团体总分为4分”为事件A，
则
即团体总分为4分的概率为．
（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B，
由（2）知团体总分为4分的概率为，
团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为．
所以参加复赛的概率为．
即该小组参加复赛的概率为．
19．（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，
又E为PC的中点，所以，
又因为平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，则，
因为AD=AB=PA=PD=，
所以．
20．(本小题满分 12分)
设事件A：恰有1人生产时间少于65min，
则P（A）=.
21.(本小题满分 12分)
22.证明（1）由题意知 ，所以AC⊥BC，
又因为CC1⊥BC，且CC1∩AC＝C，AC平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又平面ACC1A1，所以BC⊥CP． ……2分
，即，所以AC＝AP，所以，
同理，所以，即PC1⊥CP． ……4分
又由于，所以B1C1⊥CP，且PC1∩B1C1＝C1，
又PC1平面PB1C1，B1C1平面PB1C1，
所以CP⊥平面PB1C1，
又因为平面PB1C，所以平面PB1C1⊥平面PB1C． ……5分
解：（2）由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，所以CP是直线BP在平面ACC1A1内的射影，
所以∠BPC就是直线BP与平面ACC1A1所成的角，即，
所以，所以由勾股定理得， ……7分
又由（1）知，A1 C 1，B1C1，CC1两两垂直，以C1C，C1B1，C1A1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设AA1＝2，则，，，
，
设平面的一个法向量为，
由于，所以，即，
令，则，即， ……9分
易知平面的一个法向量为， ……10分
设二面角B1﹣PC﹣C1的大小为，可知为锐角，所以. …11分
故二面角B1﹣PC﹣C1的正弦值为. ……12分2022级高二学年上学期开学考试试题
数学 6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（ ）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A． AB //CM B． AB CN C．MN //CD D．MN // EF
7．一组数据 4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11，3，则它们的 75%分位数
是（ ）
A.10.3 B.10.4 C.10.5 D.10.6
8．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，
2．在 ABC中，若 AB 4， BC 5， AC 6，则 AB BC （ ） 球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为
27 27 5 5 1
A． B． C． D． S 2πRH，球缺的体积公式为V π 3R H H 2 ，其中 R为球的半径，H为球缺的高．现有
2 2 2 2 3
3. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） 一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1: 2，则这两个球缺的体积之比为
A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球” （ ）
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
4. “治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人
民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水
平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕. 请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，
下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ） 1 11 3 7A． B． C． D．
9 20 10 20
A. 平均数大，方差大 B. 平均数大，方差小
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
C. 平均数小，方差大 D.平均数小，方差小 要求. 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
5. 已知事件 A与 B互斥，且 P(A) 0.4,P(B) 0.5，则（ ） 9．已知 i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（ ）
2
A． z z z 2 z
A. P(AB) 0.2 B. P(A B) 0.9 C. P(A) 0.5 D. P(B) 0.6
高二数学试题 共 3页 第 1页 （请在各题目的答题卡和答题纸区域内作答，超出答题限定区域的答案无效。）
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2022级高二学年上学期开学考试试题
B．若复数 z a bi a,b R ，则 z为纯虚数的充要条件是 a 0 A. A1,E,O三点共线 B.异面直线 BD与 AC1所成的角为 90°
C．若 z 1，则在复平面内 z对应的点 Z的集合确定的图形面积为2
C ABD 3 A ,B,F 8C.点 1到平面 1 的距离为 D.过点 1 的平面截该正方体所得截面的面积为
D． z 2+3i 3 9是关于 x的方程 x2 4x+13 0的一个根
10. 下列结论正确的是（ ） 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
A．已知向量 a ( ,2)，b 2 ( 3,1)，且 a与b的夹角为锐角，则 . 13．若一个圆锥的轴截面是面积为 3的等边三角形，则该圆锥的侧面积为__________．
3
B. ABC中，b 3,c 3,C ，则 ABC有两解 14. 已知向量 a，b满足 a 1 , b 3， a 2b 3，则 a b __________．
3
C. 向量 a ( 1,2)，b (5,7) 1能作为所在平面内的一组基底 15. 数据 x 2 2 21， x2， x3的方差为 x1 x2 x3 9，则数据2x1 1，2x2 1，2x3 1的3
1 2
D.已知平面内任意四点O, A,B,P满足OP OA OB ,则 A,B,P三点共线
3 3 平均数为_________．
11. 在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（ ） 16. 棱长为 6的正方体内有一个棱长为 x的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该
A． sin A sin B是 A B的充要条件 四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则 x的最
ABC a 4 2 b 4 3 A 45 B 60 大值为_________．B．在△ 中，若 ， ， ，则
四、解答题：本题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C．若 A 60 ， a 5，则△ABC 25面积的最大值为 3
4 17. (本小题满分 10分)
2
D．若 AC AB AB ，则△ABC (1)已知 a // b，且 a 5 , b 4，求 a b .为钝角三角形
12. 如图 , 已知正方体 ABCD A BC D 的棱长为1 ,O为底面 ABCD 的中心 , AC 交平面 (2)已知向量 a (4, 2)，b (3,1)，求 a与b的夹角 值.1 1 1 1 1
18. (本小题满分 12分)
A1BD于点 E , 点F 为棱CD的中点,则（ ）
甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的
1 1 1
概率为 ，甲、乙都闯关成功的频率为 ，乙、丙都闯关成功的概率为 ，每人闯关成功记 2
3 6 5
分，三人得分之和记为小组团体总分．
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（2）求团体总分为 4分的概率；
（3）若团体总分不小于 4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率．
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2022级高二学年上学期开学考试试题
19．(本小题满分 12分) 高？
如图，四棱锥 P ABCD中，ABCD为正方形，E为 PC的中点，平面 PAD⊥平面 ABCD，
（3）从第一组生产时间少于 75min 的工人中随机抽取 2人，求抽取 2人中，恰有 1人生产时间
PAAB= PAP=DPD =2 2 ．
少于 65min的概率.
（1）证明：PA //平面 BDE；
21. (本小题满分 12分)
（2）求三棱锥C BDP 的体积． 1
如图，在△ ABC中，AB = 2，cosB = ，点D在线段BC上.
3
（1）若 ADC 3 ，求AD的长；
4
（2）若BD = 2CD，△ ADC 4 2 sin BAD的面积为 ，求 的值.
3 sin CAD
20．(本小题满分 12分)
某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人 200人，乙车间有工人 400人，为比
较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，
乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min） 22．(本小题满分 12分)
进行统计，按照 55,65 ， 65,75 ， 75,85 ， 85,95 进行分组，得到下列统计图.
如图，四边形ACC 21A1与四边形BCC1B1是全等的矩形， AB 2AC AA ．2 1
（1）若 P是棱 AA1的中点，求证：平面 PB1C1⊥平面 PB1C；
（2 P 3 13）若 是棱 AA1上的点，直线 BP与平面 ACC1A1所成角的正切值为 ，
13
求二面角 B1﹣PC﹣C1的正弦值．
（1）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于 75min 的人数；
（2）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更
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