1.1直线的斜率和倾斜角 讲义（含解析）2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

编号：001 课题:§1.1.1 直线的斜率和倾斜角
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．
2、理解并掌握直线的斜率．
3、理解并掌握直线的斜率的求法．
4、理解并掌握斜率公式的简单应用.
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：直线的斜率的求法；
难点：斜率公式的简单应用．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,则直线l的斜率为:k= ____　.
如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在.
2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
当直线与x轴不垂直时,k=___________.
【思考】
斜率的正负与倾斜角范围有什么联系
【课前基础演练】
题1．如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为 ( )
A.k1C.k2题2.下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的是( )
A.若一条直线的倾斜角为α,则该直线的斜率为tan α
B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C.若一条直线的斜率为-,则该直线的倾斜角为
D.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
题3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为 ( )
A. B. C.1 D.
题4.过点A(-,)与点B(-,)的直线的倾斜角为 ( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.60°
题5.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是 ( )
A.5 B.8 C. D.7
题6(多选题)．下列说法中，不正确的有(　　)
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．任何一条直线都能找出方向向量
题7. 若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k= .
题8. 2.已知点M(0,b)与点N(-,1)连成直线的倾斜角为120°,则b的值为_______.
题9. 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的倾斜角α的取值范围.
(2)求直线l的斜率k的取值范围.
【当堂巩固训练】
题10.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( )
A.α B.180°-α
C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α
题11.已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标为 ( )
A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8)
C.(2,0) D.(0,-8)
题12.已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是 ( )
A.(-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2]
题13.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为 ( )
A. B. C.- D.-
题14. 若直线经过两点A(m,2),B,且倾斜角为45°,则m的值为 ( )
A.2 B.1 C. D.
题15(多选题).下列命题中，是假命题的是(　　)
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
C．若直线的倾斜角α∈，则斜率k的取值范围是∪
D．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α
题16(多选题)．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标不能为(　　)
A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3)
题17．已知A(1,3),B(4,1)和C(a+1,-3)三点共线,则实数a= .
题18．已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－3)，则m的值为________．
题19．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，则直线AD的斜率的变化范围是____________．
题20．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
题21. 已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗
【课堂跟踪训练】
题21．若过点P(-1,0)的直线与以点A(1,2),B(-2,)为端点的线段相交,则直线的倾斜角取值范围为 ( )
A. [,] B. [,]
C. [0,]∪[,π) D. [0,]∪(,]
题22. 直线y=0的倾斜角是 ( )
A.0° B.45° C.90° D.不存在
题23.直线l过A(2,3)和B(4,5)两点,则直线l的倾斜角是 ( )
A.30° B.45° C.135° D.150°
题24.直线l经过原点和(1,-1),则它的倾斜角是 ( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
题25.若A(1,2),B(3,5),C(5,m)三点共线,则m= ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
题26.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),则的最大值和最小值分别是 ( )
A.最大值是8,最小值是 B.最大值是8,无最小值
C.无最大值,最小值是 D.既无最大值,也无最小值
题27(多选题).下列说法中,正确的是 ( )
A.若直线的斜率存在,则必有一个倾斜角与之对应
B.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
题28(多选题).如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是 ( )
A.k1题29.经过两点A(1,m),B(m+1,4)的直线的倾斜角为45°,则m= .
题30.若直线l过点P(-3,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 .
题31．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
题32.已知实数x,y满足方程x+2y=6,当1≤x≤3时,求的取值范围.
编号：001 课题:§1.1.1 直线的斜率和倾斜角
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．
2、理解并掌握直线的斜率．
3、理解并掌握直线的斜率的求法．
4、理解并掌握斜率公式的简单应用.
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：直线的斜率的求法；
难点：斜率公式的简单应用．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,则直线l的斜率为:k= 　.
如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在.
2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
当直线与x轴不垂直时,k=tan α.
【思考】
斜率的正负与倾斜角范围有什么联系
提示:当k=tan α<0时,倾斜角α是钝角;
当k=tan α>0时,倾斜角α是锐角;
当k=tan α=0时,倾斜角α是0°.
【课前基础演练】
题1．如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为 ( )
A.k1C.k2【解析】选A.由斜率的定义可知,k1题2.下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的是( )
A.若一条直线的倾斜角为α,则该直线的斜率为tan α
B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C.若一条直线的斜率为-,则该直线的倾斜角为
D.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
【解析】选D.若倾斜角为90°,则A,B错误;若直线斜率为-,则倾斜角为,C错误.
题3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为 ( )
A. B. C.1 D.
【解析】选A.由题意可知直线l的斜率k=tan 30°=.
题4.过点A(-,)与点B(-,)的直线的倾斜角为 ( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.60°
【解析】选A.因为斜率k==1,所以倾斜角为45°.
题5.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是 ( )
A.5 B.8 C. D.7
【解析】选C.由斜率公式可得=1,
解得m=.
题6(多选题)．下列说法中，不正确的有(　　)
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．任何一条直线都能找出方向向量
【解析】选AB.A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为当0°<α<90°时，k>0，当90°<α<180°时，k<0；C对，D对．
题7. 若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k= .
【思路导引】利用AB和AC的斜率相等.
【解析】因为A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,所以kAB=kAC,
kAB==3,kAC==,
所以3=,即k=6.
答案:6
题8. 2.已知点M(0,b)与点N(-,1)连成直线的倾斜角为120°,则b的值为_______.
【解析】k==tan 120°,解得b=-2.
题9. 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的倾斜角α的取值范围.
(2)求直线l的斜率k的取值范围.
【思路导引】作图,让直线与线段有公共点,可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,进一步获得斜率的取值范围.
【解析】如图所示,由题意可知
kPA==-1,kPB==1.
(1)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
(2)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是{k|k≤-1或k≥1}.
【当堂巩固训练】
题10.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( )
A.α B.180°-α
C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α
【解析】选D.如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.
题11.已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标为 ( )
A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8)
C.(2,0) D.(0,-8)
【解析】选B.设B(x,0)或(0,y),因为kAB=或kAB=,所以=4或=4,所以x=2,y=-8,所以点B的坐标为(2,0)或(0,-8).
题12.已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是 ( )
A.(-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2]
【解析】选D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时,满足题意,所以直线l的斜率满足0≤k≤2.
题13.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】选C.斜率k==-.
题14. 若直线经过两点A(m,2),B,且倾斜角为45°,则m的值为 ( )
A.2 B.1 C. D.
【解析】选A.经过两点A(m,2),B的直线的斜率为k=,又直线的倾斜角为45°,所以=tan 45°=1,即m=2.
题15(多选题).下列命题中，是假命题的是(　　)
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
C．若直线的倾斜角α∈，则斜率k的取值范围是∪
D．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α
【解析】选ABD.A.若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C.若直线的倾斜角α∈，则斜率k的取值范围是∪，所以该选项正确；D.若直线的斜率为tan ，但直线的倾斜角不是π，而是，所以该选项错误．
题16(多选题)．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标不能为(　　)
A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3)
【解析】选BD.设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1得＝＝1得m＝3，或n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).
题17．已知A(1,3),B(4,1)和C(a+1,-3)三点共线,则实数a= .
【解析】由题意可得kAB=kAC,即=,
解得a=9.
答案:9
题18．已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－3)，则m的值为________．
【解析】由题意可得tan 45°＝kAB＝＝1，解得m＝4.
答案：4
题19．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，则直线AD的斜率的变化范围是____________．
【解析】如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
又kAB＝＝，kAC＝＝，
所以直线AD的斜率的变化范围是.
答案：
题20．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
【解析】由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
题21. 已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗
【解析】(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,
即k==>0,解得m>-2.
即当m>-2时,直线MN的倾斜角为锐角.
(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0,
即k==<0,解得m<-2.
即当m<-2时,直线MN的倾斜角为钝角.
(3)不可能.理由:当直线MN垂直于x轴时,直线的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,
故直线MN的倾斜角不可能为直角.
【课堂跟踪训练】
题21．若过点P(-1,0)的直线与以点A(1,2),B(-2,)为端点的线段相交,则直线的倾斜角取值范围为 ( )
A. [,] B. [,]
C. [0,]∪[,π) D. [0,]∪(,]
【解析】选A.如图,A(1,2),B(-2,),P(-1,0),
因为kPA==1,
kPB==-,
所以PA所在直线的倾斜角为,PB所在直线的倾斜角为π.
所以若直线l与线段AB相交,则直线l的倾斜角的取值范围是[,].
题22. 直线y=0的倾斜角是 ( )
A.0° B.45° C.90° D.不存在
【解析】选A.由直线y=0的斜率为0,所以直线y=0的倾斜角是0°.
题23.直线l过A(2,3)和B(4,5)两点,则直线l的倾斜角是 ( )
A.30° B.45° C.135° D.150°
【解析】选B.因为直线l过A(2,3)和B(4,5)两点,
所以直线l的斜率为k==1,设直线l的倾斜角是θ,则tan θ=1,
因为0°≤θ<180°,所以θ=45°.
题24.直线l经过原点和(1,-1),则它的倾斜角是 ( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
【解析】选D.设直线l的倾斜角为α,则tan α==-1,
因为0°≤α<180°,所以α=135°.
题25.若A(1,2),B(3,5),C(5,m)三点共线,则m= ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选C.kAB==,kAC==.
因为A(1,2),B(3,5),C(5,m)三点共线,所以=,解得m=8.
题26.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),则的最大值和最小值分别是 ( )
A.最大值是8,最小值是 B.最大值是8,无最小值
C.无最大值,最小值是 D.既无最大值,也无最小值
【解析】选A.
如图,可知表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k.
由已知条件,可得A(1,1),B(-1,5),易知kPA≤k≤kPB.由斜率公式得kPA=,kPB=8,
所以≤k≤8.故的最大值是8,最小值是.
题27(多选题).下列说法中,正确的是 ( )
A.若直线的斜率存在,则必有一个倾斜角与之对应
B.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
【解析】选ABC.由直线的倾斜角与斜率的概念,知说法A,B,C均正确;因为倾斜角是90°的直线没有斜率,所以D说法不正确.
题28(多选题).如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是 ( )
A.k1【解析】选AD.如题图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1为钝角.
题29.经过两点A(1,m),B(m+1,4)的直线的倾斜角为45°,则m= .
【解析】因为过两点A(1,m),B(m+1,4)的直线的倾斜角为45°,
所以kAB==tan 45°=1,解得m=2.
答案:2
题30.若直线l过点P(-3,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 .
【解析】
因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则kPA==-5,kPB==-.如图所示,当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率的取值范围为[-5,-].
答案: [-5,-]
题31．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
【解析】由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
所以kAC＝，kBC＝.
所以＝3·.
整理得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，
所以m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4.
题32.已知实数x,y满足方程x+2y=6,当1≤x≤3时,求的取值范围.
【解析】
因为的几何意义是过M(x,y),N(2,1)两点的直线的斜率,点M(x,y)在直线y=的图象上,且1≤x≤3,所以可设A,B为直线y=上的两点,且A(1,),B(3,),如图所示:
所以kNA==-,kNB==,所以根据图象可得的取值范围是(-∞,-∪[,+∞).
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