2022-2023学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若、、成等差数列，则( )
A. B. C. D.
2. 函数在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
3. 已知函数，为的导函数，则( )
A. B.
C. D.
4. 一个袋中装有大小相同的个白球和个红球，现在不放回的取次球，每次取出一个球，记“第次拿出的是白球”为事件，“第次拿出的是白球”为事件，则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 既有极小值，也有极大值 B. 有极小值，但无极大值
C. 有极大值，但无极小值 D. 既无极小值，也无极大值
6. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的均值( )
A. B. C. D.
7. 在数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
8. 若是等差数列的前项和，，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数，则下面对函数的描述正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 设函数，则 ______ ．
12. 已知随机变量的分布列如下，且：
则 ______ ； ______ ．
13. 已知是公比为的等比数列，其前项和为若，则 ______ ．
14. 若曲线在处的切线方程为，则 ______ ； ______ ．
15. 设随机变量的分布列如下：
给出下列四个结论：
当为等差数列时，；
当为等差数列时，公差；
当数列满足时，；
当数列满足时，时，．
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知等差数列的的前项和为，从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答：
求的通项公式；
若是等比数列，，，求数列的前项和．
；；．
17. 本小题分
已知函数．
求的极值；
求在区间上的最大值和最小值．
18. 本小题分
为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动现从参加该活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的竞赛成绩单位：分用茎叶图记录如下：
Ⅰ从该地区参加该活动的男生中随机抽取人，估计该男生的竞赛成绩在分以上的概率；
Ⅱ从图中分以上的人中随机抽取人，抽到男生的人数记为，求的分布列和期望：
Ⅲ为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取名男生、名女生作为宣传志愿者，记这名男生竞赛成绩的平均数为，这名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由．
19. 本小题分
已知某企业生产一种产品的固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每件的销售收入为元，且
求出年利润万元关于年生产零件万件的函数关系式注：年利润年销售收入年总成本；
将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大．
20. 本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若对任意，恒成立，求的取值范围．
21. 本小题分
定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”．
若数列满足，判断是否为“完全平方数列”；
若数列的前项和是正整数，那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为、、成等差数列，
所以．
故选：．
利用等差中项的性质可求得的值．
本题考查了等差中项的定义与性质应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，则，
所以．
因此函数在处的切线斜率为．
故选：．
利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由可得，．
故选：．
根据导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，即可得答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由已知条件得，
由条件概率公式可得
．
故选：．
根据条件概率结合古典概型计算求解即可．
本题考查条件概率以及古典概型相关知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知：时，，函数是减函数，
时，，函数是增函数，所以时函数极小值点．
故选：．
利用函数与导函数的关系，判断函数的极值，推出选项．
本题考查函数的导数与函数的单调性函数的极值的关系，是基本知识的考查．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
则的期望．
故选：．
先判断出，然后利用方差的计算公式求解即可．
本题考查了二项分布的理解和应用，解题的关键是掌握二项分布的期望计算公式．
7.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
，
所以数列为周期数列，周期为，
则，
故选：．
由题意，根据递推数列得到数列具有周期性，再利用周期性进行求解即可．
本题考查递推数列的应用，考查了运算能力．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即，
又，所以．
故选：．
根据等差数列的前项和与通项公式的关系计算求解即可．
本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，因为数列的通项公式为，且是递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即对于都成立，
所以对于都成立，
所以，即的取值范围是，
故选：．
根据题意，由递增数列的定义可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围．
本题考查数列与函数的综合应用，涉及数列的单调性，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为函数，定义域为，所以，
易知导函数在定义域上是单调递增函数，
又，，
所以在上有唯一的实根，不妨将其设为，且，
则为的最小值点，且，即，两边取以为底的对数，得
故，因为，所以，
故，即对，都有．
故选：．
本题首先要对函数进行求导，确定在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当时，利用确定导函数的极值点从而．得到时是函数的最小值点．
本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键．
11.【答案】
【解析】解：，所以．
故答案为：．
由导数的求导法则求解导数，即可代入求解．
本题主要导数的运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由分布列的性质得，解得，
，
，即，
联立解得，．
故答案为：．
利用分布列的性质及期望公式求解，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，即，
所以．
故答案为：．
依题意可得，再根据通项公式计算可得．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
由于曲线在处的切线方程是，
得，而切点在切线上，且切点为，
，得．
，得．
故答案为：，．
对函数进行求导，利用导数的几何意义和已知切线的方程进行求解即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得：，且，，，，，
对：当为等差数列时，则，
可得，故，正确；
对：当为等差数列时，由知，所以，
由于，所以，解得：，故错误；
对：当数列满足时，满足，，，，，
则，
可得，正确；
对：当数列满足时，则，
可得，时，所以，
由于，，所以，
因此，
由于，所以，因此，
当也符合，故，正确．
故答案为：．
根据题意可得，且，，，，对结合等差数列的性质分析运算；对根据等比数列求和以及分布列的性质即可分析运算；对根据递推关系作差，结合累乘迭代即可求解．
本题考查了数列的递推公式，根据数列给出与的递推关系求，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】解：方案一：选择条件
由题意，设等差数列的公差为，
则，
故，
解得，
，．
方案二：选择条件
由题意，设等差数列的公差为，
则，
故，
解得．
，．
方案三：选择条件
由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
，．
由题意及，
可知，
，
设等比数列的公比为，
则，
，，
，
．
【解析】在选择条件的情况下，先设等差数列的公差为，根据条件计算出公差的值，再根据条件及等差数列的通项公式计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式；在选择条件的情况下，先设等差数列的公差为，根据条件计算出公差的值，再根据条件及等差数列的求和公式计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式；在选择条件的情况下，根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；
根据题干条件，结合可求得，的值，代入公式，即可求出、，进而可得，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题，考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：因为，所以．
令，得或，列表如下：
极大值 极小值
所以的单调递减区间为，单调递增区间为、．
从而的极大值为，极小值为．
由知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又因为，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极大值和极小值；
比较、以及极小值三者的大小，即可得出函数在区间上的最大值和最小值．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值及最值，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由茎叶图数据可知，随机抽取的名学生中有男生人，从男生中随机抽取人，分以上的有人，
所以男生的竞赛成绩在分以上的概率估计值为；
Ⅱ因为抽取的样本学生中分以上的有人，其中有名男生，名女生，
若从人中随机抽取人，
则的所有取值为：，，，
此时，，，，
则的分布列为：
故；
Ⅲ因为选取的名男生，名女生竞赛成绩的数据是随机的，
所以，是随机的，
则不能确定是否有．
【解析】Ⅰ由题意，根据茎叶图中数据以及古典概型概率公式进行求解即可；
Ⅱ结合茎叶图中数据得到分以上的男女人数，推出的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；
Ⅲ因为抽取的男女生成绩是随机的，所以，是随机的，进而可判断，的大小关系．
本题考查离散型随机变量分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：由题意得，总销售收入为，
当产量不足万箱时，．
当产量不小于万箱时，．
则；
设，
当时，，令，得，
得在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，由基本不等式有，
当且仅当，即时取等号；
又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为万元．
【解析】根据售价和成本，分段求出函数式即可；
根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可．
本题考查分段函数的解析式的求法，以及函数的最值求法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，，
所以．
当时，对任意的恒成立，
此时函数的增区间为，无增区间；
当时，令，得，
极大值
所以的增区间为，减区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为．
法一：由可知，当时，函数在上单调递增，
且，与恒成立矛盾；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
，
令，得，得，即．
法二：若对任意，恒成立，
即对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
设，则，其中，
令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，
所以，即实数的取值范围为．
【解析】求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
法一：由中的结论，当时，举反例；在时，由求出实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围；
法二：由可得出，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：不是“完全平方数列”．
，，，不是整数的完全平方数．
数列的前项和是正整数，
当时，，
当时，不满足上式，
所以，
当，时，，
所以数列与原数列相同，所以，
所以当时，数列为“完全平方数列”，
当时，，不是完全平方数，
所以当时，数列不是“完全平方数列”，
综上，当时，数列为“完全平方数列”；
设等差数列的首项为，公差为，
则，
所以，，，
令，得，
此时，
则，
代入，
得，
得，
当时，，
当时，，则，
则，
而符合上式，
所以所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式．
【解析】根据“完全平方数列”的定义分析判断；
根据数列的前项和得到，对，和这两种情况进行分析即可；
设等差数列的首项为，公差为，得到数列的前项和，此时，，，然后利用换元法求解即可．
本题考查数列的新定义，考查等差数列的运算，解题的关键是正确理解“完全平方数列”的定义，考查数学计算能力，属于较难题．
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