二次函数专题

二次函数的家族探秘
讲座一：图像解码含二次的方程和不等式（二次函数、二次方程、二次不等式的联系与转化）（3课时）
一、二次函数的解析式
1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0);
2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);
3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点的横坐标);
注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设
条件, 合理地设出解析式.
例1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式.
解法一: 利用二次函数的一般式.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则：
解法二: 利用二次函数的顶点式.
设f(x)=a(x-m)2+n, ∵f(2)=f(-1)=-1,
∴抛物线的对称轴为直线 x=1/2 , ∴m=1/2
又 f(x) 的最大值是 8, ∴n=8.
∴f(x)=a(x -1/2)2+8，∵f(2)=-1,
∴a(2 -1/2)2+8=-1, ∴a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-1/2)2+8=-4x2+4x+7.
解法三: 利用二次函数的两根式.
由已知 f(x)+1=0 的两根为 2 和 -1,
故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1.
即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又 f(x) 的最大值是 8,
∴,解得 a=-4 或 a=0(舍去).
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.
二、二次函数的图像
有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标;
截 x 轴线段长.
三、二次函数的性质
1.当 a>0 时, 抛物线开口向上, 函数在(-∞, ]上单调递
减, 在[, +∞)上单调递增, 当 x= 时, f(x) 取得最小值,
为 .
2.当 a<0 时, 抛物线开口向下, 函数在(-∞, ]上单调递
增, 在[, +∞)上单调递减, 当 x=时, f(x) 取得最大值,
为 .
四、二次函数与方程、不等式的关系
判别式△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0) 的根 有两相异实根 x1, x2 (x1 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x | xx2} {x | x≠} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x | x1例2．解下列不等式：
（1）x2-2x-3>0; (2) -3x2+4x+7>0; (3)x2+2x+1<0
解：略
例3．对任何实数x，不等式都成立，求k的取值范围。
解：当k＝0时，原不等式化为2x>0，不是对任何实数x都成立。当k<0时，抛物线y=开口向下，不等式 也不是对任何实数x都成立,因此我们有k>0且△<0，解得
故当时，不等式恒成立。
例4．已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是,解不等式：ax2-bx+c>0.
解法1： 由题意，函数y=ax2+bx+c图象开口向下，且此图象与 x轴交点的横坐标分别为-2，，故有a<0，且
例5.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+1在区间[0, 2]上有最小值 3, 求实数 a 的值.
解: 由已知 f(x)=4(x - )2 - 2a+2. ∵f(x) 在区间[0, 2]上的最小值为 3, ∴可分情况讨论如下:
(1)当≤0, 即 a≤0 时, 函数 f(x) 在[0, 2]上是增函数.
∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由 a2-2a+2=3 得: a=1 .
∵a≤0, ∴a=1-
(2)当 0<<2, 即 0由 -2a+2=3 得: a= (0, 4), 舍去.
(3)当≥2, 即 a≥4 时, 函数 f(x) 在[0, 2]上是减函数.
∴ f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3 得: a=5
∵a≥4, ∴a=5+
综上所述, a=1-或 a=5+.
例6.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与直线 y=25 有公共点, 且不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(, ), 求 a, b, c 的取值范围.
解: 由已知, 二次方程 ax2+bx+c -25＝0 有实根.
∴ △=b2-4a(c -25)≥0.
又不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(, ),
∴ a<0, 且有，
∴ b=，
∴ b=-c, 代入 b2-4a(c -25)≥0 得:
c2+24c(c -25)≥0. 解得: c≥24.
∴ b≤-24, a≤-144.
故 a, b, c 的取值范围分别是 a≤-144, b≤-24, c≥24.
注：解决二次函数问题的关键是把握三个二次的关系。
讲座三：“神秘来客”——含有参数的二次函数问题（3课时）
有关二次函数的问题中，常常含有参数，如何解决含有参数的二次函数问题是本讲座的核心内容
例1．已知 y2=4a(x -a)中a>0, 且当 x≥a 时, S=(x -3)2+y2 的最小值为 4, 求参数 a 的值.
解: 由已知 S=(x -3)2+y2=(x -3)2+4a(x -a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.
∵当 x≥a 时, S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2 的最小值为 4,
∴对正数 a, 可分情况讨论如下:
(1)当 3-2a1 时, 函数 S(x) 在[a, +∞]上是增函数.
∴ S(x)min=S(a)=(a-3)2. 由 (a-3)2=4 得: a=1 或 5.
∵a>1, ∴a=5.
(2)当 3-2a≥a, 即 0由 12a-8a2=4 得: a=1 或 ， 均满足 0综上所述, 参数 a 的值为或 1 或 5.
例2．已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 是否存在常数 a, b, c, 使不等式 x≤f(x)≤，对一切实数 x 都成立
解: 假设存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数 x 都成立.
则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 得 a-b+c=0. ①
∵ x≤f(x)≤对一切实数 x 都成立, 当 x=1 时也成立,
∴ 1≤f(1)≤1, 即 f(1)=1, 得 a+b+c=1. ② 　
∴由 ①, ② 得: a+c=b=，∴ f(x)=ax2+x+-a.
故应x≤ax2+x+-a≤对一切实数 x 都成立.
即2ax2-x+1-2a≥0与(1-2a)x2-x+2a≥0对一切实数 x 都成立.
则必有: 1-8a(1-2a)≤0, 其中, 0即 (4a-1)2≤0. ∴ a=. ∴ c =-a =.
故存在一组常数: a=, b=, c=, 使不等式 x≤f(x)≤
对一切实数 x 都成立.
例3．已知二次函数 f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9. (1) 若在 [-1, 1] 上至少存在一个实数 m, 使得 f(m)>0, 求实数 a 的取值范围; (2)若对 [-1, 1] 上的一切实数 m, 都有 f(m)>0, 求实数 a 的取值范围.
解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1.
(1)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)max>0.” 讨论如下:
①当 a-1≤0 即 a≤1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.
由 -a2-2a+15>0 得: -5②当 a-1>0 即 a>1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.
由 -a2+6a+7>0 得: -11, ∴ 1综上所述, -5(2)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)min>0.” 讨论如下:
①当 a-1<-1 即 a<0 时, f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7.
由 -a2+6a+7>0 得: -1②当 -1≤a-1≤1 即 0≤a≤2 时, f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7.
而当 0≤a≤2 时, -3a2+6a+7>0 恒成立. ∴ 0≤a≤2.
③当 a-1>1 即 a>2 时, f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.
由 -a2-2a+15>0 得: -52, ∴ 2综上所述, -1例4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0), 方程 f(x) -x=0 的两根x1, x2 满足 0证: (1)令 F(x)=f(x) -x, 由于 x1, x2 是方程 f(x) -x=0 的两根,
所以可设 F(x)=a(x-x1)(x-x2).
当 x∈(0, x1) 时, 由 x10 有: F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.
即 f(x) -x>0, 从而 f(x)>x.
又 x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].
∵00, 1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.
∴ x1-f(x)>0, 从而 x1>f(x).
故当 x∈(0, x1) 时, 有 x(2)依题意 x0=.
由于 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 即 ax2+(b-1)x+c=0 的两根,
∴ x1+x2=, ∴b=1-a(x1+x2).
∴x0===
∵ax2<1, 即ax2-1<0,
∴ x0=<=
故 x0<
例5.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0 在[0, ]上有两个不同的解, 求实数a 的取值范围; (2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0 在[0, ]上恒成立, 求实数 a 的取值范围.
解: (1)令 t=sinx, 则方程 2sin2x-4asinx+1-a=0 在[0, ]上有两个
不同的解等价于:
方程 2t2-4at+1-a=0 有一根为 0, 另一根不在 (0, 1) 内;
或方程 2t2-4at+1-a=0 在 (0, 1) 内有两等根;
或方程 2t2-4at+1-a=0 有一解在 (0, 1) 内, 另一解在[0, 1]外.
当 t=0 时, a=1, 方程 2t2-4at+1-a=0 的另一根为 2 且 2(0, 1),
∴a=1 适合题意;
方程 2t2-4at+1-a=0 有两等根时, 由 △=16a2-8(1-a)=0 得:
a=-1 或 　.
∵a=-1时, 方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为-1 但 - 1(0, 1),
∴a=-1 不合题意, 舍去;
又a=时, 方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为且(0, 1),
∴a=适合题意;　
设 f(t)=2t2-4at+1-a, 则方程 2t2-4at+1-a=0有一解在(0, 1)内, 另一解在[0, 1]外等价于: f(0)f(1)<0, 即 (1-a)(3-5a)<0.
解得综上所述, 实数 a 的取值范围是 a=, 或(2)令 t=sinx, 则不等式 2sin2x-4asinx+1-a>0 在[0, ]上恒成立等价于不等式 2t2-4at+1-a>0 在[0, 1]上恒成立.
解得 a< , 此即为所求实数 a 的取值范围.　
例6.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0, a, bR). 设关于 x 的方程f(x)=0 的两根分别为 x1, x2, f(x)=x 的两根分别为, .
(1)若|-|=1, 求 a, b 满足的关系式; (2)若 a, b 均为负整数, 且|-|=1, 求f(x)的解析式; (3)若<1<<2, 求证: (x1+1)(x2+1)<7.
4ac-b2
4a
=8.
a-b+c=-1
4a+2b+c=-1
解得　
c=7
b=4
a=-4
1-a>0
0≤a≤1
2a2+a-1<0
a<0
a>1
f(1)>0.
a>1
3-5a>0.
a<0
f(a)>0
0≤a≤1
f(0)>0
即 　　　 或　　　　　 或　
等价于 或　　　 或