双基限时练(十四) 变量的相关性
基 础 强 化
1．下列关系是函数关系的是( )
A．光照时间和棉花的亩产量
B．降雪量和交通事故的发生率
C．速度一定时，位移与时间的关系
D．父母的身高与子女的身高关系
解析 速度v一定时，位移s与时间t成正比，即
s＝vt.故选C.
答案 C
2．下列关系是相关关系的是( )
A．人的年龄与他拥有的财富之间的关系
B．曲线上的点和该点的坐标之间的关系
C．某地区的降水量与地下水位
D．一个学生的数学成绩与英语成绩的关系
解析 降水量越多，地下水位越高．故选C.
答案 C
3．已知x、y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝( )
A．1.30 B．1.45
C．1.65 D．1.80
解析 依题意得，＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线＝0.95x＋必过中心点(，)，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋，由此解得＝1.45，选B.
答案 B
4．为了了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的回归直线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析 由题意＝＝176，
＝＝176，
由于(，)一定满足回归直线方程，经验证知选C.
答案 C
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归直线方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析 ＝＝3.5，
＝＝42，
∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
∴回归方程为＝9.4x＋9.1，
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.
答案 B
6．如下图所示的5个点中，去掉________点后，剩下的4个点的线性相关关系最明确( )
A．E B．D
C．B D．A
解析 由图可知，去掉D点后，剩下的A、B、C、E非常接近于一条直线，即这四个的线性关系最明确，故选B.
答案 B
7．已知一个回归直线方程＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则＝________.
解析 因为＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
且＝1.5＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5.
答案 58.5
8．对于回归方程＝4.75x＋257，当x＝28时，y的估计值是________．
解析 当x＝28时，y＝4.75×28＋257＝390.
答案 390
9．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析 由题意知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案 0.254
能 力 提 升
10．下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温℃
25
18
12
10
4
0
杯数
18
30
37
35
50
54
(1)根据表中的数据画出散点图；
(2)你能从散点图中发现气温与卖出的热茶杯数近似成什么关系吗？
解 (1)根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图如图：
(2)从散点图上可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性关系，且为负相关关系．说明了气温越高，所卖出的热茶的杯数就越少．
11．某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程．
解 (1)散点图如下图．
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
于是可得，＝＝6.5，
＝－＝50－6.5×5＝17.5，
于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5.
12．要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表所示：
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
82
89
73
98
56
75
表中x是学生入学数学成绩，y是指高一年级期末考试数学成绩．
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)若某学生王明亮的入学数学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩为多少？
解 (1)作出散点图如图所示，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．
(2)
i
xi
yi
x
y
xiyi
1
63
65
3969
4225
4095
2
67
78
4489
6084
5226
3
45
52
2025
2704
2340
4
88
82
7744
6724
7216
5
81
82
6561
6724
6642
6
71
89
5041
7921
6319
7
52
73
2704
5329
3796
8
99
98
9801
9604
9702
9
58
56
3364
3136
3248
10
76
75
5776
5625
5700
可求得＝(63＋67＋…＋76)＝70，
＝(65＋78＋…＋75)＝75，
＝≈0.721，
∴≈75－0.721×70＝24.53.
所求的回归直线方程为＝0.721x＋24.53.
(3)若王明亮的入学数学成绩为80分，代入上面的回归直线方程＝0.721x＋24.53，可得≈82(分)．
品 味 高 考
13．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为＝bx＋a，其中b＝10.5，据此模型来预测当x＝20时，的估计值为( )
A．210 B．210.5
C．211.5 D．212.5
解析 因为＝＝5，
＝＝54.
又因为＝bx＋a恒过定点(，)且b＝10.5，
所以a＝1.5，故当x＝20时，＝211.5
答案 C
双基限时练(十五)
随机现象 事件与基本事件空间
基 础 强 化
1．下列试验能够构成事件的是( )
A．掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100 ℃
D．摸彩票中头奖
解析 事件必须有条件和结果，A，B，C只有条件，没有结果，构不成事件，D既有条件又有结果，可以构成事件．
答案 D
2．在下列4个事件中，是随机事件的是( )
A．物体在重力作用下自由下落
B．若x是实数，则|x|<0
C．若a>b，则a－b<0
D．函数y＝logax(a>0，a≠1)是(0，＋∞)上的增函数
解析 A是必然事件，B、C是不可能事件，根据对数函数的性质可知，当a>1时单调递增，当0
答案 D
3．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
解析 把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有情况是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故选C.
答案 C
4．下列说法错误的是( )
A．“在标准大气压下，水加热到100℃时沸腾”是必然事件
B．“姚明在一场比赛中投球的命中率为60%”是随机事件
C．“在不受外力作用的条件下，作匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态”是不可能事件
D．“济南市明年今天的气温与今天一样”是必然事件
解析 济南市明年今天的气温与今天是否一样是不可预知的，可能一样，也可能不一样，故该事件是随机事件．
答案 D
5．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析 A中包含的基本事件为：正反、反正、正正；
B中包含的基本事件为：正反、反正；
C中包含的基本事件为：正正；
D中包含的基本事件为：正反、反正．
所以，A中所述事件包含3个基本事件．
答案 A
6．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上” 包含的基本事件共有________个．( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 从A中取两个不同的数，构成点的坐标，则“点落在x轴上”的基本事件有：(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)，共有9个基本事件．
答案 C
7．质点O从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
解析 由于点平移4次后可能位于坐标轴上，也可能位于某一象限内．
答案 随机
8．“从有3个排球、2个足球的筐子里任取1个球”，一次试验是________，试验结果是________．
答案 “取出一球” “得到一个排球”“得到一个足球”
9．投掷两枚骰子，点数之和为8的事件所含的基本事件有________种．
解析 点数之和为8包含(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)5个基本事件．
答案 5
能 力 提 升
10．盒中现有4个白球，5个黑球，从中任意取出一个球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件？
(2)“取出的球是白球”是什么事件？
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？
解 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件．
(2)“取出的球是白球”可能发生，是随机事件．
(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件．
11．现有甲，乙，丙三人玩剪刀、石头、布的猜拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该事件的基本空间；
(2)事件“三人不分胜负”包含的基本事件有哪些？
解 (1)以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布，则：
Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)事件“三人不分胜负”包含下列九个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)，(J，B，S)，(J，S，B)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)．
12．有四只手套，两只白色，两只黑色，现从中抽取两只，每次取一只．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)“至少有一只白色的手套”这一事件包含哪几个基本事件？
解 (1)基本事件空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(白，黑)，(黑，白)}．
(2)“至少有一只白色手套”这一事件包含3个基本事件为：(白，白)，(白，黑)，(黑，白)．
品 味 高 考
13．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是( )
A．“出现奇数点” B．“出现偶数点”
C．“点数大于3” D．“点数是3的倍数”
解析 “出现2点”这个事件发生，因为2为偶数，所以“出现偶数点”这一事件发生．
答案 B
双基限时练(十六) 频率与概率
基 础 强 化
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件发生的概率总是在(0,1)内
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析 根据定义，概率的取值范围为[0,1]，故A错；B，D两个选项把频率、概率这两个概念颠倒了．故选C.
答案 C
2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( )
A．这个人抽1000次，必有1次中一等奖
B．这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元
C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001
D．以上说法都不正确
解析 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元．
答案 C
3．设某厂生产的某产品的次品率为2%，估算该厂生产的8000件该产品中合格品的件数可能为( )
A．160 B．7840 C．7998 D．7800
解析 次品率为2%，则8000件产品中可能有160件次品，所以合格品可能为8000－160＝7840(件)．
答案 B
4．一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( )
A. B.
C. D．1
解析 这是一个必然事件．
答案 D
5．下列结论正确的是( )
A．事件A的概率P(A)必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其明显疗效可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
解析 统计学中，可以用样本事件A发生的频率来估计在总体中事件A发生的概率，故C选项正确．
答案 C
6．已知集合M＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合M中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)C．P(A)＝P(B) D．P(A)、P(B)大小不确定
解析 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．
答案 C
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析 设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.
答案 500
8．在一次考试中，某班有80%的学生及格，80%是________(填“概率”或“频率)．
答案 频率
9．在盒子中有10个相同的球，分别标有1,2，…，10，从中任取一个球，则此球号码为偶数的概率为____________．
解析 P(号码为偶数)＝＝0.5.
答案 0.5
能 力 提 升
10．每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，若每题都选择第一个选择支，则一定有3道题的选择结果是正确的．”这句话对吗？
解 这句话是错误的．
解答一道选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择结果正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，可能都选错，也可能有2道题、4道题甚至12道题都选择正确．
11．天气的概率预报对人们的生产、生活安排非常重要，以降水预报为例，一般的预报不是报有雨就是报无雨，而在降水概率预报中，则主要用降水发生的可能程度来表示．例如：今天电视台的天气预报说今晚阴有雨，明天白天降水概率为60%，请回答下列问题：
(1)明天运输部门抢运粮食，能否在白天进行？为什么？
(2)如果抢运的是化肥、白糖，能否在白天进行？为什么？
解 (1)在降水概率为60%时，仍可进行抢运粮食，毕竟还有40%的无雨概率，不过要采取防雨措施．
(2)因为化肥、白糖属易溶物质，所以最好暂时不运，否则必须采取严密的防雨措施．
12．某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n
1001
1000
1004
1003
1000
满意人数m
999
998
1002
1002
1000
满意频率
(1)计算表中的各个频率．
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书的满意情况．
解 (1)表中各个频率依次是：0.998,0.998,0.998，0.999，1.
(2)由(1)中的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，读者对此教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.
(3)由(1)(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势．
品 味 高 考
13．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
解 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，
用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，
其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
双基限时练(十七) 概率的加法公式
基 础 强 化
1．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
解析 “至少一次中靶”即为“一次中靶”或“两次中靶”，根据互斥事件是不能同时发生的这一定义知，应选C.
答案 C
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球与都是白球
B．至少有1个白球与至少有一个红球
C．恰有1个白球与恰有2个白球
D．至少有1个白球与都是红球
解析 结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C中恰有1个白球，即1白1红，与恰有2个白球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况．
答案 C
3．把红、黑、绿、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得绿牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析 “甲分得红牌”与“乙分得绿牌”两事件可能同时发生，故A、B、C均错，故选D.
答案 D
4．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①正确，②③④错误．
答案 D
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析 “甲不输”包括两个互斥条件：甲赢和甲乙和棋，故90%－40%＝50%.易错之处在于对“甲不输”理解不到位，而误选C.
答案 D
6．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 电话在前四声被接的概率为＋＋＋＝.
答案 B
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则从产品中抽查一件，抽得正品的概率为________．
解析 记从产品中抽得甲、乙、丙级品分别为事件A、B、C，A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案 0.96
8．某战士射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95.
(1)的概率为________．
(2)若事件B(中靶环数不小于6)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率为________．
解析 (1)P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3；
P(D)＝P(A)－P(B)＝0.95－0.7＝0.25.
答案 (1)0.05 (2)0.3 0.25
9.某地区的年降雨量的概率如下表所示：
年降雨量
(单位 mm)
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求年降雨量在[100,200)范围内的概率________；
(2)求年降雨量在[150,200)或[250,300]范围内的概率________；
(3)求年降雨量不在[150,300]范围内的概率________；
(4)求年降雨量在[100,300]范围内的概率________．
解析 (1)记这个地区的年降雨量在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这4个事件是彼此互斥的．根据互斥事件的概率加法公式，年降雨量[100,200)(mm)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)年降雨量在[150,200)或[250,300]范围内为事件B∪D，∴P(B∪D)＝P(B)＋P(D)＝0.25＋0.14＝0.39.
(3)年降雨量不在[150,300]范围内为事件B∪C∪D的对立事件．∴1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－(0.25＋0.16＋0.14)＝0.45.
(4)降雨量在[100,300]范围内为事件A∪B∪C∪D，
∴P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.12＋0.25＋0.16＋0.14＝0.67.
答案 (1)0.37 (2)0.39 (3)0.45 (4)0.67
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10．判断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件？并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生．
解 (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．
(2)不是互斥事件，从而也不是对立事件．
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，其中“1名男生、1名女生”和“1名女生、1名男生”是相同的，可以同时发生．
11．从一批乒乓球产品中任取1个，如果其质量小于2.45 g的概率是0.22，质量不小于2.50 g的概率是0.20，那么质量在[2.45,2.50)g范围内的概率是多少？
解 记“质量小于2.45 g”为事件A，“质量不小于2.50 g”为事件B，“质量在[2.45,2.50)”为事件C，易知事件A、B、C互斥，且A∪B与C互为对立事件．
所以质量在[2.45,2.50) g范围内的概率是
P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)
＝1－0.22－0.20＝0.58.
12．在某一时间内，一条河流流经某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位
( m)
低于10
10～12
12～14
14～16
不低于16
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流流经这一处的年最高水位在下列范围的概率：
(1)低于16 m；
(2)低于12 m；
(3)不低于14 m.
解 记事件A＝{低于10 m}，B＝{10～12 m}，C＝{12～14 m}，D＝{14～16 m}，E＝{不低于16 m}．易知事件A、B、C、D、E互斥．
(1)P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.28＋0.38＋0.16＝0.92.
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
也可用对立事件的性质，即(A∪B∪C)与(D∪E)互为对立事件，所以有P(D∪E)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.1－0.28－0.38＝0.24.
品 味 高 考
13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析 “至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件．故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案
双基限时练(十八) 古典概型
基 础 强 化
1．有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 三张奖券的顺序可能是：(空，奖，奖)，(奖，空，奖)，(奖，奖，空)．故小明最后抽且中奖的概率为.
答案 C
2．一个停车场有3个并排的车位，分别停放着“红旗”，“捷达”，“桑塔纳”轿车各一辆，则“捷达”车停在“桑塔纳”车的右边的概率和“红旗”车停在最左边的概率分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析 三辆车停放组成的基本事件：(红旗、捷达、桑塔纳)，(红旗、桑塔纳、捷达)，(捷达、红旗、桑塔纳)，(桑塔纳、红旗、捷达)，(捷达、桑塔纳、红旗)，(桑塔纳、捷达、红旗)，共有6个，所以“捷达”车停在“桑塔纳”车右边的概率为＝，“红旗”车停在最左边的概率为＝.
答案 A
3．在所有两位数(10～99)中，任取一个数，能被2或3整除的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 10～99中共有90个数字，其中满足能被2或3整除的有60个，故所求概率为＝.
答案 C
4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 该事件的基本事件：(甲→丙，乙→丁)，(甲→丁，乙→丙)，(甲→丙，乙→丙)，(甲→丁，乙→丁)．故甲、乙两个把贺卡送给同一人的概率为.
答案 A
5．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子点数分别记为x，y，则log2xy>1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 先后抛两枚骰子，共有36个基本事件，若log2xy>1，则y>2x，符合条件的x，y有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，∴P＝.
答案 A
6．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y.则事件“x＋y≤3”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 先后投掷骰子两次共有36个基本事件，其中两点和小于等于3的有：(1,1)，(1,2)，(2,1)．故满足x＋y≤3的概率为＝.
答案 A
7．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚均匀正方体骰子(每个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
解析 ③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．
答案 ①②④
8．同时抛掷两个骰子，向上的点数不相同的概率为________，向上的点数之积为偶数的概率为________．
解析 同时抛两个骰子，向上的点数相同的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，故点数不同的基本事件有36－6＝30个．所以向上点数不同的概率为＝.
两数之积为偶数，可以是奇数×偶数，也可以是偶数×偶数．骰子上有奇数1,3,5，偶数2,4,6.故向上的点数之积为偶数的基本事件为3×3×2＋3×3＝27个．所以向上的点数之积为偶数的概率为＝.
答案
9．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出两个数，则两个数的和是2或3的倍数的概率为________．
解析 从五个数字中任取两个所包含的基本事件有
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)共10个，两个数的和是2或3的倍数的基本事件有6个，∴P＝＝.
答案
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10．某工厂由于工作失误，未贴标签前，把2箱含“三聚氰胺”的问题牛奶与合格的2箱牛奶混到了一起．对这4箱牛奶逐箱进行检测，到确定出2箱问题牛奶为止．
(1)求第一次检测时，就检测出含“三聚氰胺”的牛奶概率；
(2)求通过2次检测，就能筛选出2箱问题牛奶的概率．
解 用A1，A2分别表示2箱含“三聚氰胺”的问题牛奶，用B1，B2分别表示合格的2箱牛奶．这4箱排列共有以下24种可能：
A1A2B1B2，A1A2B2B1，A1B1A2B2，
A1B2A2B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，
A2A1B1B2，A2A1B2B1，A2B1A1B2，
A2B2A1B1，A2B1B2A1，A2B2B1A1，
B1A1A2B1，B1A1B2A2，B1A2A1B2，
B1B2A1A2，B1A2B2A1，B1B2A2A1，
B2A1A2B1，B2A1B1A2，B2A2A1B1，
B2B1A1A2，B2A2B1A1，B2B1A2A1.
(1)由上可知第一次检测时，就检测出含“三聚氰胺”的牛奶有12种可能，∴P＝＝.
(2)通过2次检测，就能筛选出2箱问题牛奶的有8种可能，∴P＝＝.
11．袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两个球都是白球；
(2)B：取出的两个球是一个白球一个红球．
解 设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝＝；
(2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
∴取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为
P(B)＝.
12．下表是某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5个等级．例如表中所示英语成绩为4级，数学成绩为2级的学生共5人．
设x、y分别表示英语成绩和数学成绩.
(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上，y＝3的概率是多少？
(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？
解 (1)P(x＝4)＝＝；P(x＝4，y＝3)＝；
P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＝＝；
当x≥3时，有50×＝35(人)，
在此基础上，y＝3时，有1＋7＋0＝8(人)，
所以在x≥3的基础上，P(y＝3)＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)＝1－－＝.
又P(x＝2)＝＝，所以a＋b＝3.
品 味 高 考
13．箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．
(1)请罗列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
解 (1)分别设3双手套为：a1a2；b1b1；c1c2；a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．
从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)；
(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)；
(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)；
(b2，c1)，(b2，c2)；
(c1，c2)．共15个基本事件．
(2)①事件A包含12个基本事件，故P(A)＝＝(或能配对的只有3个基本事件，P(A)＝1－＝)；
②事件B包含6个基本事件，故P(B)＝＝；
③事件C包含6个基本事件，故P(C)＝＝.
双基限时练(十九) 随机数的含义与应用
基 础 强 化
1．下列概率模型中，是几何概型的有( )
①从区间[－10,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任意取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任意取出一个整数，求取到大于1而小于8的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 第一个概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]内有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；
第二个概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]内都有无数多个数，且区间内每个数被取到的可能性相等；
第三个概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，是有限的；
第四个概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且点P落在任何一点处都是等可能的，故选B.
答案 B
2．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 P＝＝.
答案 A
3．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是( )
A．1 B.
C. D.
解析 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0，则所求概率为＝.
答案 C
4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A．7.68 B．16.32 C．17.32 D．8.68
解析 椭圆面积约S＝4×6×＝16.32.
答案 B
5．如图所示，墙上有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成的图形．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 根据余弦函数的图象可知，S阴影＝S矩，
P＝＝.
答案 D
6．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|>1的概率为( )
A. B. C. D.
解析 在球O中挖去一个相同球心，且半径为1的球后，剩余几何体内任一点都满足|OP|>1，故所求概率为＝.
答案 A
7．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝(b1－0.5)*6，则b是区间________上的均匀随机数．
答案 [－3,3]
8．一艘轮船只有在涨潮时才能驶入港口，已知该港口涨潮的时间为早晨5：00至7：00，和下午5：00至6：00，则该船在一昼夜可能进港的概率________．
解析 一昼夜可以进港的时间共有3个小时，
∴P＝＝.
答案
9．一个游戏转盘上有三种颜色，红色占30%，蓝色占50%，黄色占20%，则指针分别停在红色和蓝色区域的概率比为______．
解析 ＝＝.
答案
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10.如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，试求：
(1)△AOC为钝角三角形的概率；
(2)△AOC为锐角三角形的概率．
解 如图，由平面几何知识：
当AD⊥OB时，OD＝1；
当OA⊥AE时，OE＝4，BE＝1.
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形，
记“△AOC为钝角三角形”为事件M，
则P(M)＝＝＝0.4.
即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形，
记“△AOC为锐角三角形”为事件N，则P(N)＝＝＝0.6，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
11．两人约定在20：00到21：00之间在某一地点见面，并且先到者必须等后到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各个时刻相见的可能性是相同的，求两人在约定时间内能够相见的概率．
解 设两人分别于x时刻和y时刻到达见面地点，要使两人能够在约定时间范围内见面，当且仅当－≤x－y≤.两人到达见面地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．
因此阴影部分的面积与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内能够相见的可能性大小，则所求概率为P＝＝＝.
12.
现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．
解 由于随机地投掷飞镖，飞镖在正方形内每一个点的机会是等可能的，所以符合几何概型的条件，
∵S阴影＝××＝，S正＝22＝4，
∴P＝＝＝.
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13.
如图所示，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其
他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－ B.－1
C．2－ D.
解析 选择面积作为测度，求解几何概型的概率．
取面积为测度，则所求概率为P＝＝
＝＝1－.
答案 A
双基限时练(二十) 概率的应用
基 础 强 化
1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是 ( )
A．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨
B．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨
C．可能北京和上海都没有降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
解析 因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．
答案 D
2．根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到一中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的数目为( )
A．600 B．787
C．不少于473 D．不多于473
解析 由概率的意义，该校近视生人数约为78.7%×600＝472.2，结合实际情况，应带滴眼液不少于473瓶．
答案 C
3．活期存款本上留有四位数密码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取，某人忘记了密码的最后一位，那么此人取款时，在对前三个数码输入后，再随意按一个数字键，正好按对他原来所留密码的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 典型的古典概型，P＝.
答案 B
4．某人手表慢了，他打开电视机想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表，则他等待不超过一刻钟的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由于电视机每隔1小时显示整点一次，并且在0～60之间任何一个时刻显示整点是等可能的，所以在哪个时间显示整点的概率只与该时间段的长度有关．而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，这是一个与时间长度有关的几何概型，P＝＝.
答案 C
5．某产品的设计长度为20 cm，规定误差不超过0.5 cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为( )
A. B. C. D.
解析 不合格产品的件数为12件，故P＝＝.
答案 D
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2，…，6}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
解析 当a＝1时，b＝1,2；当a＝2时，b＝1,2,3；当a＝3时，b＝2,3,4；当a＝4时，b＝3,4,5；当a＝5时，b＝4,5,6；当a＝6时，b＝5,6，即有16种满足题意，∴P＝＝.
答案 D
7．某班某次测验，全班53人中，有83%的人及格，则从该班中任抽出11人，仅有1人及格．你认为这件事可能吗？答：________(填“可能”或“不可能”)．
解析 全班的及格人数为53×83%≈44，不及格人数为53－44＝9.所以任取11人，在包含全部不及格学生的情况下，仍有2人及格．
答案 不可能
8．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上字母恰好是按字母顺序相邻的概率是________．
解析 从5张卡片中取出2张共有10个基本事件，其中2张卡片上的字母恰好相邻的事件有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)共4个．所以P＝＝.
答案
9．一袋中5只红球，4只黑球，2只白球，从中摸一球，摸得红球为事件A，且P(A)＝；摸得白球为事件B，且P(B)＝，则“摸得的球为红球或白球”的概率为____________．
解析 P(摸得红球或白球)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案
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10．某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂，质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒4件产品中无次品概率为0.3,4件中有1件次品的概率为0.1，求该盒产品被检验合格的概率．
解 本题属于古典概型，其中“该盒产品被检验合格”包含两种情况：A＝“4件无一次品”，B＝“4件中有一次品”，而事件A与B是互斥事件，故由互斥事件的概率加法公式求解．
记事件C＝“该盒产品被检验合格”，
则C＝A∪B，(其中A＝“4件无次品”，
B＝“4件中有一件次品”)，
∴P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.1＝0.4.
即该盒产品被检验合格的概率为0.4.
11．为了检测山上某个森林区域内松鼠的繁殖情况，可以使用以下方法：先从山上捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，尾巴上有记号的松鼠共5只，试根据上述数据，估计此区域森林内松鼠的数量．
解 假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，
从山上任捕一只，设事件A＝“带有记号的松鼠”．
则由古典概型可知P(A)＝.①
第二次从山上捕捉50只，带有记号的松鼠有5只，即事件A发生的频数：m＝5，
由此知P(A)≈＝.②
由①②可得：≈∴n≈1000.
所以估计森林内约有松鼠1000只．
12.
如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字，有人为甲、乙设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏公平？
解 列表如下：
A
B
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝＝，即甲、乙获胜的概率不相等，所以这种游戏规则不公平．
如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则就是公平的．
品 味 高 考
13．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________.
石块的面
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
解析 第四面落在桌面上的概率为P＝＝0.13.
答案 0.13
阶段检测试题三
一、选择题(本大题有10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，是随机事件的有( )
A．某人投篮3次，投中4次
B．标准大气压下，水加热到100°C时沸腾
C．掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”
D．抛掷一颗骰子，出现7点
解析 A、D中的事件是不可能事件，B中的事件是必然事件，C中的事件是随机事件，故选C.
答案 C
2．掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是( )
A. B. C. D.
解析 掷一颗骰子，出现的基本事件总数为6，即n＝6，出现点数是2或4包含两个基本事件，所以P(A)＝＝＝.
答案 B
3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解析 从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．
答案 A
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是( )
A. B. C. D.
解析 设棱长为2a，则V正方体＝(2a)3＝8a3，
V球＝πa3.∴P＝＝.
答案 C
5．甲通过英语听力测试的概率为，乙通过英语听力测试的概率为，甲、乙两人同时通过英语听力测试的概率为，则甲、乙两人中至少有一人通过英语听力测试的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由概率一般加法公式，得P＝＋－＝.
答案 A
6．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出一个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则( )
A．P10＝P1 B．P10＝P1
C．P10＝0 D．P10＝P1
解析 概率与顺序无关．
答案 D
7．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中不同的6个数字组成的六位数码，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字有1个基本事件，则恰好能登录的概率为.
答案 D
8．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲胜，是黑色的则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解析 对于A、C、D甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．
答案 B
9．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取( )
A．12人 B．14人 C．16人 D．18人
解析 (98－42)×＝16，故选C.
答案 C
10．执行如图所示的算法，若输入的x∈[－1,4]，则输出的y∈(0,1]的概率为( )
A. B. C. D.
解析 根据框图可知：
当x∈[－1,0]时，y＝x∈[1,2]，
当x∈(0,4]时，y＝∈(0,2]，
∴使y∈(0,1]的x的范围是x∈(0,1]．
∴P＝.
答案 D
二、填空题(本大题有4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
11．从含有4个次品的10000个螺钉中任取1个，它是次品的概率为__________．
解析 由公式P(A)＝，得P(A)＝＝.
答案
12．一个路口有红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则汽车到达路口不用停直接通过的概率为__________．
解析 汽车不停所以是绿灯或黄灯，应用几何概型．
设事件“绿灯或黄灯”＝A.∴P(A)＝＝.
答案
13．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为______________．
解析 如图，设弧＝弧＝1，则弧＝1，要使劣弧的长度小于1，则点B需在弧或弧上选取，故P＝.
答案
14.
已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．
解析 设所求的面积为S，由题意得＝，∴S＝36.
答案 36
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)宋老师在某大学连续5年主讲经济学院的高等数学，下表是宋老师这门课5年来的考试成绩分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修宋老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：
(1)90分以上；
(2)60分～69分；
(3)60分以上．
解 根据公式可计算出修宋老师的高等数学课的人考试成绩在各个段上的频率依次为(总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645)：≈0.067，≈0.282，≈0.403，≈0.140，≈0.096，≈0.012.
用已有的信息可以估计出王小慧下学期修宋老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)“90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067；
(2)“60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140；
(3)“60分以上”记为事件C，则P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
16.
(12分)射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解 在该试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点，如题图所示，记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×1222cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为×π×12.22cm2的黄心内时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)＝＝0.01，
即射中黄心的概率是0.01.
17．(12分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率是.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
18．(14分)2011年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”，A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下，为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
满意
一般
不满意
A部门
50%
25%
25%
B部门
80%
0
20%
C部门
50%
50%
0
D部门
40%
20%
40%
(1)若市民甲选择的是A部门，求甲的调查问卷被选中的概率；
(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率．
解 (1)由条形图可得，分别负责问政A，B，C，D四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A部门的市民为40人．
由分层抽样可得从A部门问卷中抽取了20×＝4份．设事件M＝“市民甲被选中进行问卷调查”，所以P(M)＝＝0.1.
∴若甲选择的是A部门，甲被选中问卷调查的概率是0.1.
(2)由图表可知，分别负责问政A，B，C，D四部门的市民分别接受调查的人数为4,5,6,5.其中不满意的人数分别为1,1,0,2个，对记A部门不满意的市民是a；对B部门不满意的市民是b；对D部门不满意的市民是c，d.
记事件N＝“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D部门的”．
从填写不满意的市民中选出2人，共有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共6个基本事件；而事件N有(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共5个基本事件，所以P(N)＝.
∴这两人中至少有一人选择的是D部门的概率是
