河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题
一、单选题
1．（2023高二下·洛阳期末）若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.
2．（2023高二下·洛阳期末）已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为可知正态曲线的对称轴为，
则由对称性可知，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
3．（2023高二下·洛阳期末）已知两条直线：，：，若，则（ ）
A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：若，则，
整理得，解得：或或，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则与重合，舍去；
综上所述：或.
故答案为：D.
【分析】由可得，列式求解，并对所得结果代入检验.
4．（2023高二下·洛阳期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：设从上至下层的灯数是，
由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，
因为，解得，
所以塔的顶层的灯数是.
故答案为：A.
【分析】设从上至下层的灯数是，由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
5．（2023高二下·洛阳期末）已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则
，
所以.
故答案为：C.
【分析】先根据分布列求，再结合方差的性质运算求解.
6．（2023高二下·洛阳期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，
因为，两式相减得，整理得，
因为，则，即，可得，
所以 ，故，
故答案为：C.
【分析】根据题意利用点差法可得，进而可得结果.
7．（2023高二下·洛阳期末）曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，则，即切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程是，即，
故答案为：A.
【分析】根据题意结合导数的几何意义运算求解.
8．（2023高二下·洛阳期末）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.45
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件表示“第天去A餐厅用餐”，事件表示“第天去B餐厅用餐”，，
由题意可知：，，
所以王同学第2天去A餐厅用餐的概率为
.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合全概率公式运算求解.
9．（2023高二下·洛阳期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径，
与圆的圆心为，半径，
由圆的性质可得：，
所以，
设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
如图所示：
所以，当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据圆的性质可得，再求关于直线的对称点为，可知，进而可得结果.
10．（2023高二下·洛阳期末）平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（ ）
A．14 B．48 C．91 D．420
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意可知：因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，
所以构成不同的平行四边形个数为.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理结合组合数运算求解.
11．（2023高二下·洛阳期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设内切圆与AP切于点N，与切于点M，
由切线的性质可知：，
又因为，则|，
可得，
即，
又因为，则，可得，
所以此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质以及双曲线的半实轴长定义可得，再由，求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
12．（2023高二下·洛阳期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，可得，
令，则，所以为偶函数，
又因为，
当时，则，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减，
因为，整理得，
即，可得，解得.
故数a的取值范围为：
故答案为：B.
【分析】令，根据，可得，即为偶函数，求导，结合当时，，利用导数判断函数在上单调递增，进而可得在上单调递减，再根据，即，再根据函数的单调性与奇偶性列式求解.
二、填空题
13．（2023高二下·洛阳期末）将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
【答案】240
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先从5名大学生中选出2人做为整体看成一个人，共有种不同的分法，
再将4人分派到4个乡镇当村干部，有种分派方式，
结合分步计数原理，共有不同的分配方案.
故答案为：240.
【分析】利用捆绑法，先从5名大学生中选出2人做为整体看成一个人，再将4人分派到4个乡镇，根据分步计数原理运算求解.
14．（2023高二下·洛阳期末）投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则 ．
【答案】10
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为每次成功概率为，则，
所以.
故答案为：10.
【分析】由题意可知，结合二项分布的期望公式运算求解.
15．（2023高二下·洛阳期末）已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ．
【答案】15
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为，则，即，
可知数列是首项为，公差为的等差数列，则，
所以，
令，即，
又因为单调递增，且.
所以n的最大值为15.
故答案为：15.
【分析】根据等差数列定义得出可知数列是首项为，公差为的等差数列，根据差数列通项公式及求和公式可得，运算求解即可.
16．（2023高二下·洛阳期末）在正方体中，点P满足，其中，，现有如下四个命题：
①存在，，使得平面；
②当时，平面；
③当时，与平面所成角的最小值为 ；
④若点P到直线与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是线段．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】抛物线的定义；空间中直线与平面之间的位置关系；直线的方向向量；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
设正方体的棱长为1，则，
可得，
因为，可得，
设平面的法向量为，则，
取， 则，所以法向量为，
对于①：因为，
若平面，则，得 ，
故存在，使得平面，故①正确；
对于②：当时，，所以平面，故②正确；
对于③：当时，可知点P在线段DB上运动，
因为平面 平面ABCD，
则与平面ABCD所成角即为与平面所成角，
又因为平面ABCD，所以即为与平面ABCD所成角，
且，
当且仅当P在线段BD端点处，取到最小值为1，此时，故③正确；
对于④：由于 ，故点P到直线的距离为BP长度，所以BP与点P到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．故④错误，
故答案为：①②③
【分析】对于①②：建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量分析判断；对于③：根据平行的性质可得即为与平面ABCD所成角，进而可得分析判断即可；对于④：根据题意结合抛物线的定义即可分析判断.
三、解答题
17．（2023高二下·洛阳期末）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项．
【答案】（1）解：在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为，
因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，
所以，即，
化简得：，因为，所以，
解得或.
时，展开式只有3项，不符合题意；
所以.
（2）解：由（1）知，通项公式为，
令，得，则.
所以展开式中含的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1)根据二项式系数结合等差中项可得，运算求解即可；
(2)根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解即可.
18．（2023高二下·洛阳期末）已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
【答案】解：（Ⅰ）设数列 的公比为 ， 由已知， 有 ，解得.又由，知q≠-1，所以，得a1=1，所以.
(II) 由题意， 得 ， 即 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列.
设数列 的前 项和为 ， 则
【知识点】对数的概念与表示；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 （Ⅰ）设数列 的公比为 ，根据等比数列的通项公式运算求解；
(II)根据题意整理可得，根据并项求和法结合等差数列求和公式运算求解.
19．（2023高二下·洛阳期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．
（1）求BC的长；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）解：由于平面ABCD，，所以两两垂直，故分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，，0，，，0，，，1，，，0，．
设，，，则，0，，，，．
直线与所成角大小为，
，
即，解得或（舍，
，2，，则的长为2
（2）解：设平面的一个法向量为，，．
，0，，，1，，，
，令，则，，，1，．
平面的一个法向量为，
，令，则，，，
，
由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量；异面直线；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)建系．由直线PB与CD所成角大小为列式可求点C的坐标，进而可求得BC的长；
(2)分别求出平面PBD与平面PBC的一个法向量，由法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
20．（2023高二下·洛阳期末）已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
【答案】（1）解：圆S：，即，
由题意得，，，是的中垂线，所以，
所以，
所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，
则，得，所以曲线C的方程为.
（2）解：由题意知，直线l的斜率不为0，设，，，设与交于点.
联立，得，
当时，，则，
所以，
因为是中点，所以，
因为在曲线C：上，
所以，
化简得，，
得或（舍），所以，
所以直线l的方程为，
即或.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得，结合椭圆定义即可求解方程；
(2)设，，，并联立方程组，进而可得A点坐标，根据A点在椭圆上代入方程即可求解.
21．（2023高二下·洛阳期末）第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店 A B C D E F G
广告支出/万元 3 4 6 8 11 15 16
销售额/万元 6 10 15 17 23 38 45
对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．
附：参考数据及公式：，，，，，，
相关系数，
在线性回归方程中中，，．
，．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 280
男 80
合计 400
（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（3）建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．
【答案】（1）解：根据题意，列联表完成如下：
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 100 280
男 40 80 120
合计 220 180 400
假设为：性别与体验汉服之间无关联.
根据列联表数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立.
即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）解：由数据可知，
因为，
，
，因为，
所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（3）解：由数据及公式可得：，
，
故关于的经验回归方程为，
当万元时，销售额预计为万元.
【知识点】线性相关；独立性检验的应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1)根据题意完善2×2列联表，求，并与临界值对比分析；
(2)根据题中数据及公式计算相关系数r，进而可作出判断；
(3)根据题意求，即可得出y关于x的回归方程，再把代入即可求解．
22．（2023高二下·洛阳期末）已知函数（a为常数）．
（1）若函数是增函数，求a的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【答案】（1）解：的定义域为，
，
若函数为增函数，则在上恒成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，
故a的取值范围是
（2）解：若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根，
从而得到，即，
又，故，
，
令，则，
，
所以在上单调递增，
所以，即的值域为，
所以的范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由题意可得 在上恒成立，转化为对任意恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案；
(2)根据函数有两个不相等的极值点得到，整理得，变形得到构建新函数，求导得到其单调性，得到的值域为，即可得结果.
1 / 1河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题
一、单选题
1．（2023高二下·洛阳期末）若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
2．（2023高二下·洛阳期末）已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
3．（2023高二下·洛阳期末）已知两条直线：，：，若，则（ ）
A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0
4．（2023高二下·洛阳期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023高二下·洛阳期末）已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
6．（2023高二下·洛阳期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·洛阳期末）曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高二下·洛阳期末）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.45
9．（2023高二下·洛阳期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
10．（2023高二下·洛阳期末）平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（ ）
A．14 B．48 C．91 D．420
11．（2023高二下·洛阳期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·洛阳期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2023高二下·洛阳期末）将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
14．（2023高二下·洛阳期末）投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则 ．
15．（2023高二下·洛阳期末）已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ．
16．（2023高二下·洛阳期末）在正方体中，点P满足，其中，，现有如下四个命题：
①存在，，使得平面；
②当时，平面；
③当时，与平面所成角的最小值为 ；
④若点P到直线与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是线段．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题
17．（2023高二下·洛阳期末）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项．
18．（2023高二下·洛阳期末）已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
19．（2023高二下·洛阳期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．
（1）求BC的长；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2023高二下·洛阳期末）已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
21．（2023高二下·洛阳期末）第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店 A B C D E F G
广告支出/万元 3 4 6 8 11 15 16
销售额/万元 6 10 15 17 23 38 45
对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．
附：参考数据及公式：，，，，，，
相关系数，
在线性回归方程中中，，．
，．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 280
男 80
合计 400
（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（3）建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．
22．（2023高二下·洛阳期末）已知函数（a为常数）．
（1）若函数是增函数，求a的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.
2．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为可知正态曲线的对称轴为，
则由对称性可知，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
3．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：若，则，
整理得，解得：或或，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则与重合，舍去；
综上所述：或.
故答案为：D.
【分析】由可得，列式求解，并对所得结果代入检验.
4．【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：设从上至下层的灯数是，
由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，
因为，解得，
所以塔的顶层的灯数是.
故答案为：A.
【分析】设从上至下层的灯数是，由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
5．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则
，
所以.
故答案为：C.
【分析】先根据分布列求，再结合方差的性质运算求解.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，
因为，两式相减得，整理得，
因为，则，即，可得，
所以 ，故，
故答案为：C.
【分析】根据题意利用点差法可得，进而可得结果.
7．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，则，即切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程是，即，
故答案为：A.
【分析】根据题意结合导数的几何意义运算求解.
8．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件表示“第天去A餐厅用餐”，事件表示“第天去B餐厅用餐”，，
由题意可知：，，
所以王同学第2天去A餐厅用餐的概率为
.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合全概率公式运算求解.
9．【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径，
与圆的圆心为，半径，
由圆的性质可得：，
所以，
设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
如图所示：
所以，当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据圆的性质可得，再求关于直线的对称点为，可知，进而可得结果.
10．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意可知：因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，
所以构成不同的平行四边形个数为.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理结合组合数运算求解.
11．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设内切圆与AP切于点N，与切于点M，
由切线的性质可知：，
又因为，则|，
可得，
即，
又因为，则，可得，
所以此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质以及双曲线的半实轴长定义可得，再由，求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
12．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，可得，
令，则，所以为偶函数，
又因为，
当时，则，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减，
因为，整理得，
即，可得，解得.
故数a的取值范围为：
故答案为：B.
【分析】令，根据，可得，即为偶函数，求导，结合当时，，利用导数判断函数在上单调递增，进而可得在上单调递减，再根据，即，再根据函数的单调性与奇偶性列式求解.
13．【答案】240
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先从5名大学生中选出2人做为整体看成一个人，共有种不同的分法，
再将4人分派到4个乡镇当村干部，有种分派方式，
结合分步计数原理，共有不同的分配方案.
故答案为：240.
【分析】利用捆绑法，先从5名大学生中选出2人做为整体看成一个人，再将4人分派到4个乡镇，根据分步计数原理运算求解.
14．【答案】10
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为每次成功概率为，则，
所以.
故答案为：10.
【分析】由题意可知，结合二项分布的期望公式运算求解.
15．【答案】15
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为，则，即，
可知数列是首项为，公差为的等差数列，则，
所以，
令，即，
又因为单调递增，且.
所以n的最大值为15.
故答案为：15.
【分析】根据等差数列定义得出可知数列是首项为，公差为的等差数列，根据差数列通项公式及求和公式可得，运算求解即可.
16．【答案】①②③
【知识点】抛物线的定义；空间中直线与平面之间的位置关系；直线的方向向量；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
设正方体的棱长为1，则，
可得，
因为，可得，
设平面的法向量为，则，
取， 则，所以法向量为，
对于①：因为，
若平面，则，得 ，
故存在，使得平面，故①正确；
对于②：当时，，所以平面，故②正确；
对于③：当时，可知点P在线段DB上运动，
因为平面 平面ABCD，
则与平面ABCD所成角即为与平面所成角，
又因为平面ABCD，所以即为与平面ABCD所成角，
且，
当且仅当P在线段BD端点处，取到最小值为1，此时，故③正确；
对于④：由于 ，故点P到直线的距离为BP长度，所以BP与点P到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．故④错误，
故答案为：①②③
【分析】对于①②：建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量分析判断；对于③：根据平行的性质可得即为与平面ABCD所成角，进而可得分析判断即可；对于④：根据题意结合抛物线的定义即可分析判断.
17．【答案】（1）解：在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为，
因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，
所以，即，
化简得：，因为，所以，
解得或.
时，展开式只有3项，不符合题意；
所以.
（2）解：由（1）知，通项公式为，
令，得，则.
所以展开式中含的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1)根据二项式系数结合等差中项可得，运算求解即可；
(2)根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解即可.
18．【答案】解：（Ⅰ）设数列 的公比为 ， 由已知， 有 ，解得.又由，知q≠-1，所以，得a1=1，所以.
(II) 由题意， 得 ， 即 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列.
设数列 的前 项和为 ， 则
【知识点】对数的概念与表示；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 （Ⅰ）设数列 的公比为 ，根据等比数列的通项公式运算求解；
(II)根据题意整理可得，根据并项求和法结合等差数列求和公式运算求解.
19．【答案】（1）解：由于平面ABCD，，所以两两垂直，故分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，，0，，，0，，，1，，，0，．
设，，，则，0，，，，．
直线与所成角大小为，
，
即，解得或（舍，
，2，，则的长为2
（2）解：设平面的一个法向量为，，．
，0，，，1，，，
，令，则，，，1，．
平面的一个法向量为，
，令，则，，，
，
由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量；异面直线；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)建系．由直线PB与CD所成角大小为列式可求点C的坐标，进而可求得BC的长；
(2)分别求出平面PBD与平面PBC的一个法向量，由法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
20．【答案】（1）解：圆S：，即，
由题意得，，，是的中垂线，所以，
所以，
所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，
则，得，所以曲线C的方程为.
（2）解：由题意知，直线l的斜率不为0，设，，，设与交于点.
联立，得，
当时，，则，
所以，
因为是中点，所以，
因为在曲线C：上，
所以，
化简得，，
得或（舍），所以，
所以直线l的方程为，
即或.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得，结合椭圆定义即可求解方程；
(2)设，，，并联立方程组，进而可得A点坐标，根据A点在椭圆上代入方程即可求解.
21．【答案】（1）解：根据题意，列联表完成如下：
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 100 280
男 40 80 120
合计 220 180 400
假设为：性别与体验汉服之间无关联.
根据列联表数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立.
即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）解：由数据可知，
因为，
，
，因为，
所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（3）解：由数据及公式可得：，
，
故关于的经验回归方程为，
当万元时，销售额预计为万元.
【知识点】线性相关；独立性检验的应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1)根据题意完善2×2列联表，求，并与临界值对比分析；
(2)根据题中数据及公式计算相关系数r，进而可作出判断；
(3)根据题意求，即可得出y关于x的回归方程，再把代入即可求解．
22．【答案】（1）解：的定义域为，
，
若函数为增函数，则在上恒成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，
故a的取值范围是
（2）解：若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根，
从而得到，即，
又，故，
，
令，则，
，
所以在上单调递增，
所以，即的值域为，
所以的范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由题意可得 在上恒成立，转化为对任意恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案；
(2)根据函数有两个不相等的极值点得到，整理得，变形得到构建新函数，求导得到其单调性，得到的值域为，即可得结果.
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