2022-2023学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：( )
A. B. C. D.
2. 下列命题错误的是( )
A. 不共线的三点确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点，可确定一个平面
C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点可确定一个平面
3. 下列变量间的关系，不是相关关系的是( )
A. 一块农田的水稻产量与施肥之间的关系 B. 正方形的面积与边长之间的关系
C. 商品销售收入与其广告费支出之间的关系 D. 人体内的脂肪含量与年龄之间的关系
4. 小李打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，他只记得第一位是，中的一个字母，第二位是，，中的一个数字，则小李输入一次密码能成功开机的概率是( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 某地为了解中学生的日均睡眠时间单位：，随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，如图所示，且从左到右的第个，第个，第个，第个小长方形的面积依次构成公差为的等差数列，又第四小组的频数是，则等于( )
A. B. C. D.
7. 在一次实验中，测得的四组数值分别是，，，，则与之间的回归直线方程可能是( )
A. B. C. D.
8. 函数在区间的最大值和最小值分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
9. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的，分别为，，则输出的( )
A. B. C. D.
10. 设函数，在区间内随机抽取两个实数分别记为，，则恒成立的概率是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在一次月考中，高二年级个班的数学平均分如茎叶图所示，这组数字的中位数为______ ．
14. 福利彩票“双色球”中红球的号码可以从，，，，，这个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的个号码，选取方法是从第行第列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为______ ．
第行：
第行：
15. 已知正边长为，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为______ ．
16. 已知正实数，，满足，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
18. 本小题分
为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了名学生，调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在分及以上视为优秀，将一个星期有天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于天视为“不经常整理”已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
求图中的值；
根据图、图中的数据，补全上方列联表，判断能否有的把握认为学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？
在全市“经常整理错题”的中学生中随机抽取名学生，记数学成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望．
附：
19. 本小题分
已知函数．
求的极值；
求方程有两个不同的根，求的取值范围．
20. 本小题分
某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近七个月内的市场占用有率进行了统计，结果如表所示：
月份 月 月 月 月 月 月 月
月份代码
市场占有率
用相关系数说明市场占有率与月份代码之间的关系是否可用线性回归模型拟合？结果保留两位小数
求关于的线性回归方程，并预测该公司月份的市场占有率．
参考依据：．
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
21. 本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，分别为，的中点．
求证：平面；
若平面，求．
22. 本小题分
已知函数和有相同的最大值．
求；
若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由平面的基本性质知：不共线的三点确定一个平面，故A正确；
B.由平面的基本性质的推论知：一条直线和直线外一点，可确定一个平面，故B正确；
C.梯形有一组对边平行，由平面的基本性质的推论知：梯形可确定一个平面，故C正确；
D.由平面的基本性质知：当圆心和圆上两点共线时，不能确定平面，故D错误．
故选：．
由平面的基本性质分别判断即可．
本题考查了平面的基本性质，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项，水稻产量与施肥之间没有明确的等量关系，是相关关系，故A错误；
选项，正方形的面积与边长之间有着明确的等量关系，不是相关关系，故B正确；
选项，商品销售收入与其广告费支出之间没有明确的等量关系，故C错误；
选项，人体内的脂肪含量与年龄之间没有明确的等量关系，故D错误．
故选：．
由相关关系概念可得答案．
本题考查变量间的相关关系等基础知识，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：从，中取一个字母，再从，，中取一个数字的所有情况有：
，，，，，，
共种情况，其中只有一个是密码的前两位，
所以小李输入一次密码能成功开机的概率是．
故选：．
列出从，中取一个字母，再从，，中取一个数字的所有情况，然后利用古典概型概率公式可求得结果．
本题考查了古典概型问题，考查列举法的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由函数的图象可知：
当时，单调递增，
，，，
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
．
故选：．
由函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断的增减性，从而求解．
本题考查导数的几何意义，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题：从左到右的第个、第个、第个、第个小长方形的面积依次相差，
设第一组频率为，则，
解得，
所以第四小组的频率是，
所以，
解得，
故选：．
根据从左到右的第个、第个、第个、第个小长方形的面积依次相差，计算出第组的频率，根据频率和频数的关系即可求得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
则样本点的中心为，
分别代入四个选项，可知与之间的回归直线方程可能是或．
又由已知可得与正相关，得与之间的回归直线方程可能是．
故选：．
由样本数据可得样本中心坐标，利用回归直线方程恒过样本中心点，可得结论．
本题考查回归直线方程，明确回归直线方程恒过样本中心点是关键，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
则所求最大值为，最小值为．
故选：．
对函数求导，判断其在区间上的单调性，即可求得最值．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：按照程序框图运行程序，输入，，
满足，且，，继续运行；
满足，不满足，，继续运行；
满足，不满足，，继续运行；
满足，不满足，，继续运行；
满足，且，，继续运行；
不满足，输出．
故选：．
按照程序框图运行程序，直到不满足时输出结果即可．
本题考查程序框图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
如图，所求概率为．
故选：．
利用基本不等式分析可得，再结合几何概型运算求解．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，求导得，
依题意，不等式在上有解，而，
当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围是．
故选：．
求出函数的导数，利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解作答．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：构建，，则当时恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即；
构建，，则当时恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即；
综上所述：．
故选：．
分别构建，，，，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断．
本题主要考查数值大小的比较，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由茎叶图知，个数学平均分由小到大排列为，，，，，，，，
所以这组数字的中位数为．
故答案为：．
由给定的茎叶图，把个数学平均分从小到大排列，再利用中位数的定义计算作答．
本题主要考查了茎叶图的应用，考查了中位数的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于号码是两位数字，所以从左向右依次读取两位数字分别是：，，，，，，
则第四个被选中的红色球号码为．
故答案为：．
由于号码是两位数字，所以从左向右依次读取两位数字，即可求得．
本题主要考查了简单随机抽样，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题可知三棱锥为棱长为的正四面体，如下图所示，
过点作平面，垂足为点，则点为正的中心，连接并延长交于，则为的中点，设外接球球心为，点，连接，
由，，
设外接球半径为，又，所以，解得，
所以表面积为．
故答案为：．
根据题意判断出三棱锥为正四面体，确定球心位置后，构造三角形，通过解三角形，解出半径即可．
本题考查三棱锥及其外接球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，令，
则有，，
设，，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，当且仅当时，等号成立．
所以，可得，
设，
则，令，得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
故的最小值为．
故答案为：．
由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出和之间的关系，从而把表示为关于的函数，通过构造函数，考查函数单调性即可求得结果．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
所以时，，．
所以在点处的切线方程为：，即．
令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在单调递减，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
【解析】求出函数的导数，根据导数的几何意义就可求得答案．
令，即可求得函数的单调递增区间，令，求得函数的单调递减区间．
本题考查导数的综合应用，解题中注意导数的几何意义的应用，属于中档题．
18.【答案】解：已知，
解得；
已知数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，
经常整理错题且成绩优秀的有人，
列联表如下：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
则，
所以有的把握认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
易知在“经常整理错题”抽到数学成绩优秀的学生概率为．
其中的所有取值为，，
此时，，，
则的分布列为：
所以．
【解析】由题意，根据频率分布直方图中各矩形面积之和为，列出等式即可求解；
补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
由得抽到数学成绩优秀的学生概率为，得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列和期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：，
的定义域为，，
令，解得．
则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，有极小值，没有极大值；
时，，时，，
则的图象如下：
由图象可知，当时，方程有两个不同的根．
故的取值范围为．
【解析】求导后，判断单调性即可求解；
画出图象，由图象即可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合思想，属中档题．
20.【答案】解：因为，，，
所以，
易知两变量之间具有较强的线性相关关系，
故市场占有率与月份代码之间的关系可用线性回归模型拟合．
易知，
易知，
所以，
则关于的线性回归方程为，
当时，，
则预测该公司月份的市场占有率为．
【解析】由题意，根据题中所给的相关系数公式，结合相关系数的性质进行运算求解判断即可；
根据题中所给的公式进行求解即可．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：证明：取的中点为，连接，，
三棱柱，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面．
平面，
，分别为，中点，
，
又平面，平面，
平面，
，，平面，
平面平面，
又平面，
平面；
面，面，
，
又侧面为正方形，
，
，，平面，
平面，
．
【解析】利用线面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理证明面面平行即可得出线面平行；
先证明平面，再由棱锥体积公式求解．
本题考查了线面平行的判定，面面平行的判定和性质，考查了棱锥体积的求法，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：，．
有最大值，．
在单调递增，在单调递减．
．
，．
在单调递增，在单调递减．
．
，
，解得；
直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：
由于两种情况证法类似，下证第一种情况：
设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，．
由可知：且．
，
，且，在单调递增，
同理，．
又，即．
，．
【解析】利用导数分别求出两函数的最大值，再由两函数的最大值相等列方程可求出的值；
直线与和的图象有四个不同的交点，有两种情况，设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，，直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，，由可知且，化简结合函数的单调性可得结论．
本题考查导数的综合应用，利用导数解决函数最值问题，数形结合的思想，化归转化思想，属难题．
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