双基限时练(一)
基 础 强 化
1．下列说法正确的是( )
A．钝角是第二象限角
B．第二象限角比第一象限角大
C．大于90°的角是钝角
D．－165°是第二象限角
解析 钝角的范围为(90°，180°)，故它是第二象限角，∴A正确，C错误；120°是第二象限角，390°是第一象限角，∴B错误；－165°是第三象限角，∴D错误．
答案 A
2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析 ∠AOB＝120°，∠BOC＝－270°，
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°－270°＝－150°.
答案 B
3．与405°终边相同的角为( )
A．－45° B．45°
C．135° D．225°
解析 405°＝360°＋45°，故与405°的终边相同的角为45°.
答案 B
4．－1236°角的终边所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 －1236°＝－3×360°－156°，即－1236°角的终边与－156°角的终边相同，∵－156°是第三象限角，故－1236°是第三象限角．
答案 C
5．在平面直角坐标系中，若角α与β的终边互相垂直，则角α与β的关系为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝k·360°＋α＋90°，k∈Z
D．β＝k·360°＋α±90°，k∈Z
解析 如图所示，可知β－α＝k·360°±90°，k∈Z.
答案 D
6．若θ是第三象限角，则与90°－θ一定不是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵θ是第三象限角，∴是第二象限或第四象限角.90°－θ是第三象限角，∴与90°－θ一定不是第一象限角．
答案 A
7．如图，终边落在阴影部分的角的集合为________．
解析 该区域的边界分别是
k·360°－45°，k∈Z，与k·360°＋120°，k∈Z.
故该区域表示的角的集合为
{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．
答案 {α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
8．时间经过2小时20分钟，则分针所转过的角度为________．
解析 分针走过5分钟，转过的角度为－30°，走过1小时，则转过的角度为－360°，∴时针走过2小时20分，分针转过的角度为2×(－360°)＋(－120°)＝－840°.
答案 －840°
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9．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.
解析 由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°＜α＜360°，令k＝3，得α＝270°.
答案 270°
10．在0°到360°内找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；
(2)－840°；
(3)2496°；
(4)3401°.
解析 (1)－150°＝－360°＋210°，
∴0°到360°内，与－150°终边相同的角为210°，它是第三象限角．
(2)－840°＝－3×360°＋240°，
∴在0°到360°内，与－840°终边相同的角为240°，它是第三象限角．
(3)2496°＝6×360°＋336°，
∴在0°到360°内，与2496°终边相同的角为336°，它是第四象限角．
(4)3401°＝9×360°＋161°，
∴在0°到360°内，与3401°终边相同的角为161°，它是第二象限角．
11．若角α的终边与240°的终边相同，求在[0°，360°)内终边与的终边相同的角．
解析 α＝240°＋k·360°，k∈Z，
∴＝80°＋k·120°，k∈Z.
依题意：0°≤80°＋k·120°<360°，k∈Z，
∴k＝0,1,2.
即在[0°，360°)内，终边与终边相同的角为80°，200°，320°.
12．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析 (1)终边落在射线OM上的角的集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝
225°＋k·360°，k∈Z}，故终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)由(2)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
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13．设集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则必有( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M∩N＝?
解析 在集合M中，对k讨论：
当k＝4n，n∈Z，x＝n·360°＋45°，n∈Z；
当k＝4n＋1，n∈Z时，x＝n·360°＋135°，n∈Z；
当k＝4n＋2，n∈Z时，x＝n·360°＋225°，n∈Z；
当k＝4n＋3，n∈Z时，x＝n·360°＋315°，n∈Z.
故集合M表示终边在四个象限角平分线上的角的集合．同理，对于集合N中的k＝8n,8n＋1，…，8n＋7，n∈Z讨论可知，集合N表示终边在坐轴上或四个象限角平分线上的角的集合，所以M?N，故选C.
答案 C
双基限时练(十)
基 础 强 化
1．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1,1] B．[－，－1]
C．[－，1] D．[－1，]
解析 令sinx＝t，t∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，其对称轴为t＝－∈[－1,1]，∴当t＝－时，ymin＝－，当t＝1时，ymax＝1，∴y∈.
答案 C
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析 ∵T＝π，∴ω＝2，故排除C、D.A中y＝sin可化简为y＝cos2x，满足在上单调递减．
答案 A
3．函数y＝sin图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析 y＝sin的对称轴是2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴2x＝kπ，x＝.
当k＝－1时，x＝－.
答案 B
4．函数y＝2sin的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )
A. B.
C. D．π
解析 y＝2sin的最小正周期为，相邻的两条对称轴间的距离为半个周期，即为.
答案 B
5．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为2π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝－对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称
D．关于点对称
解析 ∵f(x)的最小正周期为2π，∴ω＝1.
∵y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，对称中心为其图象与x轴的交点．
∴通过代入验证可知B正确．
答案 B
6．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin|x|
解析 注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①、②，选B.
答案 B
??7.函数y＝3sin的最小正周期为________．
解析 函数y＝3sin的ω＝2，故最小正周期T＝＝＝π.
答案 π
8．三角函数值sin1，sin2，sin3的大小顺序是________．
解析 ∵sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)，
且0<π－3<1<π－2<，
函数y＝sinx在上单调递增，
∴sin(π－2)>sin1>sin(π－3)>0，
即sin2>sin1>sin3.
答案 sin2>sin1>sin3
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9．当x∈时，y＝2sin的值域为________．
解析 ∵x∈，∴－≤3x－≤，
∴sin∈.∴y∈[－，2]．
答案 [－，2]
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的最大值及f(x)最大时x的集合．
解析 (1)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
(2)当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，
f(x)取最大值1.
此时x＝＋kπ，k∈Z，
即f(x)最大时x的集合为.
11．已知函数f(x)＝2sin，x∈R，
(1)求f(0)的值．
(2)试求使不等式f(x)>1成立的x的取值范围．
解析 (1)f(0)＝2sin＝－2sin＝－1.
(2)f(x)＝2sin>1.
∴sin>.
∴2kπ＋<x－<2kπ＋π，k∈Z.
∴6kπ＋π
故满足不等式f(x)>1的x的集合为
{x|6kπ＋π12．已知函数f(x)＝asin＋b，a＞0.
(1)写出函数f(x)的单调递减区间；
(2)设x∈，f(x)的最小值－2，最大值为，求实数a，b的值．
解析 (1)2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin(2x－)≤1，∵a>0.
∴f(x)min＝－a＋b＝－2，f(x)max＝a＋b＝.
∴a＝2，b＝－2＋.
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13．函数f(x)＝sin在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析 ∵x∈，
∴2x－∈.
∴sin∈
即函数f(x)＝sin在区间的最小值为－.
答案 B
双基限时练(二)
基 础 强 化
1．－225°化为弧度为( )
A. B．－
C．－ D．－
解析 －225°＝－225×＝－.
答案 C
2.化为角度为( )
A．75° B．105°
C．135° D．175°
解析 ＝×°＝75°.
答案 A
3．下列各对角中，终边相同的是( )
A.与 B．－与
C．－与 D.与
解析 若两个角的终边相同，则两个角的差为2π的整数倍，∵C项中，－－＝－＝－4π＝－2×2π，
∴－与π的终边相同．
答案 C
4．下列所给角中，是第二象限角的是( )
A. B．－
C．－ D.
解析 ＝4π－，－是第四象限角，
∴是第四象限角；
－＝－2π＋，是第二象限角，
∴－是第二象限角；－与均是第三象限角．
答案 B
5．一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的弧长为( )
A．70 cm B. cm
C. cm D.cm
解析 分针转过的弧度数为－，
∴分针的端点所转过的弧长为×10＝cm.
答案 D
6．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为( )
A. B.
C．1 D．π
解析 该弦与半径组成的三角形为正三角形，故圆心角为.
答案 A
7．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．
解析 y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为.
答案
8．如果一扇形的圆心角是72°，半径是20 cm，那么扇形的面积为________．
解析 72°＝rad＝ rad.
∴S＝×202×＝80π (cm)2.
答案 80π cm2
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9．已知一扇形所在圆的半径为10 cm，扇形的周长是45 cm，那么这个扇形的圆心角为________弧度．
解析 扇形的弧长为45－20＝25 (cm)，
∴圆心角为＝rad.
答案
10．已知一扇形AOB的周长为8，若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小．
解析 设扇形的弧长为l，半径为r，由题意可知：
∴或
∵圆心角α＝，∴圆心角的大小为或6.
11．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
解析 (1)以OB为终边的角为330°，可看作－30°，
∵－30°＝－，75°＝π，
∴.
(2)以OB为终边的角为225°，可看作－135°，
∵－135°＝－π，135°＝π，
∴.
(3)∵30°＝，210°＝π，
∴∪
＝∪
＝.
∴.
12．圆心在原点的单位圆上两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转弧度/秒，N点按顺时针转弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．
解析 设从P(1,0)出发，t秒后M、N第三次相遇，
则t＋t＝6π，故t＝12(秒)．
故M走了×12＝2π(弧度)，
N走了×12＝4π(弧度)，且相遇时的位置为P点．
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13．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1?3，则内切圆面积与扇形面积之比为________．
解析 设扇形圆心角的一半为θ，内切圆半径为r，
sinθ＝＝，
∴θ＝30°，即θ＝.
∴扇形的圆心角为.
∴＝＝.
答案
双基限时练(三)
基 础 强 化
1．如果角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析 2sin30°＝1，－2cos30°＝－，∴P(1，－)．
∴r＝＝2，sinα＝＝－.
答案 C
2．设α＝－，则sinα，tanα的值分别为( )
A．－1；不存在 B．1；不存在
C．－1；0 D．1；0
解析 －＝－2π－，∴－的终边在y轴的负半轴，在其终边上取点(0，－1)，由此可知sinα＝－1，tanα的值不存在．
答案 A
3．已知P(x,4)是角θ终边上一点，且tanθ＝－，则x的值为( )
A．10 B.
C．－10 D．－
解析 tanθ＝＝－，∴x＝－10.
答案 C
4．若角α的终边上有一点P(k<0)，则sinα·tanα＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵k<0，∴r＝ ＝－k，
∴sinα＝，tanα＝－，∴sinα·tanα＝－.
答案 B
5．若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标( )
A．(，1) B．(－，1)
C．(1，) D．(－1，)
解析 设P(x0，y0)，sin＝＝，∴y0＝.
cos＝＝，∴x0＝1.∴P(1，)．
答案 C
6．已知角θ的终边在直线y＝x上，则tanθ的值( )
A．－ B．－
C. D．±
解析 角θ的终边在第一象限或第三象限，在直线y＝x上取点(1，)和(－1，－)，则tanθ＝＝.
答案 C
7．角α的终边上有一点P(m,5)，且cosα＝(m≠0)，则sinα＋cosα＝____.
解析 r＝，∴cosα＝＝(m≠0)，
∴m＝±12.
当m＝12时，cosα＝，sinα＝，sinα＋cosα＝.
当m＝－12时，cosα＝－，sinα＝，sinα＋cosα＝－.
∴sinα＋cosα＝或sinα＋cosα＝－.
答案 或－
8．若y＝tanα·cotα的定义域为M，y＝secα·cscα的定义域为N，则M与N的关系为________．
答案 M＝N
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9．已知角α的终边经过点P(8a,15a)(a≠0)，则tanα＋secα的值是________．
解析 r＝＝17|a|，
当a>0时，r＝17a，tanα＝，secα＝＝，
∴tanα＋secα＝4.
当a<0时，r＝－17a，tanα＝，secα＝＝－，
∴tanα＋secα＝－.
∴tanα＋secα＝4或tanα＋secα＝－.
答案 －或4
10．已知α的终边上一点P(2，－)，求角α的六个三角函数值．
解析 r＝3，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－，
cotα＝－，secα＝，cscα＝－.
11．已知θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝，求sinθ和tanθ.
解析 cosθ＝＝>0，∴x>0，∴x＝1.
∴sinθ＝＝＝，tanθ＝＝3.
12．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
解析 (1)若使函数有意义，
则需满足
即即x≠，k∈Z.
∴函数的定义域为.
(2)若使函数有意义，则满足cosx≥0，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为，k∈Z.
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13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
解析 P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝，又sinθ＝－，∴＝－，
∵sinθ<0，∴y<0解得y＝－8.
答案 －8
双基限时练(四)
基 础 强 化
1．若θ是第二象限角，则( )
A．sinθ<0 B．cosθ<0
C．tanθ>0 D．cotθ>0
解析 θ为第二象限角，则sinθ>0，cosθ<0，
tanθ<0，cotθ<0.
答案 B
2．y＝＋＋＋的值域是( )
A．{－2,4} B．{－2,0,4}
C．{－2,0,2,4} D．{－4，－2,0,4}
解析 若x是第一象限角，则y＝4；
若x是第二象限角，则y＝－2；
若x是第三象限角，则y＝0；
若x是第四象限角，则y＝－2.
答案 B
3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵点P在第三象限，∴tanα<0，cosα<0.
∴α是第二象限角．
答案 B
4．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在( )
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限或x轴上 D．第一、三象限或x轴上
解析 由题意可知，cosθ≥0，tanθ≤0，∴θ的终边在第四象限或x轴的正半轴上，即2kπ－<θ≤2kπ，k∈Z.
∴kπ－<≤kπ，k∈Z，
∴的终边在第二、四象限或x轴上．
答案 C
5．已知tanα>0，且sinα＋cosα>0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵tanα>0，∴α是第一或第三象限角，
∵sinα＋cosα>0，∴α是第一象限角．
答案 A
6．α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( )
A．sin B．－cos
C．－tan D．sin2α
解析 ∵α是第四象限角，∴是第二象限或第四象限角，∴sin与－cos的符号不确定，－tan>0.2α是第三象限或第四象限或y轴负半轴上的角，∴sin2α<0.
答案 D
7．点P(tan2 014°，cos2 014°)位于第________象限．
解析 ∵2 014°＝5×360°×＋214°，214°是第三象限的角，
∴tan2 014°>0，cos2 014°<0，
故点P位于第四象限．
答案 四
8．三角函数式tan53°·sin330°·cos235°的符号是____________．
解析 53°是第一象限角，∴tan53°>0；330°是第四象限角，
∴sin330°<0；235°是第三象限角，∴cos235°<0，
∴tan53°·sin330°·cos235°>0.
答案 正号
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9．函数y＝＋的定义域为________．
解析 要使函数有意义，需
得
解之得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
答案
10．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan.
解析 (1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0.
∴sinα·tanα>0.
(2)∵<3<π，π<4<，
∴sin3>0，cos4<0.
∵－＝－6π＋，
∴tan>0.
∴sin3·cos4·tan<0.
11．若α是第三象限角，且＝－cos，求所在象限．
解析 ∵α是第三象限角，
∴是第二或第四象限角．
∵＝－cos，
∴cos≤0，∴是第二象限角．
12．已知sinθ<1且2cosθ<1，则θ是第几象限角．
解析 ∵sinθ<1且2cosθ<1，
∴sinθ>0，cosθ<0，
∴θ是第二象限角．
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13．cosθ·tanθ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析 cosθ·tanθ<0，∴或
∴θ是第三或第四象限角．
答案 C
双基限时练(五)
基 础 强 化
1．下列判断中错误的是( )
A．α一定时，单位圆的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和π＋α具有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
解析 终边相同的角的三角函数线相同，反过来，三角函数线相同，角不一定相等．故B选项错．
答案 B
2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为( )
A. B.
C. D.或
解析 由于正、余弦线的长度相等、符号相异，故角α的终边在第二、四象限，结合三角函数线可知，D正确．
答案 D
3．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C.∪ D.
解析 在单位圆上作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线可知，应选D.
答案 D
4．利用正弦线比较sin1，sin1.2, sin1.5的大小关系，有( )
A．sin1>sin1.2>sin1.5
B．sin1>sin1.5>sin1.2
C．sin1.5>sin1.2>sin1
D．sin1.2>sin1>sin1.5
解析 ∵0<1<1.2<1.5<，如图，
∴sin1答案 C
5．若0≤α＜2π，且sinα＜，cosα＞.利用三角函数线，得到α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
解析 如图所示，双线阴影部分即为所求．
答案 D
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos＝cos；
③tan>tan；④sin>sin.
其中判断正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由正弦、余弦、正切的三角函数线可知②④正确．
答案 B
7．如果MP和OM分别是的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是________．(把正确命题的序号都填上)
①MP＜OM＜0 ②MP＜0＜OM
③OM＜0＜MP ④OM＜MP＜0
解析 ∵π是第二象限角，∴sin>0，cos<0.
∴OM<0答案 ③
8．在0到2π内，使cosα≤－的α的取值范围是________．
解析 作直线x＝－交单位圆于P、P′，
∵cosα≤－，
∴α的终边在如图阴影部分，∴≤α≤.
答案
能 力 提 升
9．函数y＝＋的定义域是________．
解析 由sinx≥0得，
2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，①
由cosx≥得，
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，②
由①②可得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案
10．画出角－π的正弦线、余弦线和正切线．
解析 先找出角－π的终边位置，
∵－π＝－4π－，
∴－π的终边与－的终边相同．
它与单位圆的交点为P，由P向x轴作垂线，垂足为M，过单位圆与x轴正向的交点A作圆的切线，与角α终边反向延长线交于T，如图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
11．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．
(1)sinx≥；
(2)cosx≤；
(3)tanx≥－1；
(4)sinx≤－且cosx≤－.
解析 (1)∵sinx≥，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)∵cosx≤，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(3)∵tanx≥－1，x≠kπ＋，k∈Z，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ－≤x<2kπ＋或2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}，即{x|kπ－≤x(4)∵sinx≤－，cosx≤－，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
12．若b，c的大小．
解析 如图所示，，，分别是角α的正弦线、余弦线、正切线，
在△OMP中有OM>OP－MP，
可得cosx>1－sinx.
又AT>OA>OM，即tanx>1>cosx，
于是tanx>cosx>1－sinx.
又函数y＝2x为增函数，
∴21－sinx<2cosx<2tanx.
∴a品 味 高 考
13．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
解析 如图，根据余弦线的定义可知α的余弦线是，进而可知角α的终边和x轴正半轴或负半轴重合时，余弦线是单位长度的有向线段，故选择A.
答案 A
双基限时练(六)
基 础 强 化
1．已知tanα＝－，α为第二象限角，则cosα的值等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析 tanα＝－，α为第二象限角，
∴cosα＝－＝－.
答案 D
2．化简的结果是( )
A．cos160° B．－cos160°
C．±cos160° D．±|cos160°|
解析 ＝＝|cos160°|＝－cos160°.
答案 B
3．设0<α<π，sinα＋cosα＝，则的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝.
∴2sinαcosα＝－<0.
∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0.
∴1－2sinαcosα＝，即(sinα－cosα)2＝.
∴sinα－cosα＝.
∴＝＝＝－.
答案 C
4．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 由于tanθ＝2，sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ
＝＝
＝＝.
答案 D
5．角A为△ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝，则这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
解析 由sinA＋cosA＝两边平方得
sinA·cosA＝－<0.
∵角A为△ABC的一个内角，
∴0知sinA>0，cosA<0，
∴∴△ABC为钝角三角形．
答案 B
6．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析 sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
答案：A
7．已知＝－，则的值为________．
解析 ∵＝，∴＝.
答案
8．若f(tanx)＝sinxcosx，则f的值是________．
解析 解法1 ∵f(tanx)＝sinxcosx＝＝，
∴f(x)＝.
∴f＝＝.
解法2 令tanx＝，则＝，∴sinx＝cosx.
由
解得cos2x＝.
∴f(tanx)＝sinxcosx＝cosx·cosx＝cos2x＝×＝.
答案
能 力 提 升
9．若1＋sinθ＋cosθ＝0成立，则①θ不可能是第一象限角，②θ不可能是第二象限角，③θ不可能是第三象限角，④θ不可能是第四象限角．其中说法正确的是________．
解析 由于1＋sinθ＋cosθ＝0，得sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＝－1，∴sinθ≤0，cosθ≤0，θ的终边可以落在第三象限、x轴负半轴和y轴负半轴．故说法正确的是①②④.
答案 ①②④
10．已知tanα＝，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α.
解析 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝.
11．求证：＝.
解析 解法1 右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴等式成立．
解法2 左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，等式成立．
解法3 ∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，
∴要证原等式成立，
只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立．
而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α，
即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，
∴等式成立．
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别为sinα和cosα，且α∈(0,2π)．
(1)求＋的值；
(2)求m的值；
(3)求方程的两根及此时的α值．
解析 ∵sinα和cosα是方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根，
∴sinα＋cosα＝，sinα·cosα＝.
(1)原式＝＋
＝－
＝sinα＋cosα＝.
(2)∵sinα＋cosα＝，
∴1＋2sinαcosα＝.
∴sinαcosα＝＝，∴m＝.
(3)由sinα＋cosα＝，sinαcosα＝可知，
sinα>0，cosα>0，
∴或
∴α＝或α＝.
品 味 高 考
13．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－.
答案 A
双基限时练(七)
基 础 强 化
1．sin＋cos的值为( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝－sin＋cos
＝－sin＋cos＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin－cos＝－.
答案 D
2．sin1680°＋tan2010°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 sin1680°＋tan2010°
＝sin(4×360°＋240°)＋tan(5×360°＋210°)
＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋30°)
＝－sin60°＋tan30°＝－＋＝－.
答案 D
3．下列各式不正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sinα
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sinα
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
解析 cos(－α＋β)＝cos(α－β)．故B选项错．
答案 B
4．已知cos(3π－α)＝－，α是第四象限角，则sin(－α－π)的值为( )
A. B．－
C．± D．±
解析 ∵cos(3π－α)＝－，∴cosα＝.
∵α是第四象限角，∴sinα＝－.
∴sin(－α－π)＝sinα＝－.
答案 B
5．已知tan(α－π)＝－3，则的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析 tan(α－π)＝－3，则tanα＝－3.
＝＝＝＝－2.
答案 B
6．已知A＝＋(k∈Z)，则由A的值构成的集合为( )
A．{－1,1，－2,2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝＋＝－2.
答案 C
7．已知cos＝，则cos＝________.
解析 cos＝cos
＝－cos＝－cos＝－.
答案 －
8．化简：＝______.
解析 原式＝＝－cosθ.
答案 －cosθ
能 力 提 升
9．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 014)＝2，则f(2 015)＝________.
解析 ∵f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)＝2，
∴f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)
＝asin[π＋(2 014π＋α)]＋bcos[π＋(2 014π＋β)]
＝－[asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)]
＝－2.
答案 －2
10．求下列函数的值：
(1)sin；
(2)cos(－1 035°)；
(3)sin315°sin(－1 260°)＋cos390°sin(－1 020°)．
解析 (1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos(－1 035°)＝cos1 035°＝cos(1 080°－45°)＝cos45°＝.
(3)sin315°sin(－1 260°)＋cos390°sin(－1 020°)
＝sin(360°－45°)sin(－1 080°－180°)＋cos30°·sin(－1 080°＋60°)
＝－sin45°·0＋cos30°·sin60°＝.
11．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
求的值．
解析 ∵sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
∴－sinα＝2cosα.
∴tanα＝－2.
＝
＝＝＝－.
12．求证：＝－tanα.
证明 左边＝
＝＝－
＝－tanα＝右边．
∴等式成立．
品 味 高 考
13．cos300°＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 cos300°＝cos(－60°)＝cos60°＝.
答案 C
双基限时练(八)
基 础 强 化
1．已知cos＝，则sinα的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 cos＝－sinα，∴sinα＝－.
答案 D
2．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析 ∵－＝.
∴cos＝cos
＝－sin＝－.
答案 A
3．已知cosα＝，α是第四象限角，则cos的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵α是第四象限角，∴sinα＝－.
cos＝cos＝sinα＝－.
答案 D
4．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin150°)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 f(sin150°)＝f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos120°
＝－cos60°＝－.
答案 B
5．已知tanθ＝2，则＝( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析 原式＝＝＝＝－2.
答案 B
6．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析 ∵－＝.
∴cos＝cos
＝－sin＝－.
答案 B
7．若cos(π＋α)＝－，则sin＝________.
解析 cos(π＋α)＝－cosα，∴cosα＝.
sin＝－cosα，∴sin＝－.
答案 －
8．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°＝________.
解析 设A＝sin21°＋sin22°＋…sin289°＋sin290°，
则A＝cos289°＋cos288°＋…＋cos21°＋sin290°
＝cos21°＋cos22°＋…cos289°＋sin290°.
∴2A＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＋2.
∴2A＝89＋2＝91.
∴A＝45.5，
∴sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＋sin290°＝45.5.
答案 45.5
能 力 提 升
9．cos＝－，则是第________象限角(设α是第二象限角)．
解析 由cos＝－，得
cos＝－，
即cos＝－＝－，
∴cos<0，即为第二、三象限角．
∵α为第二象限角，
∴为第一、三象限角．
∴为第三象限角．
答案 三
10．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求
sin3－cos3的值．
解析 ∵sin(5π－θ)＋sin＝，
∴sinθ＋cosθ＝.
∴sin3－cos3＝cos3θ＋sin3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)
＝(sinθ＋cosθ)＝.
11．若sinθ＝，求＋
的值．
解析 cos(π－θ)＝－cosθ，
sin＝sin＝－sin＝－cosθ，
cos(2π－θ)＝cosθ，
cos(π＋θ)＝－cosθ，
sin＝cosθ，
sin＝sin
＝－sin＝－cosθ.
∴原式＝＋
＝＋＝＝＝6.
12．化简：
(1)＋
；
(2)cos＋cos(k∈Z)．
解析 (1)原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.
(2)当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝2cos；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos[(2n＋1)π＋＋α]cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos
＝－2cos.
品 味 高 考
13．已知sin＝，那么cosα＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 利用诱导公式化简已知条件即可．sin＝cosα，故cosα＝，故选C.
答案 C
双基限时练(九)
基 础 强 化
1．正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]，当y取得最小值时，x的值为( )
A. B．π
C. D．2π
解析 由正弦函数的图象知，当x＝时，y取得最小值－1，故选C.
答案 C
2．下列函数图象相同的是( )
A．y＝sinx与y＝sin(π＋x)
B．y＝sin与y＝sin
C．y＝sinx与y＝sin(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sinx
解析 根据诱导公式，y＝sin(2π＋x)＝sinx，故选D.
答案 D
3．已知函数f(sinx)＝x，x∈，则f的值为( )
A．sin B.
C. D.
解析 ∵x∈，∴f＝f＝.
答案 D
4．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|
解析 ∵图象关于y轴对称，且当x>0时，y＝－sinx.
答案 C
5．y＝lgx与y＝sinx的图象交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 在同一坐标系中作出y＝lgx与y＝sinx的图象，如图所示．
由图象可知，它们有三个交点．
答案 D
6．函数y＝sinx与函数y＝sin(－x)的图象关于________对称．( )
A．原点 B．x轴，y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
解析 y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，
∴y＝sinx与y＝sin(－x)的图象关于y轴对称．
∵y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，
y＝sin(－x)＝－sinx，
∴y＝sinx与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称．
答案 B
7．函数y＝sinx，x∈时，y的取值范围是________．
答案
8．若函数y＝2sinx的图象和直线y＝－2围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积为________．
解析 作出y＝2sinx，x∈与y＝－2的图象，利用割补法可知，该封闭图形的面积S＝4π.
答案 4π
能 力 提 升
9．从函数y＝sinx，x∈上的图象上看，对应函数值sinx＝－的x的个数为________．
解析 如图所示，直线y＝－与y＝sinx在上有2个交点．
答案 2
10．作出函数y＝sin＋1在上的图象．
解析 列表：
x－
0
π
2π
x
y＝sin＋1
1
2
1
0
1
描点，连线得函数y＝sin＋1的图象，如图所示．
11．利用“五点法”作函数f(x)＝1－sinx的图象，并利用图象解不等式f(x)<.
解析 列表
x
0
π
2π
y
1
0
1
2
1
f(x)的图象如图所示
从图象中可知，f(x)＝时，即1－sinx＝，sinx＝，
∴x＝或x＝.
∴f(x)<的解集是，k∈Z.
12．求函数f(x)＝ ＋lg(25－x2)的定义域．
解析 由题意可知
作出函数y＝sinx的图象
满足sinx－≥0的x的集合为(k∈Z)．
又25－x2>0，即－5故该函数的定义域为∪.
品 味 高 考
13．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析 画出函数y＝|sinx|的图象易知选C.
答案 C
阶段检测试题一
一、选择题(共10小题，每题5分，共50分)
1．若角－600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值为( )
A．4 B．－4
C．±4 D．－
解析 ∵(－4，a)在角－600°的终边上，
∴tan(－600°)＝－.
tan(－600°)＝tan120°＝－tan60°＝－.
∴－＝－，∴a＝4.
答案 A
2．若sin＝，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵＋＝，
cos＝cos＝sin＝.
答案 A
3．圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是( )
A. B．1
C. D.
解析 设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长为R，
∴圆弧长为R，故圆心角α＝＝.
答案 D
4．函数y＝3sin的单调递增区间是( )
A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
B．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
解析 y＝3sin＝－3sin，∴其单调递增区间是y＝3sin的单调递减区间，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案 C
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2sin(x∈R)
B．f(x)＝2sin(x∈R)
C．f(x)＝2sin(x∈R)
D．f(x)＝2sin(x∈R)
解析 由图象可知，当x＝时，y取得最大值．
经检验，只有A正确．
答案 A
6．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
解析 y＝sinx
y＝siny＝sin.
答案 B
7．下列关系式中正确的是( )
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，
∵y＝sinx在(0°，90°)上递增，且11°<12°<80°，
∴sin11°答案 C
8．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵y＝tan(2x＋φ)过点，∴tan＝0.
∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.
当k＝0时，φ＝－.
答案 A
9．为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A．98π B.π
C.π D．100π
解析 由T≤1，得T≤，即≤，ω≥π.
答案 B
10．设函数f(x)＝sin－1(ω>0)的最小正周期为，则f(x)图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析 T＝＝，∴ω＝3.
令3x＋＝kπ＋，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z.
∴y＝sin－1的对称轴为x＝＋，k∈Z.
当k＝0时，x＝，故选A.
答案 A
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝tan的最小正周期为________．
解析 由公式T＝可得T＝.
答案
12．若α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值为________．
解析 依题意，角α的终边在第二、四象限，
∴sinαcosα<0.
∴原式＝＋＝＝0.
答案 0
13．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
解析 如果两个函数的图象对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f(x)＝3sin.
∵x∈，
∴2x－∈.
∴sin∈.
故f(x)∈.
答案
14．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f＝________.
解析 f＝f＝f＝－f
＝－sin＝－.
答案 －
三、解答题(共4个小题，15、16、17题12分，18题14分)
15．(12分)已知函数f(x)＝cos.
(1)若f(α)＝，其中<α<，求sin的值；
(2)设g(x)＝f(x)·f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解析 (1)因为f(α)＝cos＝，
且0<α－<，
所以sin＝.
(2)g(x)＝f(x)·f＝cos·
cos＝sin·cos
＝sin＝cos2x.
当x∈时，2x∈.
则当x＝0时，g(x)的最大值为；
当x＝时，g(x)的最小值为－.
16．(12分)f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；
(3)若α＝－π，求f(α)的值．
解析 (1)f(α)＝＝sinα·cosα.
(2)由f(a)＝sinαcosα＝，可知
(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α
＝1－2sinαcosα
＝1－2×＝.
又∵<α<，
∴cosα即cosα－sinα<0.
∴cosα－sinα＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·
＝·＝－.
17．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．
(1)求A，ω及φ的值；
(2)若tanα＝2，求f的值．
解析 (1)由图知A＝2，
T＝2＝π，
∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又∵f＝2sin＝2，
∴sin＝1.
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，(k∈Z)．
∵0<φ<，∴φ＝.
(2)由(1)可知，f(x)＝2sin.
∴f＝2sin＝2cosα.
当α是第一象限角时，cosα＝；
当α是第三象限角时，cosα＝－.
∴f＝
18．(14分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解析 (1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，
∴sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)列表：
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图．
