江苏省宿迁市2023年数学中考试卷
一、单选题
1．（2023·岳阳）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．（2023·宿迁）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、2+2=4，不能构成三角形，故不符合题意；
B、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；
C、3+4>5，能构成三角形，符合题意；
D、3+4<8，不能构成三角形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断.
3．（2023·宿迁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a-a=a，故错误；
B、a3·a2=a5，故正确；
C、(ab)2=a2b2，故错误；
D、(a2)4=a8，故错误.
故答案为：B.
【分析】同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；积的乘方，先将每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
4．（2023·宿迁）已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A．89 B．94 C．95 D．98
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据按照由小到大的顺序排列为：89、92、95、96、98，
∴中位数为95.
故答案为：C.
【分析】首先将数据按照由小到大的顺序进行排列，如何找出最中间的数据即为中位数.
5．（2023·宿迁）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵内角和为180°，
∴110°只能为顶角，
∴底角==35°.
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得110°只能为顶角，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
6．（2023·宿迁）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x辆车，由题意可得3(x-2)=2x+9.
故答案为：D
【分析】 根据三人共车，余两车空可得总人数为3(x-2)：根据两人共车，剩九人步可得总人数为2x+9，然后根据总人数一定就可列出方程.
7．（2023·宿迁）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点P到直线的最大距离为2+3=5.
故答案为：B.
【分析】点P到直线的最大距离=半径+圆心O到直线l的距离，据此计算.
8．（2023·宿迁）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接AC，设直线y=x+1与x、y轴分别交于点E、F，作OG⊥AB于点G，则E（0，1），F（-1，0），
∴EF=，
∴OG=EF=.
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠EFO=45°，
同理可得直线CD与x轴的夹角也为45°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴BC=.
∵四边形ABCD的面积为4，
∴AB=，
∴AC==，
∴OA=.
设A（m，m+1），
∴m2+(m+1)2=()2，
∴m2+m=.
∵点A在y=上，
∴k=m(m+1)=m2+m=.
故答案为：A.
【分析】连接AC，设直线y=x+1与x、y轴分别交于点E、F，作OG⊥AB于点G，则E（0，1），F（-1，0），EF=，OG=EF=，易得直线EF、CD与x轴的夹角均为45°，则四边形ABCD为矩形，由矩形的面积公式可得AB的值，由勾股定理求出AC，然后求出OA，设A（m，m+1），由勾股定理可得m2+(m+1)2=()2，然后进行化简，再结合点A在y=上就可求出k的值.
二、填空题
9．（2020七下·硚口期末）计算： ＝
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
10．（2023·宿迁）港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：55000=5.5×104.
故答案为：5.5×104.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
11．（2022·衢江模拟）分解因式： .
【答案】x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为： x（x-2）.
【分析】直接提取公因式x即可.
12．（2023·宿迁）不等式的最大整数解是 ．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵x-2≤1，
∴x≤3，
∴不等式的最大整数解为3.
故答案为：3
【分析】根据移项、合并同类项可得不等式的解集，进而可得不等式的最大整数解.
13．（2017七下·徐州期中）七边形的内角和是
【答案】900°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）=900°．
故答案为：900°．
【分析】由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n=7代入即可求得答案．
14．（2020八下·桂林期末）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 .
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】根据关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数可得：点 关于 轴对称的点的坐标是 ；
故答案是 .
【分析】关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此求解即可.
15．（2023·宿迁）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的母线长是 ．
【答案】6
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面半径为2，
∴底面周长为2π×2=4π，
∴4π=，
∴l=6.
故答案为：6.
【分析】根据底面圆的半径可得周长，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，结合弧长公式进行计算.
16．（2023·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=42+22=20.
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴sin∠ABC==.
故答案为：.
【分析】连接AC，由勾股定理求出AC2、BC2、AB2，结合勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．（2023·宿迁）若实数m满足，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，
∴1=2025+2(m-2023)·(2024-m)，
∴2(m-2023)·(2024-m)=-2024，
∴(m-2023)·(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】根据完全平方公式可得[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，然后代入计算即可.
18．（2023·宿迁）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段 绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；旋转的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：画出前4次旋转后点P的位置：
由图象可得：点P1、P4在x轴正半轴上，
∴旋转3次为一个循环.
∵99÷3=33，
∴点P99在射线CA的延长线上，点P100在x轴正半轴上.
∵C（1，0），△ABC为正三角形，
∴由旋转的性质可得AC=CP1=1，
∴BP1=OC+CP1=2，
∴P1（2，0），
∴BP2=BP1=2，
∴AP3=AP2=OP2+AO=3，
∴CP4=CP3=CA+AP3=4，
∴BP4=BC+CP1=5，
∴P4（5，0）.
同理可得P7（8，0），P10（11，0），
∴P100（101，0），
∴BP100=101，
∴CP100=101-1=100，
由旋转的性质可得CP99=100.
过P99作P99E⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，
∴∠EP99C=30°，
∴EC=P99C=50，
∴EO=EC-OC=49，P99E==，
∴P99（-49，）.
故答案为：（-49，）.
【分析】由题意可得点P1、P4在x轴正半轴上，则旋转3次为一个循环，进而推出点P99在射线CA的延长线上，点P100在x轴正半轴上，由旋转的性质可得AC=CP1=1，则BP1=OC+CP1=2，表示出点P1的坐标，然后求出BP2、AP3、CP4、BP4，表示出点P4的坐标，同理可得点P7、P10、P100的坐标，过P99作P99E⊥x轴于点E，易得∠EP99C=30°，则EC=P99C=50，EO=EC-OC=49，P99E==，据此可得点P99的坐标.
三、解答题
19．（2023·宿迁）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、零次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值可得原式=-1+1-，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加法法则进行计算.
20．（2023·宿迁）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将m的值代入计算即可.
21．（2023·宿迁）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，，
，
在和中，，
，
．
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=CB，AD∥CB，由平行线的性质可得∠DAF=∠BCE，根据垂直的定义可得∠AFD=∠CEB=90°，利用AAS证明△ADF≌△CBE，据此可得结论.
22．（2023·宿迁）为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．
学生参加周末活动人数统计表
活动名称 人数
A．课外阅读 40
B．社会实践 48
C．家务劳动 m
D．户外运动 n
E．其它活动 26
请结合图表中提供的信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）扇形统计图中A对应的圆心角是 度；
（3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．
【答案】（1）24；62
（2）72
（3）解：（名），
答：估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）总人数为48÷24%=200，n=200×31%=62，m=200-40-48-62-26=24.
故答案为：24，62.
（2）40÷200×360°=72°.
故答案为：72.
【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数，根据总人数乘以D所占的比例可得n的值，然后可求出m的值；
（2）利用A的人数除以总人数，然后乘以360°即可；
（3）利用C的人数除以调查的总人数，然后乘以800即可.
23．（2023·宿迁）某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是 ；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
【答案】（1）
（2）画树状图为如下：
共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的有12种，，，，，，，，，，，，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵共有A、B、C、D、E五人，
∴女生D入选的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）直接根据概率公式进行计算；
（2）画出树状图，找出总情况数以及选中1名男生和1名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
24．（2023·宿迁）如图，在中，，，．
（1）求出对角线的长；
（2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：连接，过作于，如图所示：
在中，，，
，
，
，
在中，，，，则；
（2）解：如图所示：
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接BD，过D作DF⊥AB于点F，根据三角函数的概念可得AF=DF=3，则BF=AB-AF=2，然后在Rt△BDF中，利用勾股定理计算即可；
（2）根据步骤作图即可.
25．（2023·宿迁）
（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、， ▲ ．求证： ▲ ．
从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
（2）如图，连接，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）已知条件为②，结论为①；由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，由角平分线的概念可得∠OAD=∠CAD，则∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，结合DE⊥AC可得DE⊥OD，据此证明；
（2）连接OD、OF，由AB=6可得OA=OD=OF=3，由解直角三角形可得AD、DE、AE，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD=30°，则∠BAC=60°，推出△OAF为等边三角形，得到AF=OA=3，则EF=AE-AF=，由圆周角定理可得∠DOF=2∠CAD=60°，然后根据S阴影=S梯形ODEF-S扇形ODF进行计算.
26．（2023·宿迁）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
（1）求两种商品的销售单价．
（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解：种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，根据售出A种20件，B种10件，销售总额为840元可得20x+10y=840；根据售出A种10件，B种15件，销售总额为660元可得10x+15y=660，联立求解即可；
（2）根据A种商品售价不低于B种商品售价可得30-m≥24，求出m的范围，由题意可得A商品可售出(40+10m)件，A商品每件的利润为(30-m-20)元，B商品可售出(40+10m)件，B商品每件的利润为(24-20)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与m的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
27．（2023·宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展]延长，过作于，过作于，如图所示：
，
，
，，
，
坡比为（即），，设，
，解得，
，
，，设，
，解得，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，．
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】[问题背景]由题意可得∠AEB=∠CED，∠B=∠D=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质进行计算；
[活动探究]同理证明△GBE1∽△CDE1，△ABE2∽△CDE2，由相似三角形的性质可得GB、AB，然后根据AG=GB-AB进行计算；
[应用拓展]延长DA，过C作CF⊥DA于F，过B作BH⊥DA于H，由平行线的性质可得∠CDE=∠DAG，根据坡比可设AG=8x，GD=15x，由勾股定理可得x的值，然后求出AG、GD，由∠CDE=∠DAG结合三角函数的概念可设CF=15y，FD=8y，由勾股定理可得y，然后求出CF、FD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△HBE∽△FCE，由相似三角形的性质结合三角函数的概念可得HB、HA，再利用勾股定理计算即可.
28．（2023·宿迁）规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 ▲ 、 ▲ ；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
【答案】（1）②
（2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②、；
（3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：
联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，
，
由得到，即．
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）在同一直角坐标系中作出y=x+1、y=-、y=-x2+1、y=2x2-4x-3的图象，
由图象可得：y=-与y=2x2-4x-3有3个不同的交点，
∴与二次函数y=2x2-4x-3互为“兄弟函数”的是y=-.
故答案为：②.
（2）②联立，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
另外两个“兄弟点”的横坐标是、.
【分析】（1）在同一直角坐标系中作出y=x+1、y=-、y=-x2+1、y=2x2-4x-3的图象，然后结合
“兄弟函数”的概念进行判断；
（2）①分别将x=1代入y1、y2中可得y1=a-3，y2=-1，则a-3=-1，求解可得a的值；
②联立y1、y2可得2x3-5x2+2x+！=0，由x=1是其中一个解分解因式可得(x-1)(2x2-3x-1)=0，利用公式法求出x的值，据此可得另外两个“兄弟点”的横坐标；
（3）在平面直角坐标系中作出y1=|x-m|（m为常数）与y2=-的图象，联立可得|x-m|=-，然后分x-m≥0、x-m<0，结合判别式为正，利用公式法表示出x，由图可知：两个函数的交点只能在第二象限，从而x<0，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x11 / 1江苏省宿迁市2023年数学中考试卷
一、单选题
1．（2023·岳阳）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宿迁）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
3．（2023·宿迁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·宿迁）已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A．89 B．94 C．95 D．98
5．（2023·宿迁）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·宿迁）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·宿迁）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
8．（2023·宿迁）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
9．（2020七下·硚口期末）计算： ＝
10．（2023·宿迁）港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是 ．
11．（2022·衢江模拟）分解因式： .
12．（2023·宿迁）不等式的最大整数解是 ．
13．（2017七下·徐州期中）七边形的内角和是
14．（2020八下·桂林期末）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 .
15．（2023·宿迁）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的母线长是 ．
16．（2023·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．
17．（2023·宿迁）若实数m满足，则 ．
18．（2023·宿迁）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段 绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．
三、解答题
19．（2023·宿迁）计算：．
20．（2023·宿迁）先化简，再求值：，其中．
21．（2023·宿迁）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
22．（2023·宿迁）为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．
学生参加周末活动人数统计表
活动名称 人数
A．课外阅读 40
B．社会实践 48
C．家务劳动 m
D．户外运动 n
E．其它活动 26
请结合图表中提供的信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）扇形统计图中A对应的圆心角是 度；
（3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．
23．（2023·宿迁）某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是 ；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
24．（2023·宿迁）如图，在中，，，．
（1）求出对角线的长；
（2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
25．（2023·宿迁）
（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、， ▲ ．求证： ▲ ．
从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
26．（2023·宿迁）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
（1）求两种商品的销售单价．
（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
27．（2023·宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
28．（2023·宿迁）规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 ▲ 、 ▲ ；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、2+2=4，不能构成三角形，故不符合题意；
B、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；
C、3+4>5，能构成三角形，符合题意；
D、3+4<8，不能构成三角形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a-a=a，故错误；
B、a3·a2=a5，故正确；
C、(ab)2=a2b2，故错误；
D、(a2)4=a8，故错误.
故答案为：B.
【分析】同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；积的乘方，先将每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据按照由小到大的顺序排列为：89、92、95、96、98，
∴中位数为95.
故答案为：C.
【分析】首先将数据按照由小到大的顺序进行排列，如何找出最中间的数据即为中位数.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵内角和为180°，
∴110°只能为顶角，
∴底角==35°.
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得110°只能为顶角，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
6．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x辆车，由题意可得3(x-2)=2x+9.
故答案为：D
【分析】 根据三人共车，余两车空可得总人数为3(x-2)：根据两人共车，剩九人步可得总人数为2x+9，然后根据总人数一定就可列出方程.
7．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点P到直线的最大距离为2+3=5.
故答案为：B.
【分析】点P到直线的最大距离=半径+圆心O到直线l的距离，据此计算.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接AC，设直线y=x+1与x、y轴分别交于点E、F，作OG⊥AB于点G，则E（0，1），F（-1，0），
∴EF=，
∴OG=EF=.
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠EFO=45°，
同理可得直线CD与x轴的夹角也为45°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴BC=.
∵四边形ABCD的面积为4，
∴AB=，
∴AC==，
∴OA=.
设A（m，m+1），
∴m2+(m+1)2=()2，
∴m2+m=.
∵点A在y=上，
∴k=m(m+1)=m2+m=.
故答案为：A.
【分析】连接AC，设直线y=x+1与x、y轴分别交于点E、F，作OG⊥AB于点G，则E（0，1），F（-1，0），EF=，OG=EF=，易得直线EF、CD与x轴的夹角均为45°，则四边形ABCD为矩形，由矩形的面积公式可得AB的值，由勾股定理求出AC，然后求出OA，设A（m，m+1），由勾股定理可得m2+(m+1)2=()2，然后进行化简，再结合点A在y=上就可求出k的值.
9．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
10．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：55000=5.5×104.
故答案为：5.5×104.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
11．【答案】x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为： x（x-2）.
【分析】直接提取公因式x即可.
12．【答案】3
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵x-2≤1，
∴x≤3，
∴不等式的最大整数解为3.
故答案为：3
【分析】根据移项、合并同类项可得不等式的解集，进而可得不等式的最大整数解.
13．【答案】900°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）=900°．
故答案为：900°．
【分析】由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n=7代入即可求得答案．
14．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】根据关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数可得：点 关于 轴对称的点的坐标是 ；
故答案是 .
【分析】关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此求解即可.
15．【答案】6
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面半径为2，
∴底面周长为2π×2=4π，
∴4π=，
∴l=6.
故答案为：6.
【分析】根据底面圆的半径可得周长，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，结合弧长公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=42+22=20.
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴sin∠ABC==.
故答案为：.
【分析】连接AC，由勾股定理求出AC2、BC2、AB2，结合勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，
∴1=2025+2(m-2023)·(2024-m)，
∴2(m-2023)·(2024-m)=-2024，
∴(m-2023)·(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】根据完全平方公式可得[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，然后代入计算即可.
18．【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；旋转的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：画出前4次旋转后点P的位置：
由图象可得：点P1、P4在x轴正半轴上，
∴旋转3次为一个循环.
∵99÷3=33，
∴点P99在射线CA的延长线上，点P100在x轴正半轴上.
∵C（1，0），△ABC为正三角形，
∴由旋转的性质可得AC=CP1=1，
∴BP1=OC+CP1=2，
∴P1（2，0），
∴BP2=BP1=2，
∴AP3=AP2=OP2+AO=3，
∴CP4=CP3=CA+AP3=4，
∴BP4=BC+CP1=5，
∴P4（5，0）.
同理可得P7（8，0），P10（11，0），
∴P100（101，0），
∴BP100=101，
∴CP100=101-1=100，
由旋转的性质可得CP99=100.
过P99作P99E⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，
∴∠EP99C=30°，
∴EC=P99C=50，
∴EO=EC-OC=49，P99E==，
∴P99（-49，）.
故答案为：（-49，）.
【分析】由题意可得点P1、P4在x轴正半轴上，则旋转3次为一个循环，进而推出点P99在射线CA的延长线上，点P100在x轴正半轴上，由旋转的性质可得AC=CP1=1，则BP1=OC+CP1=2，表示出点P1的坐标，然后求出BP2、AP3、CP4、BP4，表示出点P4的坐标，同理可得点P7、P10、P100的坐标，过P99作P99E⊥x轴于点E，易得∠EP99C=30°，则EC=P99C=50，EO=EC-OC=49，P99E==，据此可得点P99的坐标.
19．【答案】解：
．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、零次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值可得原式=-1+1-，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加法法则进行计算.
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将m的值代入计算即可.
21．【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，，
，
在和中，，
，
．
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=CB，AD∥CB，由平行线的性质可得∠DAF=∠BCE，根据垂直的定义可得∠AFD=∠CEB=90°，利用AAS证明△ADF≌△CBE，据此可得结论.
22．【答案】（1）24；62
（2）72
（3）解：（名），
答：估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）总人数为48÷24%=200，n=200×31%=62，m=200-40-48-62-26=24.
故答案为：24，62.
（2）40÷200×360°=72°.
故答案为：72.
【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数，根据总人数乘以D所占的比例可得n的值，然后可求出m的值；
（2）利用A的人数除以总人数，然后乘以360°即可；
（3）利用C的人数除以调查的总人数，然后乘以800即可.
23．【答案】（1）
（2）画树状图为如下：
共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的有12种，，，，，，，，，，，，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵共有A、B、C、D、E五人，
∴女生D入选的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）直接根据概率公式进行计算；
（2）画出树状图，找出总情况数以及选中1名男生和1名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
24．【答案】（1）解：连接，过作于，如图所示：
在中，，，
，
，
，
在中，，，，则；
（2）解：如图所示：
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接BD，过D作DF⊥AB于点F，根据三角函数的概念可得AF=DF=3，则BF=AB-AF=2，然后在Rt△BDF中，利用勾股定理计算即可；
（2）根据步骤作图即可.
25．【答案】（1）已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
（2）如图，连接，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）已知条件为②，结论为①；由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，由角平分线的概念可得∠OAD=∠CAD，则∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，结合DE⊥AC可得DE⊥OD，据此证明；
（2）连接OD、OF，由AB=6可得OA=OD=OF=3，由解直角三角形可得AD、DE、AE，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD=30°，则∠BAC=60°，推出△OAF为等边三角形，得到AF=OA=3，则EF=AE-AF=，由圆周角定理可得∠DOF=2∠CAD=60°，然后根据S阴影=S梯形ODEF-S扇形ODF进行计算.
26．【答案】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解：种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，根据售出A种20件，B种10件，销售总额为840元可得20x+10y=840；根据售出A种10件，B种15件，销售总额为660元可得10x+15y=660，联立求解即可；
（2）根据A种商品售价不低于B种商品售价可得30-m≥24，求出m的范围，由题意可得A商品可售出(40+10m)件，A商品每件的利润为(30-m-20)元，B商品可售出(40+10m)件，B商品每件的利润为(24-20)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与m的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
27．【答案】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展]延长，过作于，过作于，如图所示：
，
，
，，
，
坡比为（即），，设，
，解得，
，
，，设，
，解得，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，．
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】[问题背景]由题意可得∠AEB=∠CED，∠B=∠D=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质进行计算；
[活动探究]同理证明△GBE1∽△CDE1，△ABE2∽△CDE2，由相似三角形的性质可得GB、AB，然后根据AG=GB-AB进行计算；
[应用拓展]延长DA，过C作CF⊥DA于F，过B作BH⊥DA于H，由平行线的性质可得∠CDE=∠DAG，根据坡比可设AG=8x，GD=15x，由勾股定理可得x的值，然后求出AG、GD，由∠CDE=∠DAG结合三角函数的概念可设CF=15y，FD=8y，由勾股定理可得y，然后求出CF、FD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△HBE∽△FCE，由相似三角形的性质结合三角函数的概念可得HB、HA，再利用勾股定理计算即可.
28．【答案】（1）②
（2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②、；
（3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：
联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，
，
由得到，即．
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）在同一直角坐标系中作出y=x+1、y=-、y=-x2+1、y=2x2-4x-3的图象，
由图象可得：y=-与y=2x2-4x-3有3个不同的交点，
∴与二次函数y=2x2-4x-3互为“兄弟函数”的是y=-.
故答案为：②.
（2）②联立，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
另外两个“兄弟点”的横坐标是、.
【分析】（1）在同一直角坐标系中作出y=x+1、y=-、y=-x2+1、y=2x2-4x-3的图象，然后结合
“兄弟函数”的概念进行判断；
（2）①分别将x=1代入y1、y2中可得y1=a-3，y2=-1，则a-3=-1，求解可得a的值；
②联立y1、y2可得2x3-5x2+2x+！=0，由x=1是其中一个解分解因式可得(x-1)(2x2-3x-1)=0，利用公式法求出x的值，据此可得另外两个“兄弟点”的横坐标；
（3）在平面直角坐标系中作出y1=|x-m|（m为常数）与y2=-的图象，联立可得|x-m|=-，然后分x-m≥0、x-m<0，结合判别式为正，利用公式法表示出x，由图可知：两个函数的交点只能在第二象限，从而x<0，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x11 / 1
