人教版2023年八年级上册第11章《三角形》能力提升测试卷 含解析
文档属性
| 名称 | 人教版2023年八年级上册第11章《三角形》能力提升测试卷 含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-23 21:25:46 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2023年八年级上册第11章《三角形》能力提升测试卷
一、选择题（共36分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．3 cm，4 cm，5 cm B．3 cm，3 cm，6 cm
C．5 cm，10 cm，4 cm D．1 cm，2 cm，3 cm
2．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
3．下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的角平分线，中线交于点O，则：
结论Ⅰ：是的角平分线； 结论Ⅱ：是的中线.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对
5．已知一个三角形的 两个内角分别为50度，65度，则它的第三个内为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．无法确定
6．如图，中，，是高，则的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
7．若n边形的内角和比它的外角和的4倍多，则n是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
8．如图，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则为（ ）
A．2 B．8 C．4 D．1
9．如图，，，之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．30° D．24°
11．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
12．如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
13．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是 ．
14．在中，若，则这个三角形按角分类是 三角形．
15．一个三角形的三边长分别为，7，11，那么的取值范围是 ．
16．如图，∠A=45°，∠ABD=120°，则∠ACE的度数为 ．
17．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是 ．
18．如图，为的中线，的周长为，的周长为，，则为 ．
19．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．
20．如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ．
三、解答题（共60分）
21．（6分）已知a，b，c是三角形的三边长，
(1)化简：．
(2)若，，，求（1）中式子的值．
22．（6分）已知O是中任意一点（如图）．求证：．
23．（6分）如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数．
24．（8分）已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值，
25．（8分）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
26．（8分）（1）如图1，这是一个五角星，则 ．
（2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．
（3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．
27．（9分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
28．（9分）如图，在锐角三角形中，，的平分线交于点P．
(1)如图1，，则 °；
(2)如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点F，作交于点D，试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，请探究和之间的数量关系．
参考答案
1．A
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：、，能组成三角形，故此选项符合题意；
、，不能组成三角形，故此选项不合题意；
、，不能组成三角形，故此选项不合题意；
、，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．A
【分析】根据三角形具有稳定性即可解答．
【详解】解：三角形具有稳定性．
故选A．
3．B
【分析】根据三角形高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高判断即可．
【详解】解：边上的高，就是过对应的顶点向作垂线，垂线交的延长线于点，
即为：
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，掌握钝角三角形的高的作法是解答本题的关键．
4．C
【分析】根据三角形角平分线和中线的定义判断即可．
【详解】解：是的角平分线，
平分，即平分，
结论Ⅰ：是的角平分线，正确；
是的中线，
点是的中点，而点不一定是的中点，
结论Ⅱ：是的中线，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形角平分线和中线的定义，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线．
5．B
【分析】根据三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【详解】解：三角形的两个内角分别是、，
它的第三个角的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟知“三角形内角和是”是解答此题的关键．
6．B
【分析】设，根据三角形的内角和定理即可求出各内角度数，据此可求解．
【详解】解：设
根据三角形的内角和定理有：
解得：
∴
∵是高
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．掌握相关结论建立等量关系是解题关键．
7．C
【分析】根据多边形内角和与外角和的计算方法列方程求解即可．
【详解】解：由于边形的内角和比它的外角和的4倍多，
所以，
解得，
即这个多边形为11边形，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的外角和是是正确解答的前提，根据多边形外角与内角的关系列方程是解决问题的关键．
8．A
【分析】利用等底同高的三角形的面积相等，可先得到，即，同理可知，，从而得到，那么就可求出的面积．
【详解】解：∵D是的中点，
∴．
又∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查三角形的中线，掌握等底等高来求各个小三角形的面积是大三角形的面积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
9．D
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
又∵是的一个外角，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题的关键．
10．C
【分析】如图，延长交延长线于点，交于点M，可证，再根据，求出、度数，根据四边形内角和计算即可．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，交于点M，
，，
，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，解题关键是学会添加辅助线．
11．D
【分析】根据内角和为可得：多边形的边数为六边形，然后分情况求解即可．
【详解】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为的多边形的边数是n，
∴，
解得：．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键．
12．C
【分析】根据折叠的性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解．
【详解】解：根据折叠的性质有：，，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
13．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性求解即可．
【详解】解：人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键．
14．直角
【分析】计算出三角形的最大角的度数，判断即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
15．
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：三角形的三边长分别为，7，11，
即
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．105°/105度
【分析】根据三角形外角的性质及邻补角可直接进行求解．
【详解】解：∵∠A=45°，∠ABD=120°，
∴∠ACB=∠ABD-∠A=75°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=105°，
故答案为105°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
17．6
【分析】根据已知条件和多边形的外角和求出边数即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
又∵多边形的外角和等于，
∴多边形的边数是，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和等于是解此题的关键．
18．
【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差．
【详解】解：∵是的中线，
∴．
∵的周长为，的周长为，
∴，
,
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边与长度的差是解题的关键．
19．
【分析】找出过每个顶点可画的对角线的条数，除去重复的即可得出结果．
【详解】解：如图，
过顶点可以画条对角线，
过顶点可以画条对角线，
过顶点可以画条对角线；
…，
过顶点可以画条对角线；
∴n边形的对角线条数的为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，关键是熟练掌握一些基本知识．
20．/10度
【分析】利用角平分线的定义，可得出，，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
又，
．
，
，
．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
21．(1)
(2)0
【分析】（1）根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，确定绝对值符号内的式子的符号，从而去掉绝对值符号，然后进行化简即可；
（2）将，，，代入求值，即可得到答案．
【详解】（1）解：a，b，c是三角形的三边长，
，，，
，，，
；
（2）解：当，，时，
原式．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，代数式求值，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
22．见解析
【分析】在，，中，根据三角形的三边关系可得，，，即可求解．
【详解】证明：在中，．
在中，．
在中，．
三式相加，得：，
即 ．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
23．，
【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再利用三角形的外角的性质可知，最后利用直角三角形的性质可知即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理及三角形的外角的性质是解题的关键．
24．(1)的值为10
(2)的值为5
【分析】（1）根据多边形内角和为，多边形的外角和是，列出方程，求解即可得出答案；
（2）先求出正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角和是，即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意，得，
解得，
即的值为10．
（2）解：正多边形的一个内角为，
这个正多边形的一个外角为，
多边形的外角和为，
，
即的值为5．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形内角和为，多边形的外角和是是解题的关键．
25．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角性质求出，即可求出，再利用三角形的外角的性质求出即可；
（2）根据三角形外角性质求出，根据三角形外角求出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）结论：．
证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键掌握三角形外角的性质．
（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可；
（2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可；
（3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数．
【详解】解：（1）如图，
由三角形的外角性质，得，，
∵
∴，
故答案为：；
（2）如图，延长与相较于点，
和是的两个外角，则，，
，
，
故的度数为．
（3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，，
在题图3中，去掉五个角后，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点．
27．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证；
（2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解；
（3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴
（3）∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了是三角形的内角和，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角形的内角和为，对顶角相等，以及加减消元法．
28．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）证出，由平行线的判定可得出结论；
（3）由平行线的性质证出，由（1）可知，，则可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∵与的平分线相交于点P，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），
理由：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．
中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2023年八年级上册第11章《三角形》能力提升测试卷
一、选择题（共36分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．3 cm，4 cm，5 cm B．3 cm，3 cm，6 cm
C．5 cm，10 cm，4 cm D．1 cm，2 cm，3 cm
2．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
3．下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的角平分线，中线交于点O，则：
结论Ⅰ：是的角平分线； 结论Ⅱ：是的中线.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对
5．已知一个三角形的 两个内角分别为50度，65度，则它的第三个内为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．无法确定
6．如图，中，，是高，则的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
7．若n边形的内角和比它的外角和的4倍多，则n是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
8．如图，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则为（ ）
A．2 B．8 C．4 D．1
9．如图，，，之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．30° D．24°
11．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
12．如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
13．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是 ．
14．在中，若，则这个三角形按角分类是 三角形．
15．一个三角形的三边长分别为，7，11，那么的取值范围是 ．
16．如图，∠A=45°，∠ABD=120°，则∠ACE的度数为 ．
17．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是 ．
18．如图，为的中线，的周长为，的周长为，，则为 ．
19．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．
20．如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ．
三、解答题（共60分）
21．（6分）已知a，b，c是三角形的三边长，
(1)化简：．
(2)若，，，求（1）中式子的值．
22．（6分）已知O是中任意一点（如图）．求证：．
23．（6分）如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数．
24．（8分）已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值，
25．（8分）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
26．（8分）（1）如图1，这是一个五角星，则 ．
（2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．
（3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．
27．（9分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
28．（9分）如图，在锐角三角形中，，的平分线交于点P．
(1)如图1，，则 °；
(2)如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点F，作交于点D，试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，请探究和之间的数量关系．
参考答案
1．A
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：、，能组成三角形，故此选项符合题意；
、，不能组成三角形，故此选项不合题意；
、，不能组成三角形，故此选项不合题意；
、，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．A
【分析】根据三角形具有稳定性即可解答．
【详解】解：三角形具有稳定性．
故选A．
3．B
【分析】根据三角形高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高判断即可．
【详解】解：边上的高，就是过对应的顶点向作垂线，垂线交的延长线于点，
即为：
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，掌握钝角三角形的高的作法是解答本题的关键．
4．C
【分析】根据三角形角平分线和中线的定义判断即可．
【详解】解：是的角平分线，
平分，即平分，
结论Ⅰ：是的角平分线，正确；
是的中线，
点是的中点，而点不一定是的中点，
结论Ⅱ：是的中线，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形角平分线和中线的定义，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线．
5．B
【分析】根据三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【详解】解：三角形的两个内角分别是、，
它的第三个角的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟知“三角形内角和是”是解答此题的关键．
6．B
【分析】设，根据三角形的内角和定理即可求出各内角度数，据此可求解．
【详解】解：设
根据三角形的内角和定理有：
解得：
∴
∵是高
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．掌握相关结论建立等量关系是解题关键．
7．C
【分析】根据多边形内角和与外角和的计算方法列方程求解即可．
【详解】解：由于边形的内角和比它的外角和的4倍多，
所以，
解得，
即这个多边形为11边形，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的外角和是是正确解答的前提，根据多边形外角与内角的关系列方程是解决问题的关键．
8．A
【分析】利用等底同高的三角形的面积相等，可先得到，即，同理可知，，从而得到，那么就可求出的面积．
【详解】解：∵D是的中点，
∴．
又∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查三角形的中线，掌握等底等高来求各个小三角形的面积是大三角形的面积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
9．D
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
又∵是的一个外角，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题的关键．
10．C
【分析】如图，延长交延长线于点，交于点M，可证，再根据，求出、度数，根据四边形内角和计算即可．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，交于点M，
，，
，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，解题关键是学会添加辅助线．
11．D
【分析】根据内角和为可得：多边形的边数为六边形，然后分情况求解即可．
【详解】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为的多边形的边数是n，
∴，
解得：．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键．
12．C
【分析】根据折叠的性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解．
【详解】解：根据折叠的性质有：，，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
13．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性求解即可．
【详解】解：人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键．
14．直角
【分析】计算出三角形的最大角的度数，判断即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
15．
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：三角形的三边长分别为，7，11，
即
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．105°/105度
【分析】根据三角形外角的性质及邻补角可直接进行求解．
【详解】解：∵∠A=45°，∠ABD=120°，
∴∠ACB=∠ABD-∠A=75°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=105°，
故答案为105°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
17．6
【分析】根据已知条件和多边形的外角和求出边数即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
又∵多边形的外角和等于，
∴多边形的边数是，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和等于是解此题的关键．
18．
【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差．
【详解】解：∵是的中线，
∴．
∵的周长为，的周长为，
∴，
,
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边与长度的差是解题的关键．
19．
【分析】找出过每个顶点可画的对角线的条数，除去重复的即可得出结果．
【详解】解：如图，
过顶点可以画条对角线，
过顶点可以画条对角线，
过顶点可以画条对角线；
…，
过顶点可以画条对角线；
∴n边形的对角线条数的为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，关键是熟练掌握一些基本知识．
20．/10度
【分析】利用角平分线的定义，可得出，，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
又，
．
，
，
．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
21．(1)
(2)0
【分析】（1）根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，确定绝对值符号内的式子的符号，从而去掉绝对值符号，然后进行化简即可；
（2）将，，，代入求值，即可得到答案．
【详解】（1）解：a，b，c是三角形的三边长，
，，，
，，，
；
（2）解：当，，时，
原式．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，代数式求值，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
22．见解析
【分析】在，，中，根据三角形的三边关系可得，，，即可求解．
【详解】证明：在中，．
在中，．
在中，．
三式相加，得：，
即 ．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
23．，
【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再利用三角形的外角的性质可知，最后利用直角三角形的性质可知即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理及三角形的外角的性质是解题的关键．
24．(1)的值为10
(2)的值为5
【分析】（1）根据多边形内角和为，多边形的外角和是，列出方程，求解即可得出答案；
（2）先求出正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角和是，即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意，得，
解得，
即的值为10．
（2）解：正多边形的一个内角为，
这个正多边形的一个外角为，
多边形的外角和为，
，
即的值为5．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形内角和为，多边形的外角和是是解题的关键．
25．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角性质求出，即可求出，再利用三角形的外角的性质求出即可；
（2）根据三角形外角性质求出，根据三角形外角求出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）结论：．
证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键掌握三角形外角的性质．
（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可；
（2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可；
（3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数．
【详解】解：（1）如图，
由三角形的外角性质，得，，
∵
∴，
故答案为：；
（2）如图，延长与相较于点，
和是的两个外角，则，，
，
，
故的度数为．
（3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，，
在题图3中，去掉五个角后，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点．
27．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证；
（2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解；
（3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴
（3）∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了是三角形的内角和，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角形的内角和为，对顶角相等，以及加减消元法．
28．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）证出，由平行线的判定可得出结论；
（3）由平行线的性质证出，由（1）可知，，则可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∵与的平分线相交于点P，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），
理由：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．