云南省保山市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 云南省保山市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 975.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-25 00:00:00 | ||
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文档简介
秘密★启用前【考试时间：7月14日14：30~16：30】
2021~2022学年期末质量监测
高二年级数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校 班级 姓名 考场号 座位号 准考证号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B.1 C. D.-1
3.下列区间中，函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列满足，其前项和为，则（ ）
A.1014 B.1013 C.1012 D.1011
5.一架飞机从保山云瑞机场出发飞往昆明长水机场，两地相距，因雷雨天气影响，飞机起飞后沿与原来飞行方向成角的方向飞行，飞行一段时间后，再沿与原来飞行方向成角的方向继续飞行至终点，则本架飞机的飞行路程比原来的大约多飞了（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
6.已知为坐标原点，双曲线的左 右焦点分别为，直线是的一条渐近线，以为直径的圆与交于点，过点作轴的垂线交于点，若的面积是面积的6倍，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.3
7.已知点是内部的一点，且满足，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.1
8.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A.在上是减函数
B.在上是减函数
C.时，有极小值
D.时，有极小值
10.下列说法正确的是（ ）
A.两个变量的线性相关性越强，则变量的线性相关系数越大
B.随机变量，则
C.抛掷两枚质地均匀的硬币，在有一枚正面朝上的条件下，另外一枚也正面朝上的概率为
D.设随机变量，则
11.圆，直线过点且与圆交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为
B.面积的最大值为2
C.的最大值为4
D.若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则
12.正方体的棱长为为的中点，点在底面内（包括边界）运动，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹为一条线段
B.若平面，则的最小值为
C.三棱锥体积的最大值为
D.存在无数个点，其到直线和直线的距离相等
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.二项式的展开式中，含项的系数为__________.
14.已知函数则__________.
15.已知抛物线的焦点为为坐标原点，不经过点的直线与抛物线交于两点，且，则点到直线距离的最大值为__________.
16.在平面四边形中，是正三角形，现将点沿折起到点，连接，则三棱锥体积的最大值为__________；若，当二面角的余弦值为时，三棱锥的外接球表面积为__________.（第一空2分，第二空3分）
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，内角所对的边分别是为锐角，且.
（1）求角的大小；
（2）从以下三个条件：①的面积为，②，③中，任选一个补充在下面的横线上，将题目补充完整并作答：若，__________，求的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分12分）
已知在数列中，，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
旅游业是保山市特色产业，我市有热海风景区 和顺古镇 银杏村等多个著名景点.2022年，随着新冠疫情防控常态化，保山市有效统筹疫情防控和经济社会发展，全市文化旅游产业持续复苏，为进一步推动旅游业发展，市旅游局对市民近半年的旅游情况进行了统计调查，其中去过3个或3个以上景点的称为“旅游达人”，否则称为“非旅游达人”，从参与调查的人群中随机抽取了100人的数据进行统计分析，得到如下列联表：
旅游达人 非旅游达人 合计
男 20 50
女 15
合计 100
附：参考公式：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）请将列联表补充完整，并依据的独立性检验，判断称为“旅游达人”或“非旅游达人”与性别是否有关联？
（2）现从抽取的男性人群中，按“旅游达人”和“非旅游达人”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，设抽到“非旅游达人”的人数为，求的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，长轴长为4.过点的直线与轴交于点，与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.
22.（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值并讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正数，且，证明：.
2021~2022学年期末质量监测高二年级数学
参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B D A C
【解析】
1.集合，故，故选B.
2.，虚部为-1，故选D.
3.函数的单调递减区间为，化简得，当时，，故选C.
4.由题意，，所以数列的周期为3，且，所以，故选B.
5.如图，由示意图可知，，由正弦定理得，所以，故选.
6.不妨设，则，易知，因为，，故选D.
7.记角所对的边分别是，由题意，为的重心，，，又由，可得，故选A.
8.由已知，是偶函数，且在上单调递增，，又，故选C.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AC BD ABD ACD
【解析】
9.由图可知，在区间上，，故单调递减；在区间上，，故单调递增；所以在有极小值，不是极值点，故选AC.
10.当两个变量线性负相关关系越强时，相关系数越趋近于错误；因为，所以，所以，B正确；抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件为有一枚正面朝上，事件为另一枚也正面朝上，则错误；时，，又正确，故选BD.
11.当时，线段的长最小为，正确；，当时，面积最大为正确；记线段的中点为，则，错误；若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为1，所以，D正确，故选ABD.
12.如图，平面，所以当点在线段上运动时，满足，故点的轨迹为线段正确；取的中点，连接，易知平面平面，所以点的轨迹为线段，当为的中点时，有最小值为，错误；因为，当点与点重合时，三棱锥的体积最大，此时正确；平面，所以点到直线的距离即为到点的距离，故点满足其到点的距离和到直线的距离相等，故点的轨迹为抛物线的一部分，所以有无数个点满足要求，正确，故选.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 40 4 3 ；
【解析】
13.二项展开式的通项为，令，则，所以系数为40.
14.由解析式可得.
15.由题意，直线的斜率不为0，设直线为，联立方程得，因为，所以，所以，故直线过定点，所以点到直线的距离，当，距离最大为3.
16.如图，记，则，所以，当且仅当时等号成立，又当平面平面时，点到平面的距离最大为，故三棱锥体积的最大值为；取的中点，连接，则，所以即为二面角的平面角，作于点，则平面，在Rt中，，设三棱锥的外接球球心为，半径为，则平面，作于点，则四边形是矩形，，在Rt中，.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由题意，，
，解得或.
因为为锐角，.
（2）若选①：，得，
又，
所以，
周长为.
若选②：由，得，
.
以下同①，周长为.
若选③：由，得，
两边平方，得.
由（1）知，
周长为.
18.（本小题满分12分）
解：（1）因为，当时，有，
两式相减得：，
所以.
又，
所以数列是首项，公比的等比数列，
所以通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
从而，
两式相减得
所以.
19.（本小题满分12分）
解：（1）
旅游达人 非旅游达人 合计
男 20 30 50
女 35 15 50
合计 55 45 100
零假设为：称为“旅游达人”或“非旅游达人”与性别无关，
经计算
故推断不成立，即称为“旅游达人”或“非旅游达人者”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）按分层抽样抽取的5人中：2名为“旅游达人”，3名为“非旅游达人”..
则从这5人中随机选出3人，的所有可能取值为.
所以，的分布列为
1 2 3
所以.
20.（本小题满分12分）
（1）证明：平面平面.
在中，，
又平面
平面，所以平面平面.
（2）解：向量法：取的中点，连接，
则两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系.
则，
.
设平面的一个法向量为，则
所以令，得.
设平面的一个法向量为，
则所以令，得.
记平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
几何法：
（2）解：过点作交于点，过作交于点，连接，
则即为平面与平面所成二面角的平面角.
证明如下：
平面平面.
又平面.
又平面，
所以即为平面与平面所成二面角的平面角.
在Rt中，，
，
即平面与平面夹角的余弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由已知，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设，设，联立方程组消去，得，.
又，
.
，且四点共线，
，
即，解得，
所以直线的方程为或.
22.（本小题满分12分）
（1）解：由题意，，
，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
（2）证明：由题意，，
，不妨设，则，
要证，即证，
即证.
又因为，只需证.
令，
则，
在单调递增，
，
即.
再证，因为，
所以.
令，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即.
综上.
2021~2022学年期末质量监测
高二年级数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校 班级 姓名 考场号 座位号 准考证号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B.1 C. D.-1
3.下列区间中，函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列满足，其前项和为，则（ ）
A.1014 B.1013 C.1012 D.1011
5.一架飞机从保山云瑞机场出发飞往昆明长水机场，两地相距，因雷雨天气影响，飞机起飞后沿与原来飞行方向成角的方向飞行，飞行一段时间后，再沿与原来飞行方向成角的方向继续飞行至终点，则本架飞机的飞行路程比原来的大约多飞了（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
6.已知为坐标原点，双曲线的左 右焦点分别为，直线是的一条渐近线，以为直径的圆与交于点，过点作轴的垂线交于点，若的面积是面积的6倍，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.3
7.已知点是内部的一点，且满足，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.1
8.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A.在上是减函数
B.在上是减函数
C.时，有极小值
D.时，有极小值
10.下列说法正确的是（ ）
A.两个变量的线性相关性越强，则变量的线性相关系数越大
B.随机变量，则
C.抛掷两枚质地均匀的硬币，在有一枚正面朝上的条件下，另外一枚也正面朝上的概率为
D.设随机变量，则
11.圆，直线过点且与圆交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为
B.面积的最大值为2
C.的最大值为4
D.若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则
12.正方体的棱长为为的中点，点在底面内（包括边界）运动，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹为一条线段
B.若平面，则的最小值为
C.三棱锥体积的最大值为
D.存在无数个点，其到直线和直线的距离相等
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.二项式的展开式中，含项的系数为__________.
14.已知函数则__________.
15.已知抛物线的焦点为为坐标原点，不经过点的直线与抛物线交于两点，且，则点到直线距离的最大值为__________.
16.在平面四边形中，是正三角形，现将点沿折起到点，连接，则三棱锥体积的最大值为__________；若，当二面角的余弦值为时，三棱锥的外接球表面积为__________.（第一空2分，第二空3分）
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，内角所对的边分别是为锐角，且.
（1）求角的大小；
（2）从以下三个条件：①的面积为，②，③中，任选一个补充在下面的横线上，将题目补充完整并作答：若，__________，求的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分12分）
已知在数列中，，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
旅游业是保山市特色产业，我市有热海风景区 和顺古镇 银杏村等多个著名景点.2022年，随着新冠疫情防控常态化，保山市有效统筹疫情防控和经济社会发展，全市文化旅游产业持续复苏，为进一步推动旅游业发展，市旅游局对市民近半年的旅游情况进行了统计调查，其中去过3个或3个以上景点的称为“旅游达人”，否则称为“非旅游达人”，从参与调查的人群中随机抽取了100人的数据进行统计分析，得到如下列联表：
旅游达人 非旅游达人 合计
男 20 50
女 15
合计 100
附：参考公式：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）请将列联表补充完整，并依据的独立性检验，判断称为“旅游达人”或“非旅游达人”与性别是否有关联？
（2）现从抽取的男性人群中，按“旅游达人”和“非旅游达人”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，设抽到“非旅游达人”的人数为，求的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，长轴长为4.过点的直线与轴交于点，与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.
22.（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值并讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正数，且，证明：.
2021~2022学年期末质量监测高二年级数学
参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B D A C
【解析】
1.集合，故，故选B.
2.，虚部为-1，故选D.
3.函数的单调递减区间为，化简得，当时，，故选C.
4.由题意，，所以数列的周期为3，且，所以，故选B.
5.如图，由示意图可知，，由正弦定理得，所以，故选.
6.不妨设，则，易知，因为，，故选D.
7.记角所对的边分别是，由题意，为的重心，，，又由，可得，故选A.
8.由已知，是偶函数，且在上单调递增，，又，故选C.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AC BD ABD ACD
【解析】
9.由图可知，在区间上，，故单调递减；在区间上，，故单调递增；所以在有极小值，不是极值点，故选AC.
10.当两个变量线性负相关关系越强时，相关系数越趋近于错误；因为，所以，所以，B正确；抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件为有一枚正面朝上，事件为另一枚也正面朝上，则错误；时，，又正确，故选BD.
11.当时，线段的长最小为，正确；，当时，面积最大为正确；记线段的中点为，则，错误；若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为1，所以，D正确，故选ABD.
12.如图，平面，所以当点在线段上运动时，满足，故点的轨迹为线段正确；取的中点，连接，易知平面平面，所以点的轨迹为线段，当为的中点时，有最小值为，错误；因为，当点与点重合时，三棱锥的体积最大，此时正确；平面，所以点到直线的距离即为到点的距离，故点满足其到点的距离和到直线的距离相等，故点的轨迹为抛物线的一部分，所以有无数个点满足要求，正确，故选.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 40 4 3 ；
【解析】
13.二项展开式的通项为，令，则，所以系数为40.
14.由解析式可得.
15.由题意，直线的斜率不为0，设直线为，联立方程得，因为，所以，所以，故直线过定点，所以点到直线的距离，当，距离最大为3.
16.如图，记，则，所以，当且仅当时等号成立，又当平面平面时，点到平面的距离最大为，故三棱锥体积的最大值为；取的中点，连接，则，所以即为二面角的平面角，作于点，则平面，在Rt中，，设三棱锥的外接球球心为，半径为，则平面，作于点，则四边形是矩形，，在Rt中，.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由题意，，
，解得或.
因为为锐角，.
（2）若选①：，得，
又，
所以，
周长为.
若选②：由，得，
.
以下同①，周长为.
若选③：由，得，
两边平方，得.
由（1）知，
周长为.
18.（本小题满分12分）
解：（1）因为，当时，有，
两式相减得：，
所以.
又，
所以数列是首项，公比的等比数列，
所以通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
从而，
两式相减得
所以.
19.（本小题满分12分）
解：（1）
旅游达人 非旅游达人 合计
男 20 30 50
女 35 15 50
合计 55 45 100
零假设为：称为“旅游达人”或“非旅游达人”与性别无关，
经计算
故推断不成立，即称为“旅游达人”或“非旅游达人者”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）按分层抽样抽取的5人中：2名为“旅游达人”，3名为“非旅游达人”..
则从这5人中随机选出3人，的所有可能取值为.
所以，的分布列为
1 2 3
所以.
20.（本小题满分12分）
（1）证明：平面平面.
在中，，
又平面
平面，所以平面平面.
（2）解：向量法：取的中点，连接，
则两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系.
则，
.
设平面的一个法向量为，则
所以令，得.
设平面的一个法向量为，
则所以令，得.
记平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
几何法：
（2）解：过点作交于点，过作交于点，连接，
则即为平面与平面所成二面角的平面角.
证明如下：
平面平面.
又平面.
又平面，
所以即为平面与平面所成二面角的平面角.
在Rt中，，
，
即平面与平面夹角的余弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由已知，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设，设，联立方程组消去，得，.
又，
.
，且四点共线，
，
即，解得，
所以直线的方程为或.
22.（本小题满分12分）
（1）解：由题意，，
，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
（2）证明：由题意，，
，不妨设，则，
要证，即证，
即证.
又因为，只需证.
令，
则，
在单调递增，
，
即.
再证，因为，
所以.
令，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即.
综上.
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