2023年辽宁省鞍山市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的几何体是由个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 九班名同学在一次测试中，某道题目满分分的得分情况如表：
得分分
人数
则这道题目得分的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运，甲运输所用的时间与乙运输所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输货物，则可列方程为( )
A. B. C. D.
6. 如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为( )
A. B. C. D.
7. 如图，，为的两条弦，、分别为，的中点，的半径为若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线，于点，，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为，直线的运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 年月日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，年“五一”假期天，全国国内旅游出游合计约为人次将数据用科学记数法可表示为______ ．
10. 因式分解：______．
11. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球次，发现有次摸到红球，则口袋中红球约有______ 个
12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则点的坐标是______ ．
14. 如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点若，，，则的长为______ ．
15. 如图，在中，，顶点，分别在轴的正、负半轴上，点在第一象限，经过点的反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点，若点为的中点，，，则的值为______ ．
16. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点若，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，在 中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，，连接，，求证：四边形是菱形．
19. 本小题分
在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时，某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动评比结果共分为四项：非凡创意；魅力色彩；，最美设计：无限潜力参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项，活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了______ 名学生．
请补全条形统计图．
本次评比活动中，全校有名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“非凡创意”奖的学生人数．
20. 本小题分
二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“惊蛰”“夏至”“白露”“霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“惊蛰”的概率是______ ．
小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“夏至”的概率．
21. 本小题分
某商店窗前计划安装如图所示的遮阳棚，其截面图如图所示，在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为若经过点的光线恰好照射在地面点处，则，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度结果精确到，参考数据：
22. 本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接，，若的面积是．
求反比例函数的解析式．
点为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标．
23. 本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接若．
求证：为的切线．
若，，求的半径．
24. 本小题分
网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝已知该荔枝的成本为元，销售价格不高于元，且每售卖需向网络平台支付元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格元之间满足如图所示的一次函数关系．
求与的函数解析式．
当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
25. 本小题分
如图，在中，，，点是射线上的动点不与点，重合，连接，过点在左侧作，使，连接，点，分别是，的中点，连接，，．
如图，点在线段上，且点不是的中点，当，时，与的位置关系是______ ， ______ ．
如图，点在线段上，当，时，求证：．
当，时，直线与直线交于点，若，，请直接写出线段的长．
26. 本小题分
如图，抛物线经过点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上一动点．
求抛物线的解析式．
直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交于点，连接，当时，求点的横坐标．
如图，点为轴正半轴上一点，与交于点，若，，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，
．
故选：．
依据题意，由绝对值的性质即可得解．
本题考查了绝对值的性质，解题时需要熟练掌握并理解．
2.【答案】
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．
3.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：这名学生测试成绩呈现次数最多的是分，共出现次，因此学生测试成绩的众数是，
将这名学生测试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是分，因此中位数是，
故选：．
根据众数、中位数的定义进行解答即可．
本题考查中位数、众数，理解众数、中位数的定义，掌握众数、中位数的计算方法是解决问题的前提．
5.【答案】
【解析】解：设甲每小时搬运货物，则乙每小时搬运货物，
由题意得：．
故选：．
设甲每小时搬运货物，则乙每小时搬运货物，根据“甲搬运所用时间与乙搬运所用时间相等”建立方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据“甲搬运所用时间与乙搬运所用时间相等”建立方程是关键．
6.【答案】
【解析】解：
图中是一个含有角的直角三角尺，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
首先根据已知得，进而可求出，然后根据平行线的性质得，最后根据平角的定义可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质及平角的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解平角的定义是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接、、，
，
，
的半径为，
，
，
点、分别是、的中点，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得，再根据三角形的中位线定理可得．
此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】
【解析】解：在运动的第一阶段，
令和与的交点分别为和，
因为直线沿方向以每秒个单位长度的速度平移，
则，
又，，则．
所以，则，即．
故．
据此可以排除掉和．
再继续向右运动时，正方形全部在内，
此时．
据此又可以排除掉．
故选：．
抓住运动过程中的关键时刻，在点左侧，正方形由部分到全部在内以及运动到直线经过点，即可解决问题．
本题是一道动点运动的函数图象问题，能得出重叠部分的面积和直线运动时间的关系式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，
口袋中红球的个数约为：个．
故答案为：．
利用频率估计随机摸出个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
12.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13.【答案】
【解析】解：，，
，，
四边形是矩形，
，，
将该长方形沿折叠，点恰好落在边上的处．
，，
由勾股定理得，，
，
设，则，
在中，
，
解得，
，
故答案为：．
根据矩形的性质可知，，再利用折叠的性质得，，由勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题中作图可知：平分，
，
，，
，
，
，
，
∽，
：：，
，，
，
：：，
．
故答案为：．
由线段垂直平分线的性质定理得到，因此，由角平分线定义推出，又，推∽，得到：：，代入有关数据，即可求出的长．
本题考查尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明∽，得到：：，从而求出的长．
15.【答案】
【解析】解：过点作轴于，如图：
轴，
，
又点为的中点，
为的中位线，
，，
，
，即：，
轴，
，
：：，
，
，
，
，，，
设，，则，，
点的坐标为，点的坐标为，
点，在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
．
故答案为：．
过点作轴于，先证为的中位线得，，再根据得出，然后根据轴，得，进而可求出，，，设，，则，，点，点，进而可得，由此可得，则，，最后在中由勾股定理得，由此得点，进而可求出的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的中位线定理，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
16.【答案】或
【解析】解：将绕点顺时针旋得到，
，，，，，
如图，连接，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是正方形，
，，
，，
和都是等腰三角形，
，，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，即，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，，
或，
如图，过点作，交于点，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
当时，，
，
设，，
，
，
解得：，
在中，；
当时，，
，
设，，
，
，
解得：，
在中，．
综上，的长为或．
故答案为：或．
由旋转的性质得，，，，，连接，，由等线段减等线段相等可得，于是可通过证明≌，得到，易得，，由三角形内角和定理可得，，由得到，易得为等腰直角三角形，根据等角减等角相等可知，于是可通过证明≌，得到，，进而可通过证明≌，得到，由平行线的性质可得，则，设，则，，在中，利用勾股定理建立方程，求得，，即或，过点作，交于点，易得∽，由相似三角形的性质得，易得为等腰直角三角形，，分两种情况讨论：当时，，则，进而可设，，由，解得，在中，利用勾股定理即可求出的长；当时，，则，进而可设，，由，解得，在中，利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了正方形的性质、图形旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
是中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【解析】首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可．
此题考查了菱形的判定、全等三角形的判断和性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用，熟练掌握菱形的判定及性质定理是解本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：名，
故答案为：；
样本中获得“魅力色彩”的人数为：名，
补全条形统计图如下：
人，
答：全校有名学生中获得“非凡创意”奖的学生大约有人．
从两个统计图可知，样本中获得“无限潜力”的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数；
求出样本中获得“魅力色彩”的人数即可补全条形统计图；
求出样本中获得“非凡创意”奖的学生所占的百分比，估计总体中获得“非凡创意”奖的学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率是正确解答的关键．
20.【答案】
【解析】解：共有种等可能出现的结果，其中抽到“惊蛰”的只有种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“惊蛰”的概率是，
故答案为：；
用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“夏至”的有种，
所以两人都没有抽到“夏至”的概率为．
共有种等可能出现的结果，其中抽到“惊蛰”的只有种，由概率的定义可得答案；
用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法活树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
21.【答案】解：过点作，垂足为，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度约为．
【解析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：，的面积是，
，
．
图象在第二象限，
，
反比例函数解析式为：．
点，在的图象上，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
轴交轴于点，
，
．
设直线上在第一象限的点，
，
，
，
．
【解析】根据可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘即为，解析式可得．
根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
23.【答案】证明：连接，如图：
为的直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为的切线．
解：连接，如图，
为的直径，
，
，
，
，
设半径为，则，
在中，
，即，
解得，
的半径为．
【解析】连接，证明即可证明为的切线．
连接，则，即可得出，设半径为，在中，利用锐角三角函数即可解答．
本题他考查切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题关键．
24.【答案】解：设每日销售量与销售价格元之间满足如图所示的一次函数关系为，
，
解得，
与的函数解析式为；
设每千克荔枝的销售价格定为元时，销售这种荔枝日获利为元，
根据题意得，，
，对称轴为，
当时，有最大值为元，
当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元．
【解析】由日获利销售单价成本日销售量，可求解；
由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．
25.【答案】垂直
【解析】解：如图，
连接并延长交于，
，，
，
同理可得：，
，
、、、共圆，
，
，
，
与垂直，
是的中点，
，
是的中点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：垂直，；
证明：如图，
作于，作，交的延长线于，连接，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
是梯形的中位线，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
解：如图，
当点在上时，
作，交的延长线于点，作于，作，交的延长线于，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
如图，
当点在的延长线上时，
作于，作于，作，交的延长线于，
由上可知：，，∽，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或．
连接并延长交于，可推出，从而、、、共圆，从而，从而得出与垂直，可证得≌，从而，从而得出，，进一步得出结果；
作于，作，交的延长线于，连接，可推出，从而点、、、共圆，从而得出，可推出，进而得出，进而得出是梯形的中位线，从而，变形得，可推出，，进一步得出结论；
分两种情形：当点在上时，作，交的延长线于点，作于，作，交的延长线于，可推出∽，从而，从而求得，，及，在中可求得，，根据得出，进一步得出结果；当点在的延长线上时，作于，作于，作，交的延长线于，同样的过程得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和垂直，直角三角形的性质，梯形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造梯形的中位线．
26.【答案】解：把和代入到解析式中可得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
直线中，令可得，
直线中，令，可得，
分别过、向轴作垂线，垂足为、，根据题意可得，
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中：
，
≌，
，
设，则，
，，
从而，，
则有，解得舍去或，
故E点的横坐标为：；
将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，
过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，
设，则，，，
轴，
∽，
，
，
，，
设，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，，则，
，
，
，代入抛物线解析式中有：
，
解得：或，
当时，；
当时，

【解析】利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；
分别过、向轴作垂线，垂足为、，易得≌，从而，设点坐标，分别表示出、坐标，再列方程求解即可；
将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由∽可得，从而，设，由∽可得，，，再求出点坐标，代入到抛物线解析式中，即可求得或，从而可得的坐标．
此题考查了待定系数法求解析式、坐标系中利用等线段构造全等进行计算，同时还考查了三角函数在代几综合中的综合应用，巧妙的把二次函数、三角函数、全等三角形、相似三角形等有机地结合在一起．
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