模块综合测评(一) 选修1－2(A版)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．可作为四面体的类比对象的是( )
A．四边形 B．三角形
C．棱锥 D．棱柱
答案：B
2．在回归分析中，相关指数R2越接近1，说明( )
A．两个变量的线性相关关系越强
B．两个变量的线性相关关系越弱
C．回归模型的拟合效果越好
D．回归模型的拟合效果越差
答案：C
3．已知i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i ，由此可猜想i2 006等于( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：B
4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是( )
A．没有一个内角是钝角
B．有两个内角是钝角
C．有三个内角是钝角D.至少有两个内角是钝角
答案：D
5．已知(x＋y)＋(x－y)i＝－2＋4i，则实数x，y的值分别是( )
A．－2,4 B．4，－2
C．－3,1 D．1，－3
答案：D
6．复数z＝(a2＋1)－(b2＋1)i(a，b∈R)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
7．设复数z1＝1－i，z2＝－1＋xi(x∈R) ，若z1·z2为纯虚数，则x的值是( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
答案：C
8．若复数z满足1－z＝z·i，则z等于( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
答案：C
9．若根据10名儿童的年龄 x(岁)和体重 y(kg)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是 y ＝ 2x＋7 ，已知这10名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是( )
A．14 kg B．15 kg
C．16 kg D．17 kg
答案：B
10．下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是( )
①因为指数函数y＝ax(a＞1 )是增函数；② 所以y＝2x是增函数；③而y＝2x是指数函数．
A．① B．②
C．①② D．③
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若a1，a2，a3，a4∈R＋，有以下不等式成立：
≥，≥，≥.由此推测成立的不等式是______________________________．(要注明成立的条件)
答案：≥(a1，a2，a3，…，an∈R＋)
12．完成下面的三段论：
大前提：互为共轭复数的乘积是实数，
小前提：x＋yi与x－yi是互为共轭复数，
结论：________________.
答案：(x＋yi)·(x－yi)是实数
13．若复数z＝(m－1)＋(m＋2)i对应的点在直线2x－y＝0上，则实数m的值是__________．
答案：4
14．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝a＋bxi＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2等于__________．
解析：由于ei恒为0，即解释变量与预报变量成函数关系，此时两变量间的相关指数R2＝1.
答案：1
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知a，b∈R，求证2(a2＋b2)≥(a＋b)2.
证明：证法1：要证2(a2＋b2)≥(a＋b)2
只要证2a2＋2b2≥a2＋2ab＋b2(2分)
只要证a2＋b2≥2ab(6分)
而a2＋b2≥2ab显然成立(10分)
所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2成立．(12分)
证法2：因为2(a2＋b2)－(a＋b)2
＝2a2＋2b2－(a2＋2ab＋b2)(4分)
＝a2＋b2－2ab
＝(a－b)2≥0(10分)
所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2.(12分)
16．(12分)已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2，求证a，b中至少有一个不小于0.
证明：假设a，b都小于0，即a＜0，b＜0，(2分)
所以a＋b＜0，(4分)
又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
(10分)
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立
所以a，b中至少有一个不小于0.(12分)
17．(12分)给出如下列联表：
患心脏病
患其他病
合计
高血压
20
10
30
不高血压
30
50
80
合计
50
60
110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？
(参考数据：P(K2≥6.635)＝0.010，P(K2≥7.879)＝0.005 )
解：由列联表中的数据可得
K2＝＝7.486(6分)
又P(K2≥6.635)＝0.010，(10分)
所以有99%的把握认为高血压与患心脏病有关．
(12分)
18．(14分)先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1.
求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
则f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a
＝2x2－2x＋a＋a.
∵对一切x∈R，恒有f(x)≥0，
∴Δ＝4－8(a＋a)≤0.从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，试写出上述结论的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．
解：(1) 若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.
求证：a＋a＋…＋a≥.(6分)
(2) 构造函数
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a.
(8分)
因为对?x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n(a＋a＋…＋a)≤0，(10分)
从而得：a＋a＋…＋a≥＝.
(14分)
模块综合测评(二) 选修1－2(A版)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则等于( )
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
解析：z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，
＝＝＝＝－1＋i.
答案：B
2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
答案：C
3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K2的观测值k＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( )
A．99.9% B．95%
C．90% D．0
解析：∵13.097>10.828，∴有99.9%的把握认为两个变量有关系．
答案：A
4．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：＝1＋i，则1＋2i＝(1＋i)(a＋bi)＝(a－b)＋(a＋b)i，
∵a，b∈R，∴解得
答案：A
5．在一次试验中，当变量x的取值分别为1、、、时，变量y的值依次为2、3、4、5，则y与x之间的回归曲线方程为( )
A.＝x＋1 B.＝2x＋1
C.＝＋3 D.＝＋1
解析：把变量x的值代入验证知，回归曲线方程为＝＋1.
答案：D
6．若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位)，则p＋q的值是( )
A．－1 B．0
C．2 D．－2
解析：把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，
即2i＋p＋pi＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，
∵p，q为实数，∴p＋q＝0.
答案：B
7．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析：|z－i|＝|3－4i|＝5，
∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．
答案：C
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵a1＝1，Sn＝n2·an，
∴a1＋a2＝22·a2，?a2＝；
由a1＋a2＋a3＝32·a3，得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，得a4＝，…，
猜想an＝.
答案：B
9．在流程图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )
A．连接点 B．判断框
C．流程线 D．处理框
答案：C
10．已知下表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
…
则a81的位置是( )
A．第13行第2个数 B．第14行第3个数
C．第13行第3个数 D．第17行第2个数
解析：第n行最后一项为，故当n＝13时，有a91，所以a81是第13行第3个数．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．观察数列，3，，，3，…，写出数列的一个通项公式an＝__________.
解析：观察数列，，，，，…，
被开方数3,9,15,21,27，…，
成等差数列，通项为3＋(n－1)×6＝6n－3，故an＝(n∈N*)．
答案：(n∈N*)
12．设θ∈[0,2π]，当θ＝____________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．
解析：若z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，
∵θ∈[0,2π]，∴θ＝，或θ＝.
答案：或
13．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)，(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋＋＋＝________.
解析：由f(a＋b)＝f(a)·f(b)可知，对?n∈N*有f(n＋1)＝f(n)f(1)＝f(n)·2，
∴＝2，
∴＋＋＋＋＝10.
答案：10
14．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是__________．
解析：排列规律是第n行有n个正整数，前n－1行共有1＋2＋…＋(n－1)＝个正整数，因此第n(n≥3)行左起第3个数是＋3＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)某人酷爱买彩票，一次他购买了1 000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1 500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了较大的影响？
解：根据题意可知购买1 000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1 500注彩票，中奖75注，未中奖的有1 425注．列出对应的2×2列联表如下：
中奖注数
未中奖注数
总计
未分析
50
950
1 000
分析后
75
1 425
1 500
总计
125
2 375
2 500
假设H0：对彩票号码的研究与中奖无关．(6分)
由表中数据，得K2的观测值为
k＝＝0.(8分)
因为0<2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．(12分)
16．(12分)已知f(z)＝|1＋z|－，且f(－z)＝10＋3i，求复数z.
解：f(z)＝|1＋z|－，f(－z)＝|1－z|＋，
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.(4分)
由f(－z)＝10＋3i，得
|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，
∴
解方程组得(10分)
∴复数z＝5－3i.(12分)
17．(12分)设函数y＝f(x)定义在R上，对任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)求证：f(0)＝1，且当x<0时，f(x)>1；
(2)证明：f(x)在R上是减函数．
证明：(1)∵对m，n∈R，恒有
f(m＋n)＝f(m)·f(n)，
∴令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
又0当x<0时，－x>0，从而
f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)＝.
∵－x>0，∴01.
(6分)
(2)任取x1，x2∈R，且x1∴x2－x1>0，故0即0又f(0)＝f(x1－x1)＝f(x1)·f(－x1)＝1，
∴f(－x1)＝.(8分)
又当x∈R时，f(x)>0，
∴0<<1，
∴f(x2)f(x2)，
故f(x)在R上是减函数．(12分)
18．(14分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中，任取2名，求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率．
解：(1)因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(4分)
(2)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝3(名)．(8分)
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20岁至40岁的有2名(设为y1，y2)，大于40岁的有3名(设为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同的取法：y1y2，y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有一名年龄在20岁至40岁”，则A中的基本事件有6种：
y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3.
故所求的概率为P(A)＝＝0.6.(14分)
