1.2.2直线的两点式方程 讲义（含解析）2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 1.2.2直线的两点式方程 讲义（含解析）2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 191.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-25 09:15:29 | ||
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文档简介
编号：003 课题:§1.2.2 直线的两点式方程
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线方程的两点式的形式特点和适用范围．
2、理解并掌握直线方程的截距式的形式特点和适用范围．
3、能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程．
4、能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：利用直线的两点式、截距式求直线方程．
难点：利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
教学过程赏析
基础知识积累
1.直线的两点式、截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 两点A(a,0), B(0,b),ab≠0
方程 = +=
【思考】
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示
【课前基础演练】
题1. 在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
题2.直线+=1过第一、三、四象限,则 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
题3（多选题）．已知直线l过点P，且与直线l1：2x－y＋3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则( )
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在x轴上的截距为－1
D．这样的直线l有两条
题4.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为 .
题5.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 .
【当堂巩固训练】
题6．过,的直线方程是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
题7.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为 ( )
A.- B. C.- D.
题8. 已知直线l过点,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为 ( )
A.2x-y=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0
D.2x-y=0或2x+y-4=0
题9. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题10（多选题）．下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线kx－y－2k＋3＝0必过定点
C．过点，且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－
D．斜率为－2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
题11(多选题)．过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．y＝－x＋5 B．y＝x＋5
C．y＝ D．y＝－
题12. 已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是 .
题13. 如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
题14．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.
题15．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为_____________，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为________.
题16．过点M(2，1)作直线l，分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B.
(1)当M为AB中点时，求直线l的方程；
(2)设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．
【课堂跟踪拔高】
题17. 若直线过点(,-3)和点(0,-4),则该直线的方程为 ( )
A.y=x-4 B.y=x+4 C.y=x-6 D.y=x+2
题18.已知动点P(t,t),Q(10-t,0),其中0A.M,N均在直线PQ上
B.M,N均不在直线PQ上
C.M不在直线PQ上,N可能在直线PQ上
D.M可能在直线PQ上,N不在直线PQ上
题19.经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )
A.x+y=2 B.x+y=1
C.x=1或y=1 D.x+y=2或x=y
题20.过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线方程是 ( )
A.=
B.=
C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
题21(多选题).下列说法正确的是 ( )
A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.直线-=-1在y轴上的截距为b.
题22.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为 .
题23.过点P(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条,方程为 .
题24．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
题25.根据下列条件分别求直线l的方程:
(1)直线过点P(2,3),直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0;
(2)直线l经过点B(-2,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
题26.已知直线方程为y+2=k(x+1).
(1)若直线的倾斜角为135°,求k的值;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
编号：003 课题:§1.2.2 直线的两点式方程
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线方程的两点式的形式特点和适用范围．
2、理解并掌握直线方程的截距式的形式特点和适用范围．
3、能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程．
4、能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：利用直线的两点式、截距式求直线方程．
难点：利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
教学过程赏析
基础知识积累
1.直线的两点式、截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 两点A(a,0), B(0,b),ab≠0
方程 = +=1
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示
提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴.
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示
提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.
【课前基础演练】
题1. 在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选C.由直线的截距式方程可得+=1.
题2.直线+=1过第一、三、四象限,则 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.
题3（多选题）．已知直线l过点P，且与直线l1：2x－y＋3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则( )
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在x轴上的截距为－1
D．这样的直线l有两条
【解析】选AB.因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线2x－y＋3＝0的斜率为2，知直线l的斜率为－2，可得直线l的方程为y－1＝－2，令y＝0，可得在x轴上的截距为－，故选项C错误；过P(－1，1)且斜率为－2的直线只有一条，故选项D错误．
题4.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为 .
【解析】AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得=,即2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
题5.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 .
【解析】设直线在x轴上的截距为a(a≠0),则在y轴上的截距为a-1,由截距式可得:+=1,将代入直线方程,解得:a=2或3,所以代入直线方程可得,+y=1或+=1.
答案:+y=1或+=1
【当堂巩固训练】
题6．过,的直线方程是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
【解析】选B.所求直线过点,,将两点坐标代入两点式,得=.
题7.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选A.由两点式方程=,
知直线l过点(-5,0),(3,-3),
所以l的斜率为=-.
题8. 已知直线l过点,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为 ( )
A.2x-y=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0
D.2x-y=0或2x+y-4=0
【思路导引】直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系,应考虑直线过原点和不过原点两类,分别设出方程,再由直线l过点求得直线方程.
【解析】选D.根据题意,直线l分2种情况讨论:
①当直线过原点时,又由直线经过点,
所以所求直线方程为y=2x,整理得2x-y=0,
②当直线不过原点时,
设直线l的方程为+=1,
代入点的坐标得+=1,解得a=2,
此时直线l的方程为+=1,
整理为2x+y-4=0.
故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.
题9. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数.当直线过原点时直线方程为y=2x;
当直线不过原点时设直线方程为+=1,
又因为截距互为相反数,则b=-a,
将点代入有+=1,
解得a=-1,此时直线方程为:x-y+1=0.
综上,满足过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条.
题10（多选题）．下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线kx－y－2k＋3＝0必过定点
C．过点，且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－
D．斜率为－2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
【解析】选ABC.对于A，由直线经过第一、二、四象限可得：k<0，b>0，所以在第二象限，A正确；对于B，由kx－y－2k＋3＝0得k＋＝0，则直线恒过定点，B正确；对于C，由点斜式方程知该直线方程为：y＋1＝－(x－2)，C正确；对于D，由斜截式方程知该直线方程为y＝－2x＋3，D错误．
题11(多选题)．过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．y＝－x＋5 B．y＝x＋5
C．y＝ D．y＝－
【解析】选AC.当直线过坐标原点时，直线方程为y＝；当直线不过坐标原点时，设直线方程为＋＝1，代入点A(4，1)，可得a＝5，即y＝－x＋5.
题12. 已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是 .
【解析】直线AB的方程为+=1,设P(x,y),则x=3-y,所以xy=3y-y2=(-y2+4y)=[-(y-2)2+4]≤3.即当P点坐标为时,xy取得最大值3.
答案:3
题13. 如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
【思路导引】利用直线l过点P(2,1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系,由均值不等式得解.
【解析】设直线l为+=1(a>0,b>0),
因为直线l过点P(2,1),则有+=1,
三角形OAB的面积为S=ab.对+=1,
利用均值不等式得1=+≥2=,即ab≥8.于是,三角形OAB的面积为S=ab≥4.
当且仅当a=4,b=2时等号成立.
答案:4
题14．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.
【解析】直线AB的方程为＋＝1，设P(x，y)，则x＝3－y，所以xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
答案：3
题15．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为_____________，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为________.
【解析】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为＋＝1，因为直线过P(1，2)，所以＋＝1，即a＝－1，直线方程为y＝x＋1.当直线方程为y＝x＋1时，与x轴的交点坐标为
(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，1)，所以三角形面积为×1×1＝.
答案：y＝x＋1
题16．过点M(2，1)作直线l，分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B.
(1)当M为AB中点时，求直线l的方程；
(2)设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．
【解析】(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1，因为M(2，1)为AB中点，所以＝2，＝1，
所以a＝4，b＝2，则直线l的方程为＋＝1.
(2)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1，又点M(2，1)在直线l上，
所以＋＝1.因为1＝＋≥2，所以ab≥8，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，所以S＝ab≥4，所以直线l的方程为＋＝1.
【课堂跟踪拔高】
题17. 若直线过点(,-3)和点(0,-4),则该直线的方程为 ( )
A.y=x-4 B.y=x+4 C.y=x-6 D.y=x+2
【解析】选A.方法一:因为直线过点(,-3)和点(0,-4),
所以直线的方程为=,整理得y=x-4;
方法二:因为直线过点(,-3)和点(0,-4),
所以直线的斜率为k=,
所以直线的方程为y+4=x,整理得y=x-4.
题18.已知动点P(t,t),Q(10-t,0),其中0A.M,N均在直线PQ上
B.M,N均不在直线PQ上
C.M不在直线PQ上,N可能在直线PQ上
D.M可能在直线PQ上,N不在直线PQ上
【解析】选C.因为动点P(t,t),Q(10-t,0),其中0把N(4,5)代入PQ,得:t2-16t+50=0,所以N有可能在直线PQ上.
题19.经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )
A.x+y=2 B.x+y=1
C.x=1或y=1 D.x+y=2或x=y
【解析】选D.当直线过原点时,斜率为1,由点斜式求得直线的方程是y-1=x-1即y=x;当直线不过原点时,设直线的方程是+=1,把点M(1,1)代入方程得a=2,直线的方程是x+y=2.综上,所求直线的方程为y=x或x+y=2.
题20.过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线方程是 ( )
A.=
B.=
C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
【解析】选C.当x1≠x2时,过点A,B的直线的斜率k=,直线方程是y-y1=(x-x1),整理得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0;当x1=x2时,过点A,B的直线方程是x=x1或x=x2,即x-x1=0或x-x2=0,满足(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0.
所以过A,B两点的直线方程是(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0.
题21(多选题).下列说法正确的是 ( )
A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.直线-=-1在y轴上的截距为b.
【解析】选BD.若直线过原点,横纵截距都为零,则不能用方程+=1表示,所以A不正确;
当m=0时,平行于y轴的直线方程形式为x=2,所以B正确;
若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,所以C不正确;
原方程整理为+=1,所以在y轴上的截距为b,所以D正确.
题22.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为 .
【解析】设直线l的方程为+=1,则|ab|=3,且-=,
解得或,所以直线l的方程为+=1或+=1,即x-6y+6=0或x-6y-6=0.
答案:x-6y+6=0或x-6y-6=0
题23.过点P(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条,方程为 .
【解析】①当截距不为0,且截距相等时,
设直线的截距为a,则直线方程为:+=1,
将点P坐标代入直线方程解得a=2,所以直线方程为+=1;
②当截距不为0,且截距互为相反数时,
设直线的横截距为a,则纵截距为-a,则直线方程为:+=1,
将点P坐标代入直线方程,解得:a=4,
所以直线方程为:-=1;
③当截距为0时,设直线方程为:y=kx,代入点P,可得:
k=-,直线方程为:x+3y=0,故直线有3条.
答案:3 x+3y=0,+=1,-=1
题24．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
所以或 解得a≤－1.综上a≤－1.
题25.根据下列条件分别求直线l的方程:
(1)直线过点P(2,3),直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0;
(2)直线l经过点B(-2,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
【解析】(1)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b,由已知,a+b=0,即b=-a;
①当b=-a=0时,则直线l过点(0,0),得直线l的方程为3x-2y=0;
②当b=-a≠0时,则直线l的方程为+=1,
将点P(2,3)代入得+=1,解得a=-1;
所以直线l的方程为x-y+1=0.
所以直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
(2)由已知,所求直线的斜率为±1,又过点B(-2,4),
由点斜式得y-4=x+2或y-4=-(x+2),
故所求直线的方程为x-y+6=0或x+y-2=0.
题26.已知直线方程为y+2=k(x+1).
(1)若直线的倾斜角为135°,求k的值;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
【解析】(1)由题意可得k=tan 135°=tan(180°-45°)=-tan 45°=-1.
(2)在直线AB的方程中,令y=0可得x=,即点A(,0),
令x=0可得y=k-2,即点B(0,k-2),由已知可得,解得k<0,所以,S△AOB=(2-k)·=-·=-(k+-4) =≥=4,
当且仅当k=-2时,等号成立,故△AOB面积的最小值为4,
此时直线的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线方程的两点式的形式特点和适用范围．
2、理解并掌握直线方程的截距式的形式特点和适用范围．
3、能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程．
4、能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：利用直线的两点式、截距式求直线方程．
难点：利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
教学过程赏析
基础知识积累
1.直线的两点式、截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 两点A(a,0), B(0,b),ab≠0
方程 = +=
【思考】
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示
【课前基础演练】
题1. 在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
题2.直线+=1过第一、三、四象限,则 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
题3（多选题）．已知直线l过点P，且与直线l1：2x－y＋3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则( )
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在x轴上的截距为－1
D．这样的直线l有两条
题4.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为 .
题5.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 .
【当堂巩固训练】
题6．过,的直线方程是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
题7.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为 ( )
A.- B. C.- D.
题8. 已知直线l过点,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为 ( )
A.2x-y=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0
D.2x-y=0或2x+y-4=0
题9. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题10（多选题）．下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线kx－y－2k＋3＝0必过定点
C．过点，且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－
D．斜率为－2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
题11(多选题)．过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．y＝－x＋5 B．y＝x＋5
C．y＝ D．y＝－
题12. 已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是 .
题13. 如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
题14．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.
题15．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为_____________，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为________.
题16．过点M(2，1)作直线l，分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B.
(1)当M为AB中点时，求直线l的方程；
(2)设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．
【课堂跟踪拔高】
题17. 若直线过点(,-3)和点(0,-4),则该直线的方程为 ( )
A.y=x-4 B.y=x+4 C.y=x-6 D.y=x+2
题18.已知动点P(t,t),Q(10-t,0),其中0
B.M,N均不在直线PQ上
C.M不在直线PQ上,N可能在直线PQ上
D.M可能在直线PQ上,N不在直线PQ上
题19.经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )
A.x+y=2 B.x+y=1
C.x=1或y=1 D.x+y=2或x=y
题20.过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线方程是 ( )
A.=
B.=
C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
题21(多选题).下列说法正确的是 ( )
A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.直线-=-1在y轴上的截距为b.
题22.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为 .
题23.过点P(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条,方程为 .
题24．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
题25.根据下列条件分别求直线l的方程:
(1)直线过点P(2,3),直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0;
(2)直线l经过点B(-2,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
题26.已知直线方程为y+2=k(x+1).
(1)若直线的倾斜角为135°,求k的值;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
编号：003 课题:§1.2.2 直线的两点式方程
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线方程的两点式的形式特点和适用范围．
2、理解并掌握直线方程的截距式的形式特点和适用范围．
3、能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程．
4、能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：利用直线的两点式、截距式求直线方程．
难点：利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
教学过程赏析
基础知识积累
1.直线的两点式、截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 两点A(a,0), B(0,b),ab≠0
方程 = +=1
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示
提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴.
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示
提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.
【课前基础演练】
题1. 在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选C.由直线的截距式方程可得+=1.
题2.直线+=1过第一、三、四象限,则 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.
题3（多选题）．已知直线l过点P，且与直线l1：2x－y＋3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则( )
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在x轴上的截距为－1
D．这样的直线l有两条
【解析】选AB.因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线2x－y＋3＝0的斜率为2，知直线l的斜率为－2，可得直线l的方程为y－1＝－2，令y＝0，可得在x轴上的截距为－，故选项C错误；过P(－1，1)且斜率为－2的直线只有一条，故选项D错误．
题4.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为 .
【解析】AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得=,即2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
题5.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 .
【解析】设直线在x轴上的截距为a(a≠0),则在y轴上的截距为a-1,由截距式可得:+=1,将代入直线方程,解得:a=2或3,所以代入直线方程可得,+y=1或+=1.
答案:+y=1或+=1
【当堂巩固训练】
题6．过,的直线方程是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
【解析】选B.所求直线过点,,将两点坐标代入两点式,得=.
题7.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选A.由两点式方程=,
知直线l过点(-5,0),(3,-3),
所以l的斜率为=-.
题8. 已知直线l过点,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为 ( )
A.2x-y=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0
D.2x-y=0或2x+y-4=0
【思路导引】直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系,应考虑直线过原点和不过原点两类,分别设出方程,再由直线l过点求得直线方程.
【解析】选D.根据题意,直线l分2种情况讨论:
①当直线过原点时,又由直线经过点,
所以所求直线方程为y=2x,整理得2x-y=0,
②当直线不过原点时,
设直线l的方程为+=1,
代入点的坐标得+=1,解得a=2,
此时直线l的方程为+=1,
整理为2x+y-4=0.
故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.
题9. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数.当直线过原点时直线方程为y=2x;
当直线不过原点时设直线方程为+=1,
又因为截距互为相反数,则b=-a,
将点代入有+=1,
解得a=-1,此时直线方程为:x-y+1=0.
综上,满足过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条.
题10（多选题）．下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线kx－y－2k＋3＝0必过定点
C．过点，且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－
D．斜率为－2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
【解析】选ABC.对于A，由直线经过第一、二、四象限可得：k<0，b>0，所以在第二象限，A正确；对于B，由kx－y－2k＋3＝0得k＋＝0，则直线恒过定点，B正确；对于C，由点斜式方程知该直线方程为：y＋1＝－(x－2)，C正确；对于D，由斜截式方程知该直线方程为y＝－2x＋3，D错误．
题11(多选题)．过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．y＝－x＋5 B．y＝x＋5
C．y＝ D．y＝－
【解析】选AC.当直线过坐标原点时，直线方程为y＝；当直线不过坐标原点时，设直线方程为＋＝1，代入点A(4，1)，可得a＝5，即y＝－x＋5.
题12. 已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是 .
【解析】直线AB的方程为+=1,设P(x,y),则x=3-y,所以xy=3y-y2=(-y2+4y)=[-(y-2)2+4]≤3.即当P点坐标为时,xy取得最大值3.
答案:3
题13. 如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
【思路导引】利用直线l过点P(2,1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系,由均值不等式得解.
【解析】设直线l为+=1(a>0,b>0),
因为直线l过点P(2,1),则有+=1,
三角形OAB的面积为S=ab.对+=1,
利用均值不等式得1=+≥2=,即ab≥8.于是,三角形OAB的面积为S=ab≥4.
当且仅当a=4,b=2时等号成立.
答案:4
题14．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.
【解析】直线AB的方程为＋＝1，设P(x，y)，则x＝3－y，所以xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
答案：3
题15．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为_____________，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为________.
【解析】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为＋＝1，因为直线过P(1，2)，所以＋＝1，即a＝－1，直线方程为y＝x＋1.当直线方程为y＝x＋1时，与x轴的交点坐标为
(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，1)，所以三角形面积为×1×1＝.
答案：y＝x＋1
题16．过点M(2，1)作直线l，分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B.
(1)当M为AB中点时，求直线l的方程；
(2)设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．
【解析】(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1，因为M(2，1)为AB中点，所以＝2，＝1，
所以a＝4，b＝2，则直线l的方程为＋＝1.
(2)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1，又点M(2，1)在直线l上，
所以＋＝1.因为1＝＋≥2，所以ab≥8，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，所以S＝ab≥4，所以直线l的方程为＋＝1.
【课堂跟踪拔高】
题17. 若直线过点(,-3)和点(0,-4),则该直线的方程为 ( )
A.y=x-4 B.y=x+4 C.y=x-6 D.y=x+2
【解析】选A.方法一:因为直线过点(,-3)和点(0,-4),
所以直线的方程为=,整理得y=x-4;
方法二:因为直线过点(,-3)和点(0,-4),
所以直线的斜率为k=,
所以直线的方程为y+4=x,整理得y=x-4.
题18.已知动点P(t,t),Q(10-t,0),其中0
B.M,N均不在直线PQ上
C.M不在直线PQ上,N可能在直线PQ上
D.M可能在直线PQ上,N不在直线PQ上
【解析】选C.因为动点P(t,t),Q(10-t,0),其中0
题19.经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )
A.x+y=2 B.x+y=1
C.x=1或y=1 D.x+y=2或x=y
【解析】选D.当直线过原点时,斜率为1,由点斜式求得直线的方程是y-1=x-1即y=x;当直线不过原点时,设直线的方程是+=1,把点M(1,1)代入方程得a=2,直线的方程是x+y=2.综上,所求直线的方程为y=x或x+y=2.
题20.过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线方程是 ( )
A.=
B.=
C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
【解析】选C.当x1≠x2时,过点A,B的直线的斜率k=,直线方程是y-y1=(x-x1),整理得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0;当x1=x2时,过点A,B的直线方程是x=x1或x=x2,即x-x1=0或x-x2=0,满足(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0.
所以过A,B两点的直线方程是(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0.
题21(多选题).下列说法正确的是 ( )
A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.直线-=-1在y轴上的截距为b.
【解析】选BD.若直线过原点,横纵截距都为零,则不能用方程+=1表示,所以A不正确;
当m=0时,平行于y轴的直线方程形式为x=2,所以B正确;
若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,所以C不正确;
原方程整理为+=1,所以在y轴上的截距为b,所以D正确.
题22.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为 .
【解析】设直线l的方程为+=1,则|ab|=3,且-=,
解得或,所以直线l的方程为+=1或+=1,即x-6y+6=0或x-6y-6=0.
答案:x-6y+6=0或x-6y-6=0
题23.过点P(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条,方程为 .
【解析】①当截距不为0,且截距相等时,
设直线的截距为a,则直线方程为:+=1,
将点P坐标代入直线方程解得a=2,所以直线方程为+=1;
②当截距不为0,且截距互为相反数时,
设直线的横截距为a,则纵截距为-a,则直线方程为:+=1,
将点P坐标代入直线方程,解得:a=4,
所以直线方程为:-=1;
③当截距为0时,设直线方程为:y=kx,代入点P,可得:
k=-,直线方程为:x+3y=0,故直线有3条.
答案:3 x+3y=0,+=1,-=1
题24．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
所以或 解得a≤－1.综上a≤－1.
题25.根据下列条件分别求直线l的方程:
(1)直线过点P(2,3),直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0;
(2)直线l经过点B(-2,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
【解析】(1)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b,由已知,a+b=0,即b=-a;
①当b=-a=0时,则直线l过点(0,0),得直线l的方程为3x-2y=0;
②当b=-a≠0时,则直线l的方程为+=1,
将点P(2,3)代入得+=1,解得a=-1;
所以直线l的方程为x-y+1=0.
所以直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
(2)由已知,所求直线的斜率为±1,又过点B(-2,4),
由点斜式得y-4=x+2或y-4=-(x+2),
故所求直线的方程为x-y+6=0或x+y-2=0.
题26.已知直线方程为y+2=k(x+1).
(1)若直线的倾斜角为135°,求k的值;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
【解析】(1)由题意可得k=tan 135°=tan(180°-45°)=-tan 45°=-1.
(2)在直线AB的方程中,令y=0可得x=,即点A(,0),
令x=0可得y=k-2,即点B(0,k-2),由已知可得,解得k<0,所以,S△AOB=(2-k)·=-·=-(k+-4) =≥=4,
当且仅当k=-2时,等号成立,故△AOB面积的最小值为4,
此时直线的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.