2022-2023学年山东省威海市文登区重点学校联考八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市文登区重点学校联考八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. 且 D. 且
2. 下列方程是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
3. 解下列方程：；；，较适当的方法为( )
A. 直接开平方法公式法配方法
B. 因式分解法公式法公式法
C. 直接开平方法因式分解法配方法
D. 直接开平方法公式法因式分解法
4. 如图，在边长为的菱形中，，，分别为，上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度( )
A. 逐渐增加
B. 恒等于
C. 先减小再增加
D. 恒等于
5. 化简二次根式的结果是( )
A. B. C. D.
6. 已知一元二次方程中，下列说法不正确的是( )
A. 若，则
B. 若方程两根为和，则
C. 若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根
D. 若，则方程有两个不相等的实根．
7. 下列说法正确的是( )
A. 若则
B. 方程的两根之积为
C. 边长为的菱形的两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的两根，则等于
D. 关于的方程有实数根，则满足且
8. 中，于，于，为的中点，若，，的度数为度．( )
A. B. C. D.
9. 如图，平行四边形中，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，，下列说法不正确的是( )
A. 四边形是平行四边形
B. 当时，四边形是矩形
C. 当时，四边形是菱形
D. 当时，四边形是正方形
10. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接在下列结论中：
；≌；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 最简二次根式与是同类二次根式，则 ______ ．
12. 若，是方程的两根，则 ______ ．
13. 电影长津湖上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，将增长率记作，则方程可以列为______．
14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______ ．
15. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，以秒的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒，连接，，当 ______ 时，四边形为菱形；
16. 如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算
；
；
；
．
18. 本小题分
解下列方程
；
．
19. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有两个实数根求的取值范围；
若方程的两个根为、且，求的值．
20. 本小题分
已知，是方程的两个根．
求：；
．
21. 本小题分
某超市以每千克元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量千克与每千克降价元之间的关系如图所示．
求与之间的函数关系式．
若超市想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
销售利润______ 能或不能达到元，最大利润是______ ．
22. 本小题分
已知：的三边分别是，，，方程有两个相等的实数根，且，，满足，
判断的形状，并说明理由．
若，为方程的两根，求的值．
23. 本小题分
如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作，与的延长线交于点，连接交于．
连接，若，则四边形是______ 形，说明理由．
在条件下，与满足______ 关系时，四边形是正方形，说明理由．
24. 本小题分
实践与探究
发现：
如图，在矩形中，点是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点猜想线段与的数量关系是 ；
探究：
探究过程中创新小组将中的“矩形”改为“平行四边形”如图，其它条件不变，发现中的结论仍然成立并给出了推理过程如下：
证明：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
即．
是的中点，．
将沿折叠后得到，
，．
，．
又，≌
．
上述推理过程是否正确？若正确，请写出、步的依据，在横线上填写出结论；若不正确，请给出你的证明过程；
应用：
如图，将中的“矩形”改为“正方形”，边长，其它条件不变，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】
【解析】解：当时，原方程为一元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程是分式方程，选项B不符合题意；
C.是一元一次方程，选项C不符合题意；
D.是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
开平方得：，用直接开配方法比较简便；
，用公式法比较简便；
，
，用因式分解法比较简便；
故选：．
根据解一元二次方程的方法逐个判断即可．
本题考查了解一元二次方程，能熟记解一元二次方程的方法是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接．
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，．
，
．
．
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即的长度保持不变恒等于．
故选：．
证明≌，可得，根据线段的和可知：，是一定值，可作判断．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，得，
．
故选：．
由二次根式的性质可得：，从而有，即，再化简得出结果．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解答关键是利用二次根式的性质得出．
6.【答案】
【解析】解：、若，那么为一个实数根．
如果原方程另一个实数根也是，那么，
故本选项说法错误，符合题意；
B、把代入方程得：，
把代入方程得：，
得：，
即：，
故本选项说法正确，不符合题意；
C、方程有两个不相等的实数根，
则且，
，而方程的，
方程必有两个不相等的实根，
故本选项说法正确，不符合题意；
D、若，则，
，
，
方程有两个不相等的实根，
故本选项说法正确，不符合题意．
故选：．
A、若，那么为一个实数根，如果原方程另一个实数根也是，那么，进而求解．
B、把和代入方程，建立两个等式，即可得到．
C、方程有两个不相等的实根，则，左边加上就是方程的根的判别式，由于加上了一个非负数，所以．
D、把代入，就能判断根的情况．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．
7.【答案】
【解析】解：、若，则，故本选项说法错误，不符合题意；
B、方程的判别式，所以没有实数根，故本选项说法错误，不符合题意；
C、由题意知且，，，可求，故本选项说法正确，符合题意；
D、关于的方程有实数根，则满足，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质判断；根据根的判别式判断；根据根的判别式，根与系数的关系以及菱形的性质判断；根据方程有实数根分与两种情况判断．
本题考查了二次根式的性质，根的判别式，根与系数的关系以及菱形的性质，都是基础知识，需熟练掌握．
8.【答案】
【解析】解：，为的中点，
，
，
，
，
同理，，
；
于，于，为的中点，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，求得，得到，同理，，根据三角形的内角和定理得到；根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，正确；
B.四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，正确；
C.四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，正确；
D.当时，不能得出四边形是正方形，错误；
故选：．
根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定逐一进行判断即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
10.【答案】
【解析】解：过作于点，过作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，故正确；
矩形为正方形；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
根据得，，
，
，故正确；
当时，点与点重合，
不一定等于，故错误，
综上所述：正确．
故选：．
过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故正确；
利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，推出≌，故正确；
根据的结论可得，所以，故正确；
当时，点与点重合，得到不一定等于，故错误．
本题属于中考选择题的压轴题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不合题意，
故答案为：．
根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求出的值，根据二次根式的定义解答即可．
本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
12.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，
，，
，，
．
故答案为：．
由根与系数的关系可得、，进而可得出、，将变形为，代入数据即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及二次根式的化简求值，根据根与系数的关系找出、是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：某地第一天票房约亿元，且以后每天票房的增长率为，
第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，
依题意得：．
故答案为：．
由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
15.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
点、分别以、为起点，秒的速度沿、边运动，点、运动的时间为秒，
，
，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
，，
，
，
解得：，
当时，四边形为菱形，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，再由等腰直角三角形的性质求出的长度，然后证四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．进而由列出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，四边形是平行四边形，
于点，
平行四边形是菱形，，
，
连接，如图所示：
，
，
即，
，
，
当最短时，有最小值，
由垂线段最短可知：当时，最短，
当点与点重合时，有最小值，最小值，
故答案为：．
证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
先根据积的乘方和二次根式的性质进行计算，再根据完全平方公式进行计算，最后算加减即可；
先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：方程整理得：，
这里，，，
，
，
，．
，
，
，
或，
，．
【解析】方程整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式即可求出解．
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键．
19.【答案】解：一元二次方程有两个实数根，
且，
即，
解得：；
根据根与系数的关系得：，，
，
，
解得，舍去，
经检验是方程的解，
的值为．
【解析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到，即然后求出不等式的解集即可；
将方程化简后利用根与系数的关系得到有关的方程求解即可．
本题考查了根与系数的关系及根的判别式的知识，解题的关键是利用题目的条件得到有关的不等式或方程求解．
20.【答案】解：，是方程的两个根，
，，
；
．
【解析】先根据，是方程的两个根，得出，，
利用完全平方公式把化成有关与的形式，利用整体代入法求解；
化成，利用整体代入法求解．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知若，是一元二次方程的两根时，则，是解题的关键．
21.【答案】不能 元
【解析】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客获得更大实惠，
，
答：这种干果每千克应降价元．
不能，理由如下：
设销售利润为元，则：
，
，
当时，的最大值为，
即最大利润为元．
故答案为：不能，元．
观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
利用总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价元．
设销售利润为元，则：，根据二次函数的性质可得结果．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】解：方程有两个相等的实数根，
，即，
，
，即，
将代入得：，
，
是等边三角形；
、为方程两根，且，
，即，
解得：或，
当时，方程为，解得：舍；
当时，方程为，解得：，符合题意；
故．
【解析】根据方程有两个相等的实数根得出，即，代入可得，代入得；
根据题意知方程有两个相等的实数根，据此得，即，解之可得或，代回方程求得的值，判断是否符合题意即可．
本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于、、及的等式是解题的关键．
23.【答案】矩
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
故答案为：矩；
当时，四边形是正方形，理由如下：
由可知，四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
由可知四边形是矩形，
四边形是正方形．
故答案为：．
先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，那么根据三角形内角和定理可得，即，根据矩形的定义即可得到四边形是矩形；
当时，四边形是正方形，由可知四边形是矩形，只需证明四边形有一组邻边相等即可．
本题考查了矩形的判定，平行四边形、等腰三角形的判定与性质，正方形的判定，综合性较强，难度适中．掌握各定理与性质是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是矩形，
．
是的中点，，
将沿折叠后得到，
，，
，，
≌，
．
故答案为：；
推理过程错误，不能得到≌．
证明：如图，连接，
是的中点，
．
将沿折叠后得到，
，，
，
．
四边形为平行四边形，
．
，，
，
，
，
．
如图，
正方形是特殊的平行四边形，
中的仍然成立．
设，
则，，
在中，，
，
解得：，
即．
如图，连接，利用矩形性质和折叠性质即可证明≌，进而得出答案．
如图，连接，运用折叠的性质和平行四边形性质即可证得，进而得出，即可求解；
根据正方形的性质和由的结论可得，设，进而得到，，由勾股定理建立方程求解即可．
本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是根据已知得出，是解决问题的关键．
第1页，共1页