22.2.1 二次函数与一元二次方程 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
22.2.1二次函数与一元二次方程
人教版九年级上册
知识回顾
一次函数与一元一次方程的关系
当函数 y = ax + b 的函数值 y为0时，求自变量 x 的值. (a,b为常数，a≠0)
解一元一次方程
ax + b = 0
(a,b为常数，a≠0)
转化
求 ax+b=0
(a,b为常数,a≠0)的解
直线 y= ax+b与 x 轴
公共点的横坐标
(a,b为常数，a≠0)
知识回顾
一次函数
一元一次方程
二次函数
y=ax2+bx+c
(a,b,c为常数，a≠0)
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0)
？
教学目标
1.理解二次函数与一元二次方程的关系，能将二者的问题进行相互转化；
2.体会并能应用数形结合思想解题.
新知导入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
新知探究
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
h=20t-5t2
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
新知探究
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
h=20t-5t2
从二次函数的角度看，可以把这个问题转换成什么问题呢？
求抛物线h=20t-5t2与直线h=15的是否有交点，若有交点，则交点的横坐标为多少.
新知探究
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
解方程：20=20t-5t2,
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
h=20t-5t2
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
新知探究
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
h=20t-5t2
从二次函数的角度看，可以把这个问题转换成什么问题呢？
求抛物线h=20t-5t2与直线h=20的是否有交点，且横坐标t为多少.
或求抛物线h=20t-5t2的顶点纵坐标是多少.
新知探究
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
h=20t-5t2
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度
新知探究
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20.5
h=20t-5t2
从二次函数的角度看，可以把这个问题转换成什么问题呢？
求抛物线h=20t-5t2与直线h=20.5的是否有交点.
新知探究
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
解：0=20t-5t2,
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
新知探究
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
解：0=20t-5t2,
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
从二次函数的角度看，可以把这个问题转换成什么问题呢？
求抛物线h=20t-5t2与x轴的两个交点间的距离.
新知小结
二次函数与一元二次方程关系密切
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作求二次函数 y = x2－4x+3 与x轴公共点的横坐标．
新知探究
关于下列二次函数的图象
(1) y = x2＋x－2
(2) y = x2－6x＋9
(3) y = x2－x＋1
x
y
o
-2
1
x
y
o
3
x
y
o
1
二次函数 函数图象与x轴公共点横坐标 一元二次方程
的根 一元二次方程
y = x2＋x－2
y = x2－6x＋9 x2－6x＋9=0
y = x2－x＋1 x2－x＋1=0
无公共点
无实数根
x2＋x－2=0
新知小结
归纳：二次函数 的图象可得如下结论
一元二次方程
根的三种情况：
有两个不相等的实数根，
有两个相等的实数根，
没有实数根.
抛物线
与x轴的位置关系有三种：
有两个公共点，
有一个公共点，
没有公共点.
新知探究
抛物线y＝ax2＋bx＋c (a,b,c为常数，a≠0)
与x轴公共点横坐标
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0 (a,b,c为常数，a≠0)
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数，a≠0)的值为0时，相应的自变量的值
数
形
新知小结
从“形”上看
从“数”上看
数形结合
新知探究
2
例1 完成下列填空
新知探究
变式
若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
y
O
x
1
3
-1
新知探究
新知典例
思考1：画哪个函数的图象？
画出函数 y=x2-2x-2 的图象.
例2 利用函数图象求方程 x2-2x-2=0 的实数根（结果保留小数点后一位）.
解析：x2-2x-2=0
求抛物线 y=x2-2x-2与x轴公共点的横坐标
转化
x
y
…
…
-1
1
0
-2
1
-3
2
-2
3
1
…
…
新知典例
(-0.7, 0)
(2.7, 0)
解：画出函数y=x2-2x-2的图象，
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.
所以方程 x2-2x-2=0 的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.
新知典例
2.52计算:
方法2：方程的根的取值范围是什么？
x
y
2.6
-0.44
2.7
-0.11
2.8
0.24
2.9
0.61
新知小结
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与x轴有两个交点, 可将单位长再十等分，从而估计出交点的横坐标（方法一）；
(3)确定横坐标的取值范围，逐一取值，找出二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解（方法二）.
课堂总结
2.函数与方程互相转化的思想；数形结合的思想.
3.用图象法求一元二次方程的近似根.
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
图象与x轴公共点横坐标
一元二次方程的根
1.
课堂练习
1.若二次函数 y＝x2－4x+ m的图象与 x 轴只有一个公共点，则实数m= _____；
2.若抛物线 y＝x2－6x+ n与 x 轴没有公共点，则实数n的取值范围________；
3.若抛物线 y＝x2+2x+ m-1与 x 轴有公共点，则实数m的取值范围________.
“没有公共点”等价于“方程没有实数根”
“只有一个公共点”等价于“方程有两个相等的实数根”
“有公共点”等价于“方程有两个相等或两个不相等的实数根”
4
m ≤2
n ＞9
课堂练习
1.若二次函数 y＝(a－1)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点，则 a的值为________．
方法小结：
用判别式时要注意含有参数的二次项系数不为零.
a ≤2且a≠1
学生错解 a ≤2
2.若函数 y＝(a－1)x2-4x＋2a 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 a的值为________．
课堂练习
方法小结：
题中没有指明是二次函数的情况下，则需要对函数进行分类讨论.
1或2或-1
学生错解 a =2，-1
谢谢
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