2023-2024学年北师大版九年级数学上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步测试卷（无答案）

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一元二次方程的根是( )
A. B. C. 和 D. 和
2. 关于的一元二次方程的解为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 若关于的一元二次方程必有一根为，则的值是( )
A. 或 B. 或 C. D.
4. 方程的解为( )
A. B.
C. D. ，
5. 现定义运算“”，对于任意实数，，都有，如：若，则实数的值是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
6. 若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
7. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是( )
A. B. C. D.
8. 若，则代数式的值( )
A. 或 B. 或 C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 方程的根为______．
10. 三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是______．
11. 一元二次方程的解是______．
12. 当时，代数式的值等于，则当时，代数式的值为________．
13. 一元二次方程的根为 ．
14. 如果与的值互为相反数，那么的值为 ．
15. 在正数范围内定义一种运算“”，其规则是，根据这个规则，方程的解是 __．
16. 观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”若也是“连根一元二次方程”，则的值为 ，第个方程为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8分）
17. 解下列方程：
；
．
四、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
已知是方程组的解．
求的值；
若已知一个三角形的一条边长为，它的另外两条边的长是方程的解，试判断这个三角形的形状并说明理由．
19. 本小题分
小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：
两边同除以，得
，
则． 小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程．
20. 本小题分
阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得，当时，，当时，，．
原方程的解为，，，．
根据上述解法，解方程．
21. 本小题分
解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．
当时，，解得
当时，，解得．
原方程的解为，．
请你参考以上思路，解方程．
22. 本小题分
根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得，右边的两个一次式的一次项系数和常数项有关系，“”左边上、下两数的积是原式左边二次项的系数，“”右边上、下两数的积是原式左边的常数项，交叉相乘的积之和是原式左边一次项的系数这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察、分析理解后，解答下列问题．
分解因式： ．
解方程：．
23. 本小题分
阅读下面材料：
我们知道可以分解因式，结果为，其实也可以通过配方法分解因式，其过程如下：

．
请仿照上述过程，完成以下练习：


．
请观察横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系
24. 本小题分
先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题：
解方程：．
解：设，原方程可化为：．
解得，．
当时，．
解得，．
当时，．
解得，．
所以原方程的解为：，，，．
解方程：．
解方程：．
直接写出方程的解．
25. 本小题分
阅读下面的材料，回答问题：
解一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，
当时，，
原方程有四个根：，，，．
请你按照上述解题思想解方程．