宁夏回族自治区2023年数学中考试卷
一、单选题
1．（2023·宁夏）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏）下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·宁夏）劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·宁夏）估计的值应在（ ）
A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间
6．（2023·宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2023·宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
8．（2023·宁夏）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·宁夏）计算： ．
10．（2023·宁夏）如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是 ．
11．（2023·宁夏）方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
12．（2023·宁夏）如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是 ．
13．（2023·宁夏）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．
14．（2023·宁夏）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
15．（2023·宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．
16．（2023·宁夏）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：
①点与点关于点中心对称；
②连接，，，则平分；
③连接，则点，到线段的距离相等．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．（2023·宁夏）计算：
18．（2023·宁夏）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第 ▲ 步出现了错误，错误原因是 ▲ ，不等式①的正确解集是 ▲ ；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
19．（2023·宁夏）如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形．
20．（2023·宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示 ，乙所列方程中的表示 ；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
21．（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
（2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
22．（2023·宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
23．（2023·宁夏）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86，94，79，84，71，90，76，83，90，87
八年级 88，76，90，78，87，93，75，87，87，79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 90
八年级 84 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
24．（2023·宁夏）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
25．（2023·宁夏）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
26．（2023·宁夏）综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现
如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则 ，设，，那么 （用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
（3）拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：根据绝对值的定义可知，.
故答案为：.
【分析】 根据绝对值的定义即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，不是轴对称图形；C选项的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则，幂的运算性质对每个选项进行逐一判断，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵根据频数分布直方图 ，的人数为10，的人数为20，
∴ 从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是 ：.
故答案为：A.
【分析】根据频数分布直方图可得及的人数，即可求出概率.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴在4.5和5之间.
故答案为：C.
【分析】利用算术平方根的知识进行估算即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵由题意得：OC=2cm，，，
∴AC=2cm，OB=4cm，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理首先求出AC、BC，即可求出AB.
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A. 由图象可知，随x的增大而增大，故A不符合题意；
B.当x=0时，，，
由图像可知，，则，故B不符合题意；
C.由图像可知，当时，，故C符合题意；
D.由图象可知，两条直线的交点为（2，3），∴的解为：，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ 线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠EAD=90°，
∴，
∵，
∴，
又∵ AB=AC ，
∴，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴.
故答案为：B.
【分析】首先证明，则可知，，可证明，即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据同分母分式的加法运算法则求解，即可得出答案.
10．【答案】2
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F ，如下图所示：
∵，
，
∴.
故答案为：2.
【分析】过点E作EF⊥BC于点F ，首先求出及，根据即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根，
∴，
∴ m=-4 .
故答案为：-4.
【分析】 根据一元二次方程根的判别式等于0，即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，共有6种可能：
1+2，1+3，1+4，2+3，2+4，3+4， 当所选数字为：1+3时，所选方格中数字之和为4 ，
故所选方格中数字之和为4的概率为：.
故答案为：.
【分析】首先列出任选两个小方格的所有可能，再找出所选方格中数字之和为4的可能，即可求出概率.
13．【答案】70
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵由圆内接四边形的性质可知，，
又∵，
∴，
连接OB，OD，
根据圆周角定理可知，，
故.
故答案为：.
【分析】首先根据圆内接四边形的性质可知，，再连接OB，OD，结合三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和可求出，即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵ 点B是AC的中点，线段，
∴，
故C表示的数是：.
故答案为：.
【分析】先求出AC，即可求出答案.
15．【答案】50
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值
【解析】【解答】解：由表格可知，当x=0时，y=10，
当x=2时，y=14，
当x=4时，y=18，
当x=6时，y=22，
当x=10时，y=30，
∴当放入x克物品时，y=10+2x，
∴当x=20时，y=10+2×20=50.
故答案为：50.
【分析】根据表格数据可得，当放入x克物品时，y=10+2x，将x=20代入，即可得到答案.
16．【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①∵将点D绕E点旋转180°。到F点的位置，
故点D与点F关于点E中心对称 ，①正确；
②连接FB，FC，FE，如下图所示：
∵BF=EF，BC=EC，
∴，
∴，故②正确；
③连接BM、NF，如下图所示：
∵可知，，
∴，，
同时可知，∴ 点B，F到线段AG的距离相等，故③正确；
故答案为： ①②③ .
【分析】 根据中心对称概念可判断①；首先证明，即可知， FC平分∠BFE；连接BM、NF，可证B到线段AG的距离为BM， F到线段AG的距离为FN，证明，即可判断③.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据实数的运算、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，计算即可.
18．【答案】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】 任务一：根据不等式的运算，逐步分析不等式的解答过程即可；
任务二：先移项，再合并同类项并把x的系数化为1．
19．【答案】证明：，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】首先根据同旁内角互补，两直线平行可证明，再结合即可证明结论．
20．【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量
（2）设购进型玩具个，则购买型玩具个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴；
答：最多购进型玩具个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，
∴分别表示型玩具和型玩具的数量，
∴表示型玩具的单价；
对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，
∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，
∴表示购买型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量.
【分析】 （1）根据所列的方程，可知甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，列出不等式，解不等式即可得出答案．
21．【答案】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【知识点】立方根及开立方；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）首先设函数关系式为，根据图像可求出方程，其次求出时的V，根据球体体积公式可求出半径；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
22．【答案】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，
则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】设大转动轮转时，粮袋移动到点，首先求出AB，过点作，即可根据求出BC，BC即为所求的粮袋上升的高度．
23．【答案】（1）85；87；七
（2）（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）将七年级10名学生的成绩从小到大排列： 71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，中位数为：，即a=85；
由于八年级10名学生的成绩为： 75，76，78，79 ，87，87，87，88，93，90， 可知，87分的人数最多，因此众数b=87；
A同学的成绩为86分，在七年级中，属于中等偏上，在八年级中，属于中等偏下，因此A同学是七年级的学生；
故填：85；87；七.
【分析】（1）首先将七年级10位同学的成绩从大到小排列，根据中位数的定义可知a的值；分析八年级10位同学的成绩，可知87分的人数最多，因此b为87；由于A同学的成绩为86分，在在七年级中，属于中等偏上，在八年级中，属于中等偏下，因此可知其为七年级学生；
（2）根据“优秀”的学生总人数=七年级优秀的比例×七年级的人数+八年级优秀的比例×八年级的人数，即可求出答案；
（3）由于七、八年级测试成绩的平均数相等，所以可通过方差的大小比较总体水平．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵直线是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：连接，过点O作于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知OC⊥DC，即可证，结合平行线的性质以及等腰三角形的性质即可证明平分；
（2）首先连接，过点O作于F，可求出，其次证明，即可求出OF，最后根据勾股定理即可求出圆的半径.
25．【答案】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据A点坐标以及对称轴为直线，即可写出B点的坐标；
（2）首先求出C点的坐标，连接，可知AP=BP，因此三点共线时，的值最小，为的长，设直线的解析式为：，将B点、C点坐标代入，即可求出直线BC的方程，根据点在抛物线的对称轴上，即可求出P点坐标及的最小值；
（3）首先根据A、B、C三点坐标求出抛物线方程，之后设，，结合直线BC的方程可表示出Q点的坐标，即可表示出并求出最大值.
26．【答案】（1）72；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．
∴；
（3）解：如图，连接，延长至点，使，连接，
∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为黄金三角形，
∴，
∴．即菱形的较长的对角线的长为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）首先求出 ∠ABC与∠C，再根据折叠，可知，即可根据三角形内角和求∠BDE；由题意可知，AB=AC，由折叠可知BE=BC，即可求出AE；
（2）首先证明，即可知，求出AC、BC、CD，即可证明结论；
（3）拓展应用：连接，延长至点，使，连接，首先证明为黄金三角形，即可求出AC.
1 / 1宁夏回族自治区2023年数学中考试卷
一、单选题
1．（2023·宁夏）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：根据绝对值的定义可知，.
故答案为：.
【分析】 根据绝对值的定义即可得出答案.
2．（2023·宁夏）下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，不是轴对称图形；C选项的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可得出答案.
3．（2023·宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则，幂的运算性质对每个选项进行逐一判断，即可得出答案.
4．（2023·宁夏）劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵根据频数分布直方图 ，的人数为10，的人数为20，
∴ 从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是 ：.
故答案为：A.
【分析】根据频数分布直方图可得及的人数，即可求出概率.
5．（2023·宁夏）估计的值应在（ ）
A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴在4.5和5之间.
故答案为：C.
【分析】利用算术平方根的知识进行估算即可.
6．（2023·宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵由题意得：OC=2cm，，，
∴AC=2cm，OB=4cm，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理首先求出AC、BC，即可求出AB.
7．（2023·宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A. 由图象可知，随x的增大而增大，故A不符合题意；
B.当x=0时，，，
由图像可知，，则，故B不符合题意；
C.由图像可知，当时，，故C符合题意；
D.由图象可知，两条直线的交点为（2，3），∴的解为：，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解即可.
8．（2023·宁夏）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ 线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠EAD=90°，
∴，
∵，
∴，
又∵ AB=AC ，
∴，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴.
故答案为：B.
【分析】首先证明，则可知，，可证明，即可求出答案.
二、填空题
9．（2023·宁夏）计算： ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据同分母分式的加法运算法则求解，即可得出答案.
10．（2023·宁夏）如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F ，如下图所示：
∵，
，
∴.
故答案为：2.
【分析】过点E作EF⊥BC于点F ，首先求出及，根据即可求出答案.
11．（2023·宁夏）方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根，
∴，
∴ m=-4 .
故答案为：-4.
【分析】 根据一元二次方程根的判别式等于0，即可求出答案.
12．（2023·宁夏）如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，共有6种可能：
1+2，1+3，1+4，2+3，2+4，3+4， 当所选数字为：1+3时，所选方格中数字之和为4 ，
故所选方格中数字之和为4的概率为：.
故答案为：.
【分析】首先列出任选两个小方格的所有可能，再找出所选方格中数字之和为4的可能，即可求出概率.
13．（2023·宁夏）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．
【答案】70
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵由圆内接四边形的性质可知，，
又∵，
∴，
连接OB，OD，
根据圆周角定理可知，，
故.
故答案为：.
【分析】首先根据圆内接四边形的性质可知，，再连接OB，OD，结合三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和可求出，即可求出答案.
14．（2023·宁夏）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵ 点B是AC的中点，线段，
∴，
故C表示的数是：.
故答案为：.
【分析】先求出AC，即可求出答案.
15．（2023·宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．
【答案】50
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值
【解析】【解答】解：由表格可知，当x=0时，y=10，
当x=2时，y=14，
当x=4时，y=18，
当x=6时，y=22，
当x=10时，y=30，
∴当放入x克物品时，y=10+2x，
∴当x=20时，y=10+2×20=50.
故答案为：50.
【分析】根据表格数据可得，当放入x克物品时，y=10+2x，将x=20代入，即可得到答案.
16．（2023·宁夏）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：
①点与点关于点中心对称；
②连接，，，则平分；
③连接，则点，到线段的距离相等．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①∵将点D绕E点旋转180°。到F点的位置，
故点D与点F关于点E中心对称 ，①正确；
②连接FB，FC，FE，如下图所示：
∵BF=EF，BC=EC，
∴，
∴，故②正确；
③连接BM、NF，如下图所示：
∵可知，，
∴，，
同时可知，∴ 点B，F到线段AG的距离相等，故③正确；
故答案为： ①②③ .
【分析】 根据中心对称概念可判断①；首先证明，即可知， FC平分∠BFE；连接BM、NF，可证B到线段AG的距离为BM， F到线段AG的距离为FN，证明，即可判断③.
三、解答题
17．（2023·宁夏）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据实数的运算、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，计算即可.
18．（2023·宁夏）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第 ▲ 步出现了错误，错误原因是 ▲ ，不等式①的正确解集是 ▲ ；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】 任务一：根据不等式的运算，逐步分析不等式的解答过程即可；
任务二：先移项，再合并同类项并把x的系数化为1．
19．（2023·宁夏）如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】首先根据同旁内角互补，两直线平行可证明，再结合即可证明结论．
20．（2023·宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示 ，乙所列方程中的表示 ；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量
（2）设购进型玩具个，则购买型玩具个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴；
答：最多购进型玩具个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，
∴分别表示型玩具和型玩具的数量，
∴表示型玩具的单价；
对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，
∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，
∴表示购买型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量.
【分析】 （1）根据所列的方程，可知甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，列出不等式，解不等式即可得出答案．
21．（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
（2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【知识点】立方根及开立方；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）首先设函数关系式为，根据图像可求出方程，其次求出时的V，根据球体体积公式可求出半径；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
22．（2023·宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
【答案】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，
则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】设大转动轮转时，粮袋移动到点，首先求出AB，过点作，即可根据求出BC，BC即为所求的粮袋上升的高度．
23．（2023·宁夏）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86，94，79，84，71，90，76，83，90，87
八年级 88，76，90，78，87，93，75，87，87，79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 90
八年级 84 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85；87；七
（2）（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）将七年级10名学生的成绩从小到大排列： 71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，中位数为：，即a=85；
由于八年级10名学生的成绩为： 75，76，78，79 ，87，87，87，88，93，90， 可知，87分的人数最多，因此众数b=87；
A同学的成绩为86分，在七年级中，属于中等偏上，在八年级中，属于中等偏下，因此A同学是七年级的学生；
故填：85；87；七.
【分析】（1）首先将七年级10位同学的成绩从大到小排列，根据中位数的定义可知a的值；分析八年级10位同学的成绩，可知87分的人数最多，因此b为87；由于A同学的成绩为86分，在在七年级中，属于中等偏上，在八年级中，属于中等偏下，因此可知其为七年级学生；
（2）根据“优秀”的学生总人数=七年级优秀的比例×七年级的人数+八年级优秀的比例×八年级的人数，即可求出答案；
（3）由于七、八年级测试成绩的平均数相等，所以可通过方差的大小比较总体水平．
24．（2023·宁夏）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵直线是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：连接，过点O作于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知OC⊥DC，即可证，结合平行线的性质以及等腰三角形的性质即可证明平分；
（2）首先连接，过点O作于F，可求出，其次证明，即可求出OF，最后根据勾股定理即可求出圆的半径.
25．（2023·宁夏）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据A点坐标以及对称轴为直线，即可写出B点的坐标；
（2）首先求出C点的坐标，连接，可知AP=BP，因此三点共线时，的值最小，为的长，设直线的解析式为：，将B点、C点坐标代入，即可求出直线BC的方程，根据点在抛物线的对称轴上，即可求出P点坐标及的最小值；
（3）首先根据A、B、C三点坐标求出抛物线方程，之后设，，结合直线BC的方程可表示出Q点的坐标，即可表示出并求出最大值.
26．（2023·宁夏）综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现
如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则 ，设，，那么 （用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
（3）拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
【答案】（1）72；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．
∴；
（3）解：如图，连接，延长至点，使，连接，
∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为黄金三角形，
∴，
∴．即菱形的较长的对角线的长为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）首先求出 ∠ABC与∠C，再根据折叠，可知，即可根据三角形内角和求∠BDE；由题意可知，AB=AC，由折叠可知BE=BC，即可求出AE；
（2）首先证明，即可知，求出AC、BC、CD，即可证明结论；
（3）拓展应用：连接，延长至点，使，连接，首先证明为黄金三角形，即可求出AC.
1 / 1
