【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修1-2+单元测评一　统计案例

单元测评(一)　统计案例
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：
①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．
则下列操作顺序正确的是(　　)
A．①②④③　　　　　　 B．③②④①
C．②③①④ D．②④③①
解析：根据回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行回归分析时，应先收集数据(xi，yi)，然后绘制散点图，再求回归方程，最后对所求的回归方程作出解释，因此选D.
答案：D
2．若残差平方和是325，总偏差平方和是923，则随机误差对预报变量变化的贡献率约为(　　)
A．64.8%　　B．60%　　C．35.2%　　D．40%
解析：相关指数R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量变化的贡献率为×100%＝×100%≈35.2%.
答案：C
3．已知呈线性相关关系的变量x，y之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点(　　)
x
0.1
0.2
0.3
0.5
y
2.11
2.85
4.08
10.15
A.(0.1,2.11) B．(0.2,2.85)
C．(0.3,4.08) D．(0.275,4.797 5)
解析：回归直线一定过点(，)，通过表格中的数据计算出和，易知选D.
答案：D
4．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下四选项，其中拟合得最好的模型为(　　)
A．模型1的相关指数R2为0.75
B．模型2的相关指数R2为0.90
C．模型3的相关指数R2为0.25
D．模型4的相关指数R2为0.55
解析：相关指数R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B.
答案：B
5．下列说法：①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，K2就越大；③K2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一数据；④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．
其中正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错误；②正确；对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助图形或概率运算，故③错误；对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生了B一定发生，故④错误．正确的只有1个．
答案：A
6．观察两个变量(存在线性相关关系)得如下数据：
x
－10
－6.99
－5.01
－2.98
3.98
5
7.99
8.01
y
－9
－7
－5
－3
4.01
4.99
7
8
则两变量间的线性回归方程为(　　)
A.＝x＋1 B.＝x
C.＝2x＋ D.＝x＋1
解析：由于线性回归方程一定经过样本点的中心(，)，所以本题只需求出，，然后代入所给选项进行检验，即可得到答案．由表中数据可得，＝0，＝0，只有B项中的方程过(0,0)点，故选B.
答案：B
7．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：由数据统计表可得＝3.5，＝42，据回归直线的性质得点(3.5,42)在回归直线上，代入方程＝9.4x＋可得＝9.1，故回归直线方程为＝9.4x＋9.1，因此当x＝6时，估计销售额＝9.4×6＋9.1＝65.5万元．
答案：B
8．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(　　)
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线l过点(x，y)
解析：由于线性回归方程可设为＝＋x，而系数的计算公式为＝－，故应选D.
答案：D
9．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：由已知条件可得K2≈7.8＞6.635，可得P＝0.01，∴有1－0.01＝99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案：C
10．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知xi＝52，yi＝228，x＝478，xiyi＝1 849，则y对x的回归方程是(　　)
A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x
解析：由＝，＝－，直接计算得≈2.62，≈11.47，所以＝2.62x＋11.47.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k＝4.073，那么有__________的把握认为两变量有关系，已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
解析：∵K2＝k＝4.071>3.841，又P(K2≥3.841)≈0.05，∴有95%的把握认为两变量有关系．
答案：95%
12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“能起到预防感冒的作用”；
q：如果某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒：
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的序号是__________．
(1)p∧綈q；(2)綈p∧q；(3)(綈p∧綈q)∧(r∨s)；(4)(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
解析：由题意，K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以只有第一位同学判断正确．即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”由真值表知(1)，(4)为真命题．
答案：(1)(4)
13．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加__________万元．
解析：回归直线方程中＝bx＋a字母b的意义表示随着自变量增加或减少1个单位的函数值的变化量，即函数的年平均变化率．即本题中收入每增加1万元，饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
14．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm.
解析：根据题意列表如下：身高y(单位：cm)
x
1
2
3
4
y
170
173
176
182
xiyi＝1 772，＝，＝＋170，x＝30，所以＝＝＝3.9，＝－＝＋170－3.9×＝165.5，所以线性回归方程为＝x＋＝3.9x＋165.5，将x＝5代入得该老师孙子的身高估计值为3.9×5＋165.5＝185 cm.
答案：185
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)抽测了10名15岁男生的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)，得到如下数据：
x
157
153
151
158
156
159
160
158
160
162
y
45.5
44
42
46
44.5
45
46.5
47
45
49
　 (1)画出散点图；
(2)你能从散点图中发现身高与体重近似成什么关系吗？
(3)如果近似成线性关系，试画出一条直线来近似地表示这种关系．
解：(1)散点图如下图所示：
(4分)
(2)从散点图可知，当身高增加时，体重也增加，而且这些点在一条直线附近摆动，因此身高与体重线性相关．(8分)
(3)作出直线如下图所示．(12分)
16．(12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
　学生
学科　　　
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
(3)一名学生的数学成绩是96分，试预测他的物理成绩．
解：(1)散点图如下图所示：
(4分)
(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
∴＝≈0.625.
∴＝－＝67.8－0.625×73.2＝22.05.
∴y对x的线性回归方程是＝0.625x＋22.05.
(8分)
(3)当x＝96，则＝0.625×96＋22.05≈82.
所以预测他的物理成绩是82分．(12分)
17．(12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由？
解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人．概率为＝；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为.(6分)
(2)由表中数据可得
K2＝＝≈11.5>10.828，
∴有99.9%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．(12分)
18．(14分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如下表：
刹车时的车速(km/h)
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离(m)
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
(2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，请推测刹车时的速度为多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
解：(1)散点图如图表示：
(4分)
(2)由图象，设函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将(0,0)，(10,0.3)(20,1.0)代入，得

解得a＝0.002，b＝0.01，c＝0.
所以，函数的表达式为y＝0.002x2＋0.01x(0≤x≤140)．
经检验，表中其他各值也符合此表达式．(10分)
(3)当y＝46.5时，即0.002x2＋0.01x＝46.5，
所以x2＋5x－23 250＝0.
解得x1＝150，x2＝－155(舍去)．
故可推测刹车时的速度为150 km/h，而150>140，
因此发生事故时，汽车属于超速行驶．
(14分)