(共33张PPT)
22.1.4二次函数y=的图象与性质
人教版九年级上册
教材分析
本节课在讨论了二次函数的图象和性质的基础上对二次函数y= ax2＋bx＋c的图象与性质进行研究.
主要的研究方法是从一个具体的二次函数y=x2－6x＋21开始，通过配方y= ax2＋bx＋c向转化，体会知识之间内在的联系,接着利用待定系数法求函数解析式。
教学目标
1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2.会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
3.通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
向左(或右)
平移h个单位
新知导入
抛物线什么关系？
k
k
向上（或下）
平移k个单位
一般地，抛物线y=a(x-h)2由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛物线y=a(x-h)2与y=ax2 ___________________ 。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。
向左(或右)
平移h个单位
向上（或下）
平移k个单位
形状相同、位置不同
新知讲解
探究：
如何画出y＝x2－6x＋21的图象呢？
我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
新知讲解
y＝x2－6x＋21
y＝ (x－6)2＋3.
你知道是怎样配方的吗？
3.“化”：化成顶
点式.
y＝(x2－12x)＋21
y＝ (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ (x－6) 2＋21－18
y＝ (x－6) 2＋3
1. “提”：提出二次项系数；
2.“配”：括号内配成完全平方式；
配
方
新知讲解
【问题】抛物线？
向右平移6个单位
再向上平移3个单位
新知讲解
通过描点法画出？
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… …
7.5
5
3.5
3
3.5
1)列表：
2)描点：在坐标平面中描出对应的点。
3)连线：用平滑曲线顺次连接各点。
5
7.5
5
10
5
10
O
x
y
新知讲解
1)抛物线
2)顶点都是最_____点，函数都有最______值，
最______值为________
3)当x________时，抛物线从左到右呈下降趋势；
当x________时，抛物线从左到右呈上升趋势.
向上
x= 6
（6，3）
小
y=3
低
小
<6
>6
新知讲解
你能用前面的方法讨论图象和性质？
1)抛物线
2)顶点都是最_____点，函数都有最______值，
最______值为________
3)当x________时，抛物线从左到右呈上升趋势；
当x________时，抛物线从左到右呈下降趋势.
向下
x= -1
（-1，3）
大
y=3
高
大
<-1
>-1
新知讲解
求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
=
=
=
=
所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是x=- ，顶点坐标是(-）
归纳总结
图形 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
a＞0
a＜0
向上
向下
x= -
当x< - 时，y 随 x的增大而减小.
当x> - 时，y 随 x 的增大而增大.
当x=-时,
y最小值=
当x=- 时,
y最大值=
x
y
O
y
x
x= -
x= -
(-
）
当x< - 时，y 随 x的增大而增大.
当x> - 时，y 随 x 的增大而减小.
典例精析
例、把下面二次函数的一般式化成顶点式：
y＝2x2－5x＋3.
解：y＝2(x2－x)＋3，(将含x项结合在一起，提取二次项系数)
y＝ (按完全平方式的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
y= (应用完全平方公式)
y=
新知讲解
已知一次函数图象上的几个点可以求出它的解析式？利用了怎样的方法？
已知一次函数图象上的两个点的坐标就可以通过待定系数法求它的解析式。
新知讲解
若二次函数经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三个点，能求出二次函数的解析式吗？
由
因此二次函数解析式为
解：设二次函数为
解
归纳总结
已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；
而用一般式求待定系数要经历以下四步：
第一步：设一般式y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一个三元一
次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数解析式.
典例精析
例、已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.
解：由题意可得，抛物线的顶点为(-1，-3)
设所求二次函数为y＝a(x+1)2-3．
∵函数图象经过点(0，-5)，
∴a(0+1)2－3＝－5．
解得a＝-2．
所求二次函数是y＝-2(x+1)2－3．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.对于二次函数y＝－14x2＋x－4，下列说法正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点
2.如图，抛物线对应的函数解析式是( )
A．y＝x2－x＋2 B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y＝－x2＋x－2
B
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在二次函数图象上，求n的值为____．
4.将二次函数的图象先向右平移a个单位，再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
4
3或1
2
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4)．
(1)求a的值；
解：由题意得－4＝9a＋12＋2，解得a＝－2.
(2)求此抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
由(1)得二次函数为y＝－2x2＋4x＋2，
可化为y＝－2(x－1)2＋4.
故抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.
(3)直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．
x＞1.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时， 求点P的坐标．
解：（1）把点B(3，0)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3得:
0＝－32＋3m＋3，
解得m＝2，
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. ∴顶点坐标为(1，4)．
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）如图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．
设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b，
∵C(0，3)，B(3，0)，
∴
解得
∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，
∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．
课堂总结
二次函数y=的图象与性质
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
图象
极值
性质
顶点坐标
设
列
解
答
步骤
类
型
一般式（三点式）
顶点式
交点式
待定系数法求二次函数解析式
板书设计
二次函数y=的图象与性质
一、二次函数y=的图象与性质
二、待定系数法求二次函数解析式
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
A
y=-x2+1
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①abc>0；②图象与x轴的另一个交点为；③当时，y随x的增大而增大，④．正确结论的序号是 ．
②③④
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)， (2，－5)，且
与x轴交于A，B两点．
(1)试确定此二次函数的解析式．
解：设解析式为y＝ax2＋bx＋c，把(0，3)，(－3，0)，
(2，－5)代入解析式得 解得
解得
∴y＝－x2－2x＋3.
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上．如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．
解： 把x＝－2代入y＝－x2－2x＋3得y＝3，
∴点P在二次函数的图象上．
令－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1.
∴△PAB的面积为 AB yP
＝ ×[1－(－3)]×3＝6.
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，
把(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1，
故抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3，
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物
线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，
落在直线y＝－x上．
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二章
课标要求 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2 +k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，并能解决简单实际问题；知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。能够综合运用二次函数与二次方程、不等式的关系、二次函数的性质解决问题；能用二次函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，解决简单实际问题；培养学生建立二次函数模型的能力和对现实问题进行定性分析的能力。
内容分析 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和一元二次方程之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
学情分析 学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数的相关知识如:各种变量、函数的一般形式、图象、增减性等知识有一定基础,相关应用也较常见,学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程,并可通过列表、解析式、图象了解变化过程,对各种函数的表达方法的特点有所了解,获得了探究学习新函数知识的基础;同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。
单元目标 教学目标1、能用表格﹑表达式﹑图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力。能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。2、会作二次函数的图象，并能归纳出二次函数的图象性质。3、能够根据二次函数的解析式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，从作二次函数的图象中，能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。4、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。5、能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测，在探究中获得发现，提高学生学习数学的信心和兴趣。(二)教学重点、难点教学重点：会根据所给信息确定二次函数的表达式，会根据公式确定图象的顶点，开口方向和对称轴，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。教学难点：如何利用二次函数的图象并结合函数表达式去探索，理解函数的性质，并利用解决相关的实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数22.1 二次函数的图象和性质422.2 二次函数与一元二次方程122.3实际问题与二次函数1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1二次函数的图象与性质理解并掌握二次函数的概念； 会用描点法正确画出函数图象，分别理解二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2、y＝a(x－h)2+k的性质及它与函数y＝ax2的平移关系；能用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；能灵活的根据条件恰当地选择解析式的模式求二次函数的解析式。确定二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质；会求二次函数解析式。任务1.理解二次函数的概念 任务2.描点法画函数图象并归纳函数的性质任务3.确定二次函数解析式22.2二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化应用；会判断抛物线与x轴的交点个数；会用图象法求一元二次方程的近似根。探索二次函数与一元二次方程之间的关系的过程，由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。任务1.出示问题：任务2.观察并归纳关系任务3.利用图象解近似根22.3实际问题与二次函数理解二次函数模型的基本构成（函数解析式、自变量的取值范围、函数的图象等）；会用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。学生能找出题目的等量关系表示出函数解析式，并能注意自变量的取值范围，进行求最值。任务1.探究二次函数求最值任务2.利润问题任务3.建模问题
《第二十二章 二次函数》单元教学设计
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分课时教学设计
第四课时《22.1.4二次函数y=的图象与性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课在讨论了二次函数的图象和性质的基础上对二次函数y=的图象与性质进行研究.主要的研究方法是从一个具体的二次函数y=开始，通过配方y=向转化，体会知识之间内在的联系,接着利用待定系数法求函数解析式。
学习者分析 学生在八年级已经学会了待定系数法求解析式，在前一节已经学会了探究二次函数性质的方法。学生已经积累了探究二次函数性质的经验。学生已经具备了一定的观察能力，类比能力，总结归纳的能力。
教学目标 1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想． 2.会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式． 3.通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
教学重点 通过配方将数字系数的二次函数的解析式化为的形式，并由此得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质.
教学难点 将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x－h)2＋k的形式。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 【提问】抛物线什么关系？ 学生活动1： 教师提出问题，学生回答 活动意图说明：复习回顾二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质，及为本节课学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质进行铺垫．环节二：新知探究教师活动2： 探究： 如何画出y＝x2－6x＋21的图象呢？ 我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？ 教师展示配方的具体过程： y＝x2－6x＋21＝(x2－12x＋42)＝(x2－12x＋36－36＋42)＝(x－6)2＋3． 问：抛物线 ？ 用描点法画二次函数的图象。 抛物线的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？ 你能用前面的方法讨论 图象和性质？ 尝试将（a）化为的形式吗？ 教师引导学生观察：两个等式右边的多项式结构各有什么特点？教师与学生一起进行配方变形，教师展示配方的具体过程： = = = = 你能说出二次函数（a）的图象特征和性质吗？ 学生活动2： 教师提出问题，学生回答 教师提出问题，学生回答 学生动手实践画出二次函数的 图象，在学生完成图象后，教师通过多媒体展示 画图过程。 小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、 最值、增减性等方面描述图象特征和性质 学生动手实践画出抛物线，教师 通过多媒体展示抛物线的图象，引导学生通过图象特征 ，归纳总结其性质，学生在总结的过程中查漏补缺， 发现不足。 学生思考，试着配方 学生相互补充，师生共同梳理归纳活动意图说明：这里我们借助从特殊例子归纳一般结论的研究思路，通过针对性的类比、对比 引导，放手让学生合作、交流，这样既突破了难点，又升华了新知，也体现了从特殊到一般的 研究思路环节三：典例精析教师活动3： 例、把下面的二次函数的一般式化成顶点式： y＝2x2－5x＋3. 学生活动3： 学生思考作答，教师点评总结. 解：y＝2(x2－x)＋3，(将含x项结合在一起，提取 二次项系数) y＝ (按完全平方式 的特点，常数项为一次项系数一半的平方) y= (应用完全平方公式) y= 活动意图说明：运用配方法将函数一般式变为顶点式，并理解与掌握二次函数（a） 的图象特征和性质。环节四：典例精析教师活动4： 已知一次函数图象上的几个点可以求出它的解析式？利用了怎样的方法？ 已知一次函数图象上的两个点的坐标就可以通过待定系数法求它的解析式。 若二次函数经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三个点，能求出二次函数的解析式吗？ 解：设二次函数为 由 解 因此二次函数解析式为 尝试总结二次函数解析式的一般方法？ 已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式； 而用一般式求待定系数要经历以下四步： 第一步：设一般式y＝ax2＋bx＋c； 第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一个三元一次方程组； 第三步：解方程组即可求出a，b，c的值； 第四步：写出函数解析式.学生活动4： 教师提出问题，学生回答 学生小组讨论交流求解．师生共同总结写出解题步骤 学生尝试总结确定二次函数解析式的步骤。活动意图说明：尝试类比探究确定一次函数解析式的方法，探究确定二次函数解析式的方法： 根据已知图象上的三个点的坐标，设一般式确定二次函数解析式．环节五：典例精析教师活动5： 例、已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式. 学生活动5： 先由学生回答，最后给出答案 解：由题意可得，抛物线的顶点为(-1，-3) 设所求二次函数为y＝a(x+1)2-3． ∵函数图象经过点(0，-5)， ∴a(0+1)2－3＝－5． 解得a＝-2． 所求二次函数是y＝-2(x+1)2－3． 活动意图说明：通过例题让学生掌握多种求解二次函数解析式的方法.
板书设计 一、二次函数y=的图象与性质 二、待定系数法求二次函数解析式
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.对于二次函数y＝－14x2＋x－4，下列说法正确的是( ) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 2.如图，抛物线对应的函数解析式是( ) A．y＝x2－x＋2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2＋x＋2 D．y＝－x2＋x－2 3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在二次函数图象上，求n的值为____． 4.将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位． （1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______． （2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______． 选做题： 5.已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4)． (1)求a的值； (2)求此抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围． 6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 【综合拓展类作业】 7.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时， 求点P的坐标．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 2．一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 选做题： 3.如图，二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①abc>0；②图象与x轴的另一个交点为；③当时，y随x的增大而增大，④．正确结论的序号是 ． 4.已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)， (2，－5)，且与x轴交于A，B两点． (1)试确定此二次函数的解析式． (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上．如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由． 【综合拓展类作业】 5.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．
教学反思 在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。
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