华师大版数学八年级上册 13.5.3角平分线 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
第3课时 角平分线
引入
通过上节课我们知道，往往性质定理与其相应的判定定理互为逆定理.这节课我们将探究角平分线的性质定理及其逆定理——角平分线的判定定理.
探究新知
思考
（一）角平分线的性质定理
我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
证明
A
E
B
D
O
P
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠OEP=∠ODP=90°.
∵∠EOP=∠DOP，OP=OP，
∴△EOP≌△DOP，
∴PD=PE.
小结
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
思考
（二）角平分线的判定定理
角平分线性质定理的逆命题：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.这个命题是否是真命题呢？
证明
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD=QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
A
E
B
D
O
Q
证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB，
∴∠OEQ=∠ODQ=90°.
∵QD=QE，OQ=OQ，
∴△EOQ≌△DOQ，
∴∠AOQ=∠BOQ.
故点Q在∠AOB的平分线上.
小结
定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
思考
（三）三角形三条角平分线交于一点
已知：如图所示，AD、BE分别是△ABC中∠BAC与∠ABC的平分线，AD、BE相交于O.求证：∠ACB的平分线过点O.
A
B
C
D
E
O
证明：连接CO，延长CO交AB于F，过点O作OH⊥AC于H， OG⊥BC于G， OI⊥AB于I.
∵AD是∠BAC的平分线且O在AD上，
∴OH=OI.
∵ BE是∠ABC的平分线且O在BE上，
∴OG=OI，∴OH=OG.
又∵ OH⊥AC， OG⊥BC，
∴FC是∠ACB的平分线.
∴△ABC的三条内角平分线相交于一点O.
A
B
C
D
E
F
O
G
H
I
随堂练习
练习
1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等.
A
B
O
l
P
练习
2.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于一点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
A
B
D
C
E
F
证明
证明：
过F作FG⊥AD于G，FH⊥AE于H，FI⊥BC于I.
∵F是∠CBD和∠BCE平分线上的点，
∴FG=FI，FI=FH，
∴FG=FH.
又∵AF=AF，∠AGF=∠AHF=90°，
∴△AFG≌△AFH，
∴∠HAF= ∠GAF，
∴点F在∠DAE的平分线上.
A
B
D
C
E
F
G
H
I
课时总结
小结
要会证明角平分线的性质定理与判定定理，并会应用这个定理.
会证明三角形三条角平分线相交于一点，并会运用这个定理.
布置作业
作业
1.课本第99页习题13.5第4题.
作业
2.备选习题
（1）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是 （ ）
C
B
A
D
作业
2.备选习题
（2）如图所示，FD⊥AM于D， FE⊥BM于E，下列能够证明△DMF≌△EMF的条件的个数是 （ ）
A
M
D
E
F
B
① MF是∠AMB的平分线；
② DE=EF； ③ DM=EM；
④ ∠MFD=∠MFE.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
作业
（3）如图，AB//CD，CE平分∠ACD交AB于E，∠A=118°，则∠AEC= 度.
2.备选习题
A
B
C
D
E