【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修1-2+单元测评三数系的扩充与复数的引入

单元测评(三)数系的扩充与复数的引入
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
答案：B
2．复数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．－1
解析：2＝＝－i＝a＋bi.
所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
答案：D
3．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，因为z1·是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.21cnjy.com
答案：A
4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
解析：＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C点对应的复数为－1＋3i.
答案：D
5．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在(　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上三项都不对
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.
∵z2为纯虚数，∴
∴y＝±x(x≠0)．
答案：C
6．已知复数z＝x＋yi，满足|z－1|＝x，那么z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：∵z＝x＋yi(x，y∈R，x≥)，满足|z－1|＝x，
∴(x－1)2＋y2＝x2，故y2＝2x－1.
答案：D
7．当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：∵z2＝2＝＝－i.
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝i50－i25＋1＝－i.
答案：D
8．复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点，按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为(　　)21教育网
A．－1 B．1
C．i D．－i
解析：设z＝a＋bi，B点对应的复数为z1，则z1＝(a＋bi)i－1－i＝(－b－1)＋(a－1)i，21·cn·jy·com
∵点B与点A恰好关于坐标原点对称，
∴∴∴z＝1.
答案：B
9．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是(　　)
A．1 B.
C．2 D.
解析：|z＋i|＋|z－i|＝2，则点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到点(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.
答案：A
10．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是(　　)
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．|z|＝|1|2
解析：A错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；
B错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；
C错，反例：z1＝1，z2＝i；
D正确，z1＝a＋bi，
则|z|＝a2＋b2，||2＝a2＋b2，故|z|＝||2.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是__________．www.21-cn-jy.com
解析：∵z对应的点Z都在单位圆内，
∴|OZ|＜1，即 ＜1.
∴x2＋＜1，∴x2＜，∴－＜x＜.
答案：－＜x＜
12．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于__________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：由定义运算，得＝2zi－z＝3＋2i，
则z＝＝＝－i.
答案：－i
13．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝__________.
解析：＋＝?＋＝?x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)?解得所以x＋y＝4.21世纪教育网版权所有
答案：4
14．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝__________.
解析：z＝＝＝＝1－i.
答案：1－i
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1·z2为实数，求z2.21·世纪*教育网
解：由(z1－2)i＝1＋i得，
z1－2＝＝(1＋i)(－i)＝1－i，
∴z1＝3－i.(6分)
依题意可设z2＝x＋2i(x∈R)，则z1·z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i为实数，www-2-1-cnjy-com
∴x＝6，∴z2＝6＋2i.(12分)
16．(12分)设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．
(1)求z1；
(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数满足|z·|＝125，求z.2·1·c·n·j·y
解：(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.(4分)
(2)由|(3±4i)3·(a－i)|＝625，得125＝125，a＝±2.(8分)
当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；(10分)
当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.(12分)
17．(12分)设w＝－＋i，
(1)求证：1＋w＋w2＝0；
(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．
解：(1)证明：∵w＝－＋i，
∴w2＝(－＋i)2
＝＋2(－)(i)＋(i)2
＝－i－＝－－i.
∴1＋w＋w2＝1－＋i－－i＝0.
(6分)
(2)由1＋w＋w2＝0知，(w－1)(1＋w＋w2)＝0，
∴w3－1＝0，∴w3＝1.
∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)＝(－2w2)(－2w)
＝4w3＝4.(12分)
18．(14分)设z1，z2∈C，
(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2；
(2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.
解：(1)证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2
＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2
＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
(7分)
(2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2，
∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52.
∴|z1－z2|2＝68－36＝32.
∴|z1－z2|＝4.(14分)